知人善教，提分高效
2014-2015学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（每题3分，共8题，计24分）
1．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C1等于（ ） A． 50° B． 95° C． 35° D． 25°
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，则∠BOC等于（ ）
A． 30° B． 120° C． 110° D． 100°
3．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O（ ） A． 外部 B． 内部 C． 上 D． 不能确定
4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
5．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A． 3：2 B． 3：1 C． 1：1 D． 1：2
6．已知x1、x2是方程x﹣2x﹣1=0的两个根，则 A．
7．若非零实数a、b、c满足9a﹣3b+c=0，则关于x的一元二次方程ax+bx+c=0一定有一个根为（ ） A． 3 B． ﹣3 C． 0 D． 无法确定
8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
2
2
的值为（ ）
B． 2 C． D． ﹣2
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A． （，3）、（﹣，4） B． （，3）、（﹣，4） C． （，）、（﹣，4） D． （，）、（﹣，4）
二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 9．一元二次方程x﹣4=0的解是 ．
10．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离 km．
11．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是 ． 2
12．若将方程x+6x=7化为（x+m）=16，则m= ．
13．已知关于x的一元二次方程为ax+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 ．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x﹣2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
15．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为 cm． 2222
16．如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=70°，连接 AE，则∠AEB的度数为 ．
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17．已知，如图，弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB= °．
18．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 cm．
三、解答题（共10题，计96分） 19．（1）（2x+3）﹣25=0； （2）（x+1）（x+2）=2x+4．
20．已知x1、x2是方程2x+14x﹣16=0的两实数根，求2
2
+的值．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
22．已知关于x的方程x+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
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2
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23．如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC． （1）求∠EDB的度数； （2）求DE的长．
24．阅读下面材料：解方程：x﹣|x|﹣2=0 解：分以下两种情况：
（1）当x≥0时，原方程可化为x﹣x﹣2=0， 解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
2
（2）当x＜0时，原方程可化为x﹣x﹣2=0， 解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．
2
请仿照此解法解方程x﹣|x﹣1|﹣1=0
25．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
22
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
27．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧
上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
2（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
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28．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
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参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共8题，计24分）
1．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C1等于（ ） A． 50° B． 95° C． 35° D． 25° 考点： 相似三角形的性质．
分析： 先由三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形的对应角相等得出∠C1=∠C． 解答： 解：△ABC中，∵∠A=50°，∠B=95°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=35°，
∵△ABC∽△A1B1C1， ∴∠C1=∠C=35°． 故选C．
点评： 本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，则∠BOC等于（ ）
A． 30° B． 120° C． 110° D． 100°
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A，代入求出即可． 解答： 解：∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠BOC， ∵∠BOC=2∠A， ∵∠A=60°，
∴∠BCO=2×60°=120°， 故选B．
点评： 本题考查了对圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠BOC=2∠A．
3．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O（ ） A． 外部 B． 内部 C． 上 D． 不能确定
考点： 点与圆的位置关系． 专题： 计算题．
分析： 根据点与圆的位置关系进行判断．
解答： 解：∵⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm， 即OP＞5，
∴点P在⊙O外． 故选A．
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点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．
4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
考点： 位似变换．
分析： 利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
解答： 解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4， 则△A′B′C′的面积是：12． 故选：D．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
5．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A． 3：2 B． 3：1 C． 1：1 D． 1：2
考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题．
分析： 根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出解答： 解：∵?ABCD，故AD∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴
=
，
=
，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
∵点E是边AD的中点， ∴AE=DE=AD， ∴
=．
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
6．已知x1、x2是方程x﹣2x﹣1=0的两个根，则 A．
B． 2 C． D． ﹣2
2
的值为（ ）
考点： 根与系数的关系．
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2
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变形为
，然后代
分析： 根据x1、x2是方程x﹣2x﹣1=0的两个根，得出x1+x2=2，x1?x2=﹣1，再把入计算即可．
解答： 解：∵x1、x2是方程x﹣2x﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=2，x1?x2=﹣1． ∴故选D．
=
=﹣2
2
点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．
7．若非零实数a、b、c满足9a﹣3b+c=0，则关于x的一元二次方程ax+bx+c=0一定有一个根为（ ） A． 3 B． ﹣3 C． 0 D． 无法确定
考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=﹣3代入方程ax+bx+c=0能得出9a﹣3b+c=0，即可得出答案．
2
解答： 解：把x=﹣3代入方程ax+bx+c=0，得9a﹣3b+c=0， 即方程一定有一个根为x=﹣3， 故选B．
点评： 本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
2
2
2
