兰州一中
2011届高三第三次模拟考试
数学（理）试题
考生注意：
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)． 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)． 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的
kkn?k概率为P． n(k)?Cnp(1?p)球的表面积公式：S=4?R2，其中R表示球的半径． 球的体积公式：V=
43
?R，其中R表示球的半径． 3第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
21． 设全集U是实数集R，M={x|x?4 }，N＝{x|1?x?3}，则图中阴影部分表示的集
合是
???C.?x1?x?2? D.?x?2?
2．i是虚数单位，复数A．
A.x?2?x?1 B.x?2?x?2
?i? 3?3i13131313 B．??ii C．?i D．?i
412 41226262?1?3．设tan(???)?,tan(??)?,则tan(??)的值是
5444131313 A． B． C． D．
18226224．函数y=3x2?1 (-1≤x<0)的反函数是
A. y=1?log3x (x≥C. y=1?log3x (
1) 3
B. y= -1?log3x (x≥ D. y= -1?log3x (
1) 31 - 1 - ?2x?y?5,?5．某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件?x?y?2, 则该校招 ?x?6.?聘的教师人数最多是 A．6 B．8 C．10 D．12 6．设M??平面内的点(a,b)?,N??f(x)?f(x)?acos2x?bsin2x?，给出M到N的映射 f:(a,b)?f(x)?acos2x?bsin2x，若点(1,3)的像f(x)的图象可以由曲线y?2sin2x按向量m平移得到，则向量m的坐标为 A．(?6,0) B．(??12,0) C．(??6,0) D．(?,0) 127．若m、n为两条不重合的直线，?、?为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是 ①若m、n都平行于平面?，则m、n一定不是相交直线； ②若m、n都垂直于平面?，则m、n一定是平行直线； ③已知?、?互相垂直，m、n互相垂直，若m??，则n??； ④m、n在平面?内的射影互相垂直，则m、n互相垂直. A．1 B．2 C．3 D．4 8．设函数f(x)?xm?ax的导函数f?(x)?2x?1，则数列? A . ?1?* ? (n∈N)的前n项和是 ?f(n)?n＋2n＋1nn B. C. D. nn－1n＋1n＋1 x2y29.已知椭圆C：2?2?1，以抛物线y2?16x的焦点为椭圆的一个焦点，且短轴一个端点 ab与两个焦点可组成一个等边三角形，则椭圆C的离心率为 A． D1 B1 · O 则平面ACD1截球O的截面面积为 D A B C C1 1333 B． C． D． 2234A1 10．如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD?A1BC11D1的内切球， A．??36? B． C．? D． 363611．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各 校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A．96 B．114 C．128 D．136 - 2 - 12．定义在R上的函数f(x)满足f(x)?? A．-1 B．0 ?log2(1?x),(x?0),则f(2011)的值为 ?f(x?1)?f(x?2),(x?0). D．2 C．1 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横．．．线上． 13．若二项式(x?1n的展开式中含3x的项是第三项，则n的值是_____. )3x14．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若 ????????CB?3BF，则直线l的斜率为___________． ????????????????15．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC?3DE,BC?3BF，????????????若AC?mAE?nAF，其中m,n?R，则m?n? _________. 16.给出如下命题： ①直线x?DECF?6是函数y?sin(x??3AB)的一条对称轴； ②函数f(x)关于点（3,0）对称，满足f(6?x)?f(6?x)，且当x??0,3?时,函数为增函 数，则f(x)在?6,9?上为减函数； ③命题“对任意a?R,方程x?ax?1?0有实数解”的否定形式为“存在a?R,方程 2x2?ax?1?0无实数解”； 2 ④ lg5?lg2?lg50?1. 以上命题中正确的是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） π 已知向量m?(a?1,sinx),n?(1,4cos(x?)), 设g(x)?m?n（a?R，且a为常数）. 6 （1）求g(x)的最小正周期； ?π? （2）若g(x)在?0,?