一、 单项选择题
1.如果把x1?0,x2?0,?,xn?0代入实二次型f(x1,?,xn)???nnaijxixj
i?1j?1都有f(x1?xn)?0,那么f是( )
(A)正定 (B)半正定 (C)未必正定 (D)负定
2.实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( ) (A) r (B) m (C) 2m-r (D) r-m
3.设f?x1,x2,?,xn?为n元实二次型，则f?x1,x2,?,xn?负定的充要条件为（ ） (A)负惯性指数=f的秩 (B)正惯性指数=0 (C)符号差=?n (D)f的秩=n
4.设??1,?2,?,?m?是线性空间V的一个向量组,它是线性无关的充要条件为（ ） m(A) 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有
?ki?i?0；
i?1m(B)任一组数k1,k2,?,km，有
?ki?i?0；
i?1m(C)当k1?k2???km?0时，有
?ki?i?0；
i?1m(D) 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有
?ki?i?0
i?15.设W1?P3[x],W2?P4[x]则dim(W1?W2)?（ ） （A）2； （B）3； （C）4； （D）5 6.数域F上n维空间V有（ ）个基：
（A）1； （B）n； （C）n!； （D）无穷多 7.若W1,W2都是n维线性空间V的子空间，那么（ ）
(A)维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?； (B)维?W1?W2?=维?W1?+维?W2?； (C)维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?； (D)维?W1?-维?W1?W2? =维?W1?W2?-维?W2?。
8.W1与W2是n维复空间V的两个子空间，且dimW1?r1,dimW2?r2，则W1?W2的维数为（ ）
(A) dim(W1?W2)?r1?r2 (B) dim(W1?W2)?r1?r2 (C) max(r1,r2)?dim(W1?W2)?min(r1?r2,n)
9.设?是n维线性空间V的线性变换，那么下列错误的说法是（ ） (A)?是单射??的零度=0； (B)?是满射??的秩=n； (C)?是可逆的?核???=?0?； (D)?是双射??是单位变换。
10. ?是线性空间V上的线性变换，?(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)，那么?关于V的基
?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)的矩阵是 （ ）
?200??2?10??210??2?10????????? (A) ??110? (B)?011? (C)?111? (D)?111?
?011??100??00?1??000?????????11.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）
(A)合同的； (B)相似的； (C)相等的； (D)正交的 12.对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 （ ）不变子空间
(A) 只有一个 (B) 只有两个 (C)每个子空间都是 (D)不存在
?113、设?0?0是矩阵A的特征根，并且有A?0，则?0是（ ）的一个特征根.
（A）?A； （B）A?； （C）A*； （D）A?1 14.两个矩阵相似的是 （ ）
?11??10??11??21??10??11??11??11? (A)??,?? (B)??,?? (D)??,?? (C)??,??
0101111202020222????????????????15.设V是n维欧氏空间 ，那么V中的元素具有如下性质（ ） (A)若??,?????,??????； (B)若???????； (C)若??,???1???1； (D)若??,??>0????。 16、?????a1?a3a2??b1b2?2?2,??????R，如下定义的实数(?,?), a4??b3b4?2?2则（ ）可做成R 的内积.
（A）(?,?)?a1b1； （B）(?,?)?a1b2?a2b3?a3b4?a4b1； （C）(?,?)?a1a3?a4b4； （D）(?,?)?a1b1?2a2b2?3a3b3?4a4b4 17、欧氏空间R中的标准正交基是（ ）
3(A)??1?2?1,0,1??11??11??11?,0,??;??;?0,1,0?； (B)?,,0?;??,0,?;?0,0,1?；
2??22??22??22?13,1??111??;?,?,????;?0,0,0?； (D)?1,?1,1?;??1,1,1?;?1,1,?1? 3??333?(C) ???3,18.?为欧氏空间V上的对称变换，下面正确的是 （ ）
(A) (?(?),?(?))?(?,?) (B)(?,?(?))?(?(?),?) (C) (?(?),?)?(?,?(?)) 19.设?1??2是欧氏空间V的对称变换?的特征根，?1,?2是?的属于?1的特征向量，?3,?4是?的属于?2的特征向量，则（ ）成立. （A）?1,?2,?3,?4两两正交；
（B）?1,?2线性无关且?3,?4线性无关，则?1,?2,?3,?4两两正交； （C）一定有(?1,?3)?(?1,?4)?(?2,?4)?(?2,?3)?0； （D）若?1,?2正交且?3,?4正交，则?1,?2,?3,?4是正交组. 20.?是n维欧氏空间V的正交变换，（ ）是正确的.