A． （，3）、（﹣，4） B． （，3）、（﹣，4） C． （，）、（﹣，4） D． （，）、（﹣，4）
考点： 矩形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答： 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
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∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC=OB， ∴∠CAF=∠BOE=∠CHO， 在△ACF和△OBE中，
，
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∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°， ∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴即
， ，
∴OE=， 即点B（，3）， ∴AF=OE=，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣， ∴点C（﹣，4）． 故选：B．
点评： 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（每题3分，共10题，计30分） 9．一元二次方程x﹣4=0的解是 x=±2 ．
考点： 解一元二次方程-直接开平方法． 专题： 方程思想．
分析： 式子x﹣4=0先移项，变成x=4，从而把问题转化为求4的平方根．
2
解答： 解：移项得x=4， ∴x=±2．
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2
2
2
2
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故答案：x=±2．
点评： 本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
222
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）=b（b≥0）；
2
a（x+b）=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
10．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离 750 km．
考点： 比例线段．
分析： 首先设两地的实际距离为xcm，然后根据比例尺的性质列方程：注意统一单位．
解答： 解：设两地的实际距离为xcm， 根据题意得：
，
，解此方程即可求得答案，解得：x=75000000， ∵75000000cm=750km， ∴两地的实际距离750km． 故答案为：750．
点评： 此题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，然后根据题意列方程，注意统一单位．
11．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是 55° ．
考点： 圆周角定理． 专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用互余求解． 解答： 解：∵AB是△ABC外接圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°． 故答案为55°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．若将方程x+6x=7化为（x+m）=16，则m= 3 ．
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；
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2
2
2
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（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答： 解：在方程x+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 222
x+6x+3=7+3， 配方，得
（x+3）=16． 所以，m=3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x+px+q=0，然后配方．
13．已知关于x的一元二次方程为ax+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 2018 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=1代入已知方程求得a+b=﹣5，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 解答： 解：依题意得 a×1+b×1+5=0， 整理得a+b=﹣5，
所以 2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013+5=2018． 故答案是：2018．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义．注意“整体代入”数学思想的应用．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x﹣2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≤3且m≠2 ．
考点： 根的判别式． 专题： 计算题．
分析： 根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x﹣2x+1=0有两个实数根，
2
∴△=b﹣4ac≥0，
即：4﹣4（m﹣2）≥0， 解得：m≤3，
∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x﹣2x+1=0中m﹣2≠0， ∴m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2． 点评： 本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
15．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为 5 cm．
2
2
2
2
2
2
2
22
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
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分析： 先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
解答： 解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵OD⊥AB，
∴AD=AB=×8=4cm， 设OA=r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA=OD+AD，即r=（r﹣2）+4， 解得r=5cm．
∴该输水管的半径为5cm； 故答案为：5．
2
2
2
2
2
2
点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=70°，连接 AE，则∠AEB的度数为 20° ．
考点： 圆周角定理；平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC=70°，再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AEB的度数． 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=70°， ∵BE为⊙O的直径， ∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠ABC=20°． 故答案为20°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．解题的关键是得到∠ABC=70°，∠BAE=90°．
17．已知，如图，弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB= 35 °．
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考点： 圆周角定理．
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分析： 由弧BC与AD的度数之差为20°，根据圆周角定理，可得∠CAB﹣∠C=×20°=10°，又由∠CEB=60°，可得∠CAB+∠C=60°，继而求得答案．
解答： 解：∵弧BC与AD的度数之差为20°， ∴∠CAB﹣∠C=×20°=10°，
∵∠CEB=∠CAB+∠C=60°， ∴∠CAB=35°． 故答案为：35．
点评： 此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
18．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 12 cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
解答： 解：由翻折的性质得，DF=EF， 设EF=x，则AF=6﹣x， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE=×6=3， 在Rt△AEF中，AE+AF=EF， 222即3+（6﹣x）=x， 解得x=∴AF=6﹣
， =，
2
2
2
∵∠FEG=∠D=90°， ∴∠AEF+∠BEG=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠BEG， 又∵∠A=∠B=90°， ∴△AEF∽△BGE，
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∴
=
=
，即=
=
，
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解得BG=4，EG=5，
∴△EBG的周长=3+4+5=12． 故答案为：12．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共10题，计96分）
19．（1）（2x+3）﹣25=0； （2）（x+1）（x+2）=2x+4．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法． 专题： 计算题．
分析： （1）利用因式分解法解方程； （2）先变形得到（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程． 解答： 解：（1）（2x+3﹣5）（2x+3+5）=0， 2x+3﹣5=0或2x+3+5=0，