上的最大值与最小值之和为7，求a的值. ?3? - 3 - 18．（本小题满分12分） 在“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选作了一道数学题，第一小组选《不等式选讲》的有1人，选《坐标系与参数方程》的有5人；第二小组选《不等式选讲》的有2人，选《坐标系与参数方程》的有4人. 现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况. （1）求选出的4 人均为选《坐标系与参数方程》的概率； （2）设?为选出的4个人中选《不等式选讲》的人数，求?的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分） A1 B1 C1 ABCD，如图，四棱柱ABCD?A1BC11D1中，A1D?平面 底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1?2. （1）求证：C1D//平面ABB1A1； （2）求直线BD1与平面AC11D所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分） 已知数列?an?是各项不为0的等差数列，Sn为其前n 2项和，且满足an?S2n?1, 令bn?D1 A B C D 1，数列?bn?的 an?an?1前n项和为Tn. （1）求数列?an?的通项公式及数列?bn?的前n项和Tn； （2） 是否存在正整数m,n(1?m?n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m,n 的值；若不存在，请说明理由． - 4 - 21．（本小题满分12分） 如图，在等边?ABC中，O为边AB的中点，AB?4，D、E为?ABC的高线上的点，且 OC?23OD，OC?3OE.若以A,B为焦点，O为中心的椭圆过点D，建立适当的直角 坐标系，记椭圆为M. （1）求椭圆M的方程； （2）过点E的直线l与椭圆M交于不同的两点P,Q，点P在点E, Q之 间,且EP??EQ，求实数?的取值范围. 22. （本小题满分12分） 设x?3是函数f?x??x2?ax?be3?x,?x?R?的一个极值点. （1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间； （2）设a?0,g?x???a2?求a的取值范围. AO??CEDB????25?x?e，若存在．．?1,?2??0,4?，使得f??1??g??2??1 成立，4? - 5 - 参考答案 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 D 11 B 12 A 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡对应题号后的横线．．． 上． 13． 4 14．?22 15． 3 16． ①②③④ 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程 演算步骤． 17．（本小题满分10分） 解：g(x)?m?n?a?1?4sinxcos(x?π)………………………………2分 6π?3sin2x?2sin2x?a?1?3sin2x?cos2x?a?2sin(2x?)?a……4分 6π（1）g(x)?2sin(2x?)?a,T?π……………………………………… 6分 6πππ5π（2）?0?x?,??2x?? 3666当2x?πππ?，即x?时，ymax?2?a………………………………7分 662ππ?，即x?0时，ymin?1?a………………………………8分 66当2x?故a?1?2?a?7,即a?2.………………………………………………10分 18．（本小题满分12分） - 6 - 解：（1）设“从第一小组选出的２人均选?坐标系与参数方程?”为事件A，“从第二小组选出的２人均选?坐标系与参数方程?”为事件B． 2C522C42由于A和B事件相互独立，且P(A)?2?,P(B)?2?. C63C65 所以选出的４人均选?坐标系与参数方程?的概率为 224P(A?B)?P(A)?P(B)???. …………………… 6分 3515（2）?可能的取值为0,1,2,3． 12112C52C4C52C2C5?C4C4422（２）P(??0)?2?2?，P(??1)?2?， ???C6C615C6C62C62C62451C5112P(??3)?2?2?，P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?. C6C6459 ?的分布列为 ? P 0 1 2 3 4 1522 452 91 45∴ ?的数学期望 E??0?42221?1??2??3??1 ………………12分 154594519．（本小题满分12分） （1）证明：四棱柱ABCD?A1BC11D1中，BB1//CC1， 又CC1?面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1， ………………2分 ABCD是正方形，所以CD//AB， CD//平面ABB1A1， ………………3分 又CD?面ABB1A1，所以 所以平面CDD1C1//平面ABB1A1， 所以C1D//平面ABB1A1. ………………5分 （2）解：ABCD是正方形，AD?CD， 因为A1D?