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习题一
1.1． 略 1.2． 略 1.3． 略 1.4． 略 1.5． 略 1.6． 略 1.7． 略 1.8． 略 1.9． 略 1.10． 略 1.11． 略
1.12． 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6. (2)2+2＝4的充要条件是3+3?6. (3)2+2?4与3+3＝6互为充要条件. (4)若2+2?4, 则3+3?6, 反之亦然. (1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. (2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1.
将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.
令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p?q ??1. (2) q?p ??1. (3) p?q ??1.
(4) p?r当p ??0时为真; p ??1 时为假.
将下列 命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人.
(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐.
(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.
(12)2与4都是素数, 这是不对的.
(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.
3
4
(1)p?q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p?q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p?q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.
(6)p?q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p?q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p?q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p?q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ??(p?q)或?p??q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ???(p?q)或p?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.
设p: 2+3=5.
q: 大熊猫产在中国. r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值: (1)(p?q) ?r (2)(r??(p?q)) ???p (3) ?r??(?p??q?r) (4)(p?q??r) ??(( ?p??q) ?r)
(1)真值为0. (2)真值为0. (3)真值为0.
(4)真值为1.
注意: p, q是真命题, r是假命题.
1.16． 略 1.17． 1.18． 1.19．
略 略
用真值表判断下列公式的类型:
(1)p??(p?q?r) (2)(p??q) ??q (3) ??(q?r) ?r (4)(p?q) ??(?q??p) (5)(p?r) ??( ?p??q) (6)((p?q) ??(q?r)) ??(p?r) (7)(p?q) ??(r?s)
(1), (4), (6)为重言式. (3)为矛盾式. (2), (5), (7)为可满足式.
1.20． 略 1.21． 1.22． 1.23． 1.24． 1.25． 1.26． 1.27． 1.28． 1.29． 1.30． 1.31．
略 略 略 略 略 略 略 略 略 略
将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:
5
(1)若3+＝4, 则地球是静止不动的. (2)若3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存. (4)若地球上没有水, 则3是无理数. (1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为0. (2)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为1. (3) ?p??q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为1. (4) ?p?q, 其中, p: 地球上有水, q: 3是无理数, 真值为1.
习题二
2.1. 设公式 A = p?q, B = p??q, 用真值表验证公式 A 和 B 适合德摩根律:
?(A?B) ???A??B.
A =p?q B =p??q ?(A?B) ?A??B 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
因为?(A?B)和?A??B的真值表相同, 所以它们等值.
2.2. 略
2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式, 再用真值表法求出成真赋值.
(1) ??(p?q?q) (2)(p??(p?q)) ??(p?r) (3)(p?q) ??(p?r)
(1) ??(p?q?q)????(?(p?q) ??q) ????(?p ???q ??q) ??p?q??q ??p?0 ??0 ??0. 矛盾式. (2)重言式.
(3) (p?q) ??(p?r) ???(p?q) ??(p?r) ???p??q ??p?r易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 111
?p ???q ??p?r p q r 1 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1
2.4. 用等值演算法证明下面等值式: (1) p??(p?q) ??(p??q) (3) ??(p?q) ??(p?q) ???(p?q) (4) (p??q) ??(?p?q) ??(p?q) ???(p?q)
(1) (p?q) ??(p??q) ??p ??(q??q) ??p ??1 ??p. (3) ??(p?q)
6
7
???((p?q) ??(q?p)) ???((?p?q) ??(?q?p)) ??(p??q) ??(q??p)
??(p?q) ??(p??p) ??(?q?q) ??(?p??q) ??(p?q) ???(p?q)
(4) (p??q) ??(?p?q)
??(p??p) ??(p?q) ??(?q??p) ??(?q?q) ??(p?q) ???(p?q)
2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:
(1)( ?p?q) ??(?q?p) (2) ??(p?q) ?q?r (3)(p??(q?r)) ??(p?q?r) (1)(?p?q) ??(?q?p) ???(p?q) ??(?q?p)
???p??q ???q ??p???p??q ???q ??p(吸收律)??(p??p)??q ??p?(q??q) ??p??q ??p??q ??p?q ??p??q ??m10 ??m00 ??m11 ??m10 ??m0 ??m2 ??m3 ???(0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11.
(2)主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7 , 为重言式.
2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ??(q??p) ??p (2)(p?q) ??(?p?r) (3)(p??(p?q)) ?r
(1) ??(q??p) ???p ???(?q??p) ???p ??q?p ???p ??q?0 ??0 ??M0?M1?M2?M3
这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)M4 , 成假赋值为100. (3)主合取范式为1, 为重言式.