所以x1=1，x2=﹣4； （2）（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0， （x+2）（x+1﹣2）=0， x+2=0或x+1﹣2=0，
所以x1=﹣2，x2=1．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．已知x1、x2是方程2x+14x﹣16=0的两实数根，求
考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题．
分析： 先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣7，x1x2=﹣8，然后利用完全平方公式变形得到+
=
=
，再利用整体代入的方法计算．
2
2
+的值．
解答： 解：根据题意得x1+x2=﹣7，x1x2=﹣8， +
=
=
=
2
=﹣．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
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（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
考点： 作图—相似变换；作图-平移变换． 专题： 作图题．
分析： （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 解答： 解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
点评： 此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．
22．已知关于x的方程x+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题： 判别式法．
分析： （1）将x=1代入方程x+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解答： 解：（1）将x=1代入方程x+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
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方程为x+x﹣=0，即2x+x﹣3=0，设另一根为x1，则1?x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a﹣4（a﹣2）=a﹣4a+8=a﹣4a+4+4=（a﹣2）+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点评： 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
23．如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC． （1）求∠EDB的度数； （2）求DE的长．
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考点： 三角形中位线定理；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 计算题．
分析： （1）根据平行线及角平分线的性质可求出∠EDB的度数； （2）根据三角形中位线定理可求出DE的长． 解答： 解：（1）∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC， ∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=∠ABC=40°．
（2）∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线， ∴D为AC的中点， ∵DE∥BC，
∴E为AB的中点， ∴DE=AB=6cm． 点评： 本题考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，需同学们熟练掌握．
24．阅读下面材料：解方程：x﹣|x|﹣2=0 解：分以下两种情况：
（1）当x≥0时，原方程可化为x﹣x﹣2=0， 解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
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（2）当x＜0时，原方程可化为x﹣x﹣2=0， 解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．
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请仿照此解法解方程x﹣|x﹣1|﹣1=0
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考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 阅读型；分类讨论．
分析： 因为x﹣1的正负性不确定，所以要分两种情况进行解答，在这两种情况下列出一元二次方程再求解． 解答： 解：分以下两种情况：
（1）当x﹣1≥0即x≥1时，原方程可化为x﹣（x﹣1）﹣1=0， 解得x1=1，x2=0（不合题意，舍去）
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（2）当x﹣1＜0时，原方程可化为x+（x﹣1）﹣1=0， 解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去） ∴原方程的根是x1=1，x2=﹣2．
点评： 注意：分两种情况进行解答，注意分类的标准是正确区分x﹣1与0的大小关系，不要漏解．
25．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
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考点： 一元二次方程的应用． 专题： 应用题．
分析： 设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点： 一元二次方程的应用． 专题： 代数几何综合题．
分析： （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；
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理由：∵x=﹣1是方程的根，
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∴（a+c）×（﹣1）﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
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∴4b﹣4a+4c=0， 222
∴a=b+c，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2
2ax+2ax=0， 2
∴x+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
27．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧
上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
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（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定． 专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据已知利用SAS判定△APC≌△BDC，从而得到PC=DC，因为AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°，所以∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°，又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°，从而推出△PDC为等边三角形； （2）同理可证△PDC为等边三角形． 解答： 解：（1）如图①，△PDC为等边三角形． （2分） 理由如下：
∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC
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∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC ∴PC=DC
∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60° ∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30° ∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60° ∴△PDC为等边三角形；（6分）
（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分） 理由如下：
∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC 又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC ∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60° ∴△PDC为等边三角形．（12分）
点评： 此题主要考查学生对学生以圆周角定理及等边三角形的判定方法的理解及运用．
28．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到
所对的圆周角，然后根据∠ACD等于
所对的圆周角减去
所对的圆周角，计算即可得解．
解答： 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E， 则AE=AC=×2=1， ∵翻折后点D与圆心O重合，
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∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO=AE+OE， 即r=1+（r）， 解得r=
；
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（2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，
所对的圆周角为∠B，
所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．
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