（A）?把V的标准正交基变为标准正交基； （B）?关于任意基的矩阵是正交矩阵； （C）若?(?1),?,?(?n)不是V的标准正交基，则?1,?,?n也不是V的标准正交基； （D）?关于基?1,?,?n的矩阵A不是正交矩阵，则?1,?,?n不是V的标准正交基. 21.对于n阶实对称矩阵A，下列结论正确的是（ ） （A）A有n个不同的特征根；（B）A的特征根一定是整数； （C）存在正交矩阵T，使得：T?AT为对角形矩阵；
（D）A的属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交.
二、 填空题
1. 写出二次型f(x1,x2,x3)?2x1?7x2?4x3?8x1x2?2x1x3?4x2x3的矩阵 2．设A为n级实对称矩阵，则A正定的充要条件是A的特征多项式的根 3．数域P上全体反对称矩阵作成线性空间T?{A?Pnn?n222|A'??A}，则T的维数为 4.n阶正交矩阵的n行（列）可作为欧氏空间R的一组 __________基. 5.设A?Pn?n，且秩(A)?r，W为齐次线性方程式组Ax?0的解空间，则W不是零子空间的充要
条件为 .
6.数域P上每一个n维线性空间都与 同构.
7.在线性空间V中，定义??????0（其中?0是V中一个固定向量），那么当?0? 时，?是V的一个线性变换。 8.R3的两个线性变换
?,?为?(x1,x2,x3)?(x1?x2,x2,x3?x1),?(x1,x2,x3)?(x1,0,0),并且
??(1,0,?1R)3，则(???)(?)?________
9.P2?2中，A???10??01??ab?2?2????,?(x)?xA,?x?PE?E?，则线性变换关于基，，?1112??????cd??00??00??00??00?E21???10??，E22???01??的矩阵为 . ????10.若线性变换?关于基??1,?2?的矩阵为??a?cb?，那么?关于基?3?2,?1?的矩阵为 。 ?d?11.三阶矩阵A的特征值为-1，2，4，则A的迹Tr(A)?____,|A|?____
12.?,?是线性空间V上的线性变换且?????，则?的值域与核也是?的 子空间，且?,?有_________特征向量.
13.n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类. 14.两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 .
15.设三阶方阵A的特征根是3和?3（二重）则A?的全部特征根为 .
16.Rn对内积(?,?)?a1b1?2a2b2???nanbn???(a1,?,an),??(b1,?,bn)? 做成欧氏空间，其柯西-布涅柯夫斯基不等式为 .
17.n维欧氏空间的变换?既是对称变换又是反对称变换，则?是 变换. 18.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的.
?a11x1?a12x2?a13x3?b1?19.若A?(aij)3?3是一个正交矩阵,则方程组:?a21x1?a22x2?a23x3?b2的解为 .