平面ABCD， 所以A1D?AD，A1D?CD， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，. ………………6分 在?ADA1中，由已知可得A1D?3， - 7 - 所以D(0,0,0),A ,0,0),C1(?1,1,3)，B1(0,1,3),D1(?1,0,3),B(1,1,0)，1(0,0,3),A(1?????BD1?(?2,?1,3)， ……………………………………………………………8分 因为A1D?平面ABCD， 所以A1D?平面A1B1C1D1， B1 z A1 C1 D1 A1D?B1D1， 又B1D1?AC11， 所以B1D1?平面AC11D， 所以平面AC11D的一个法向量为 B x A y C D n?(1,1,0)， …………………10分 ??????????n?BD1?33设BD1与n所成的角为?，又BD则. cos??????(?2,?1,3),?????1428nBD1所以直线BD1与平面AC11D所成角的正弦值为20. （本小题满分12分） 解：(1) an?S2n?1?23. ……………12分 4(a1?a2n?1)(2n?1)?(2n?1)an， 2?an?0,?an?2n?1. …………………………………2分 bn?11111??(?)anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1， ……………4分 111111n(1???????)?23352n?12n?12n?1. ……………6分 Tn? （2）由（1）知，Tn?n1mn，所以T1?，Tm? Tn? …7分 2n?12m?12n?13m21n)?()， 若T1，Tm，Tn成等比数列，则(2m?132n?1m2n?即． ………………………………………8分 24m?4m?16n?3m2n3?2m2?4m?1?由 可得?， ………9分 4m2?4m?16n?3nm2 - 8 - 2 所以?2m?4m?1?0， 从而1?66 ………10分 ?m?1?22又m?N，且m?1，所以m?2， …………………………11分 此时n?12．故当且仅当m?2，n?12， 数列?Tn?中的T1，Tm，Tn成等比数列． …………12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）建立如图所示的直角坐标系， 由于OC?23OD，OC?YC*3OE， OD?123OC?1, OE?1OC?2 3EDBX?D?0,1?,E?0,2? AOx2y2设椭圆方程为2?2?1,?a?b?0? ab?2c?4?c?2,b?1 a?5 x2即椭圆方程为?y2?1;……6分 5（2）设p(x1,y1)Q(x2,y2) ?E(0,2) ，即EP??x1,y1?2?,EQ??x2,y2?2?. ?x1??x2x1??x2????EP??EQ ??① ……7分 y?2??(y?2)y??y?2??222?1?1???x122?y1?1,??又?P,Q都在椭圆上??52 ② ………………8分 x?2?y2?1.2??5?(?x2)22?(?y?2??2)?12??5由①②得?? 2x22??y2?1?5? - 9 - 消去x2得(?y2?2??2)??y2?1???y2?22225??3 …………10分 4?1??1?y2?1,????3 3又?P在E,Q之间，又EP??EQ,?0???1， ?1???范围为?,1?. ………………12分 ?3?22. （本小题满分12分） 23?x解：（1）∵f?x??x?ax?be '??∴f'?x???2x?a?e3?x??x2?ax?b?e3?x??1? 23?x?x?a?2x?b?ae ??? 2分 ???? 由题意得：f'?3??0，即32?3?a?2??b?a?0，b??2a?3 3分 23?x∴f?x??x?ax?2a?3e且f'?x????x?3??x?a?1?e3?x ??令f'?x??0得x1?3，x2??a?1 23?x∵x?3是函数f?x??x?ax?be,?x?R?的一个极值点 ??∴x1?x2，即a??4 故a与b的关系式为b??2a?3,?a??4?. 4分 当a??4时，x2??a?1?3，由f由f''?x??0得单增区间为：?3,?a?1?； ?x??0得单减区间为：???,3?和??a?1,???； ' 当a??4时，x2??a?1?3，由f由f'?x??0得单增区间为：??a?1,3?； ?x??0得单减区间为：???,?a?1?和?3,???； 6分 （2）由（1）知：当a?0时，x2??a?1?0，f?x?在?0,3?上单调递增，在?3,4?上 单调递减， f(x)min?min?f(0),f(4)???(2a?3)e, 3f?x?max?f?3??a?6, - 10 - ∴f?x?在?0,4?上的值域为[?(2a?3)e3,a?6]. 8分 易知g?x???a2???25?x?e在?0,4?上是增函数, 4?∴g?x?在?0,4?上的值域为?a2???25?225?4?,?a??e?. 10分 4?4??225?1???由于?a2??a?6?a???????0， 42????又∵要存在．．?1,?2??0,4?，使得f??1??g??2??1成立， a?0?3?∴必须且只须??225?解得:0?a?. 2??a?4???a?6??1???所以，a的取值范围为?0,?. 12分 ??3?2? - 11 - - 12 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 13 -