突破全国卷4 天体运动问题
天体运动问题是牛顿运动定律、匀速圆周运动规律及万有引力定律的综合应用，
由于天体运动贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，因此是高考命题的热点．近几年在全国卷中都有题目进行考查．预计高考可能会结合我国最新航天成果考查卫星运动中基本参量的求解和比较以及变轨等问题．
常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．
【重难解读】
本部分要重点理解解决天体运动的两条基本思路，天体质量和密度的计算方法，卫星运行参量的求解及比较等．其中卫星变轨问题和双星系统模型是天体运动中的难点．
在应用万有引力定律分析天体运动要抓住“一个模型”“两个思路”
1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．两个思路
(1)所有做圆周运动的天体所需向心力都来自万有引力，因此向心力等于万有引力，据2π?2GMmmv2?2
此列出天体运动的基本关系式：2＝＝mωr＝m??r＝ma.
rr?T?
(2)不考虑地球或天体自转的影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G2＝mg，变形得GM＝gR(黄金代换式)．
【典题例证】
(多选)
MmR2
作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已
1
知A点距地面的高度为2R(R为地球半径)，B点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为g，地球质量为M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为r时，其引力势能Ep＝－G(式中m为物体的质量，M为星球的质量，G为引力常量)，不计空气阻力．则下列说法中正确的有( )
A．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A点的速度小于经过B点的速度
B．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A点时的向心加速度
C．在轨道Ⅱ上从A点运动到B点的过程中，航天飞机的加速度一直变大 D．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A、B两点的速度大小
[解析] 在轨道Ⅱ上A点为远地点，B点为近地点，航天飞机经过A点的速度小于经过
MmrMmB点的速度，故A正确．在A点，航天飞机所受外力为万有引力，根据G2＝ma，知航天飞
r机在轨道Ⅰ上经过A点和在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度相等，故B错误．在轨道Ⅱ上运动时，由A点运动到B点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C正确．航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－由开普勒第二定律得rAvA＝rBvB，结合
[答案] ACD
常见变轨问题的处理方法
(1)力学的观点：如在A点减速进入轨道Ⅱ，即为减速向心，反之加速离心，同时还要清楚减速时向运动方向喷气，加速时向运动的反方向喷气．
(2)能量的观点：如在轨道Ⅰ上运行时的机械能比在轨道Ⅱ上运行时的机械能大．在轨道Ⅱ上由A点运动到B点的过程中航天飞机的机械能守恒、动能增加、引力势能减小等．
变轨问题经常考查的知识点有：速度、加速度的比较；动能、势能、机械能的比较；周期、线速度、加速度的求法，特别是椭圆轨道上周期的求法要用到开普勒第三定律；第一宇宙速度、第二宇宙速度的理解．
【突破训练】
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A.C.
GMm12GMm12
＋mvA＝－＋mvB，rA2rB2
GMm＝mg，rA＝3R，rB＝R，可求得vA、vB，故D正确． R23πg0－g 2GTGTg0
3πg0
B．2
GTg0－g3πg0D．2 3π
2
GTg2
2π?2MmMm?解析：选B.物体在地球的两极时，mg0＝G2，物体在赤道上时，mg＋m??R＝G2，
RR?T?
M3πg0
则ρ＝＝2.故选项B正确，选项A、C、D错误．
43GT（g0－g）πR3
2.
(多选)(2016·高考江苏卷)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )
A．TA>TB C．SA＝SB
B．EkA>EkB
R3R3ABD．2＝2 TATB2π?2Mmv2?解析：选AD.卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G2＝m＝mR??，得
RR?T?
v＝ GM，T＝2π RR3，由RA>RB，可知，TA>TB，vA TATB线在t时间内扫过的面积S＝πR＝t间内扫过的面积大，C项错误． 3．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2.已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则( ) A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 tT2 GMR2 ，可见轨道半径大的卫星与地心的连线在单位时 G1 G2 G1R22 B．地球的质量与月球的质量之比为 2 G2R1 C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 G2G1 G1R1 G2R2 解析：选D.质量与引力无关，故“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 3 1∶1，A错误；重力加速度g＝ G重 ，故地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度mGMgR2M地G1R21 之比为G1∶G2，C错误；根据g＝2，有M＝，故地球的质量与月球的质量之比为＝2，RGM月G2R2 B错误；因第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，且v＝gR，故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为＝ v1 v2G1R1 ，D正确． G2R2 4．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不 同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算： (1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期； (3)双星的线速度的大小． 解析： 因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特点． (1)由于两星受到的向心力相等， 则M1ωR1＝M2ωR2，L＝R1＋R2. 由此得：R1＝ 2 2 M1 L，R2＝L. M1＋M2M1＋M2 M2 (2)由万有引力提供向心力得 2π?22π?2M1M2??G2＝M1??R1＝M2??R2. L?T??T?所以，周期为T＝2πL 2πR1(3)线速度v1＝＝M2 LGG（M1＋M2） . ， TL（M1＋M2） . v2＝ 2πR2 ＝M1 GL（M1＋M2）M2 T答案：(1)R1＝M1 L R2＝L M1＋M2M1＋M2 4 (2)2πL (3)v1＝M2LG（M1＋M2） G v2＝M1GL（M1＋M2） L（M1＋M2） 5