?ax?ax?ax?b3223333?311三．判断题
1.正定矩阵的特征值一定大于0.（）
2.n维欧几里得空间V的每个子空间都有正交补，但不唯一。（）
3. 在n维欧几里得空间V中，内积为(,),设基?1,?2,?,?n的度量矩阵为A，基?1,?2,?,?n的度量矩阵为B，则A与B相似。（）
4.线性变换A可以在某组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有n个不同的特征向量。（） 5.线性变换在不同的基下所对应的矩阵是相似的。（） 6.线性变换将线性无关的向量组变换成线性无关的向量组。（）
7.设V1与V2分别是方程x1?x2???xn?0与x1?x2???xn的解空间，则V1?V2是直和。 8. A是复数域上线性空间V上的一个线性变换，则在V中一定存在一组基，使A在此基下的矩阵为Jordan形矩阵。（） 四、计算题
1.在R4中设向量组：?1?(001?1)?2?(10,01)，?3?(010?1)，
?4?(12?21),?5?(2?130)
(1)求由?1,?2,?3,?4,?5生成的线性子空间的基和维数。 (2)求向量??(24?42)在此基下的坐标。
2.设?1,?2,?,?n是n维向量空间V的一组基，?1,?1??2,?,?1??2????n也是V的一组基，若向量 ?关于前一个基的坐标为(n,n?1,?,2,1)，求?关于后一个基的坐标。 3.设V1是由?1??10?10?，?2??0121?，?3??2101?生成的线性空间,V2是由
?1???1111?,?2??1?1?3?1?，?3???11?11?生成的线性空间.
(1)求V1?V2 (2)求V1?V2 （3）以此例验证维数公式 4.给定P3的两组基，?1?(101),?2?(210),?3?(111),
?1?(12?1),?2?(22?1),?3?(2?1?1),
定义线性变换A: A?i??i,i?1,2,3
(1)写出由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵；
(2)写出A在基?1,?2,?3下的矩阵 (3)写出A在基?1,?2,?3下的矩阵.
25.在R中定义内积：(?,?)?x1y1?(x1?x2)(y1?y2)，其中??(x1,x2),??(y1,y2).
已知?1?(1,2),?2?(?2,1)，求(?1,?2)及??1,?2?.
6.设?是欧氏空间V上的线性变换，???V,?(?)???k(?,?)?,其中|?|?1，求k 值使?为正交变换。
7.二次型f(x1,x2,x3)?XAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，A的特征值之积为-12，（1）求a,b的值；
（2）用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换对应的正交矩阵。
'222?111???8.设矩阵A??11?1?，(1)判断A是否可对角化；（2）求一正交阵T使T?AT成对角形.
?1?11????1?12???9.设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为??12?1?
?2?16???（1）令???1??2,证明?是一个单位向量；（2）若???1??2?k?3与?正交,求k的值. 10.设?1,?2,?3是数域P上的线性空间V的一组基，f是V上的线性函数，且
f(2?1??2??3)?1,f(?1??3)??2,f(??1??2?2?3)?3.求f(x1?1?x2?2?x3?3).
五、证明题
1.设A为n阶复矩阵，且A2?A,(1)求证A相似于一个对角阵;(2)若r(A)?r，则|A?E|?2. 2．设V1,V2是n维欧氏空间V的子空间，且dimV1?dimV2，证明：V2?V1?{0}。 3.设?是数域P上线性空间V的线性变换且??1?r2??,证明
?1（1）?的特征值为1或0；（2）?(0)?{???(?)|???V}; （3）V??(0)??(V). 4．已知实二次型f(x1,?,xn)?XAX是半正定的，k为正实数，证明：kE+A是正定的。
5.A,B为实矩阵，且行数相同，求证：由A的列向量组生成的子空间与B的列向量组生成的子空间正交的充要条件为AB?0.
6. 设V是一个n维欧氏空间，?是V的一个对称变换，证明：
（1）值域?(V)与核?(0)都是?的不变子空间；（2）值域?(V)是核?(0)的正交补. 7.设A是正定矩阵，证明：存在一个正定实对称矩阵S，使得A?S 8.设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,?,?m为V中的正交向量组，令
2?1?1'TW???(?,?i)?0,??V,i?1,2,?,m?
（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：W??L??1,?2,?,?m?.