高考冲刺 函数与方程的思想
【高考展望】
纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：
（1）解方程； （2）含参数方程讨论；
（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系； （4）构造方程求解。
高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。 【知识升华】
函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；
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2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
4．函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； （4）函数f(x)＝(ax?b)n（n∈N）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数
*
法可以解决很多二项式定理的问题；
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【典型例题】
类型一、函数思想在方程中应用
22【例1】设方程x?ax?b?2?0(a，b?R)在(??，?2)?[2，??)上有实根，求a?b的
22取值范围。
【思路点拨】本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视a?b为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程x?ax?b?2?0为aob坐标平面上的一条直线l：xa?b?x?2?0，P（a，b）为直线上的点，则a?b即为|PO|。
2
2222222【解析】设d为点O到直线l的距离，
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9(x2?1?3)22?(x?1)??6， 由几何条件知：|PO|?d?()?222x?1x?1x?1222|x2?2| 因为x?(??，?2)?[2，??)，令t?x?1，则t?[5，??)。 且易知函数t?229在[5，??)上为增函数。 t2 所以|PO|?(x?1)?9994422?6?t??6?5??6?a?b?。即。 2t555x?1【总结升华】解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
举一反三： 【变式1】（1）已知
22
5b?c，则有（ ） ?1（a、b、c∈R）
5a222(A) b?4ac (B) b?4ac (C) b?4ac (D) b?4ac 【解析】法一：依题设有 a·5－b·5＋c＝0，
∴5是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的一个实根；∴△＝b?4ac≥0 ∴b?4ac 故选(B)；
法二：去分母，移项，两边平方得：
2225b2?25a2?10ac?c2≥10ac＋2·5a·c＝20ac，∴b2?4ac 故选(B)
【例2】若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________
【思路点拨】将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时，－cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．
【解析】原方程可化为m＝－cos2x＋2cosx. 令f(x)＝－cos2x＋2cosx， 则f(x)＝－2cos2x＋1＋2cosx
＝－2(cosx?)＋由于－1≤cosx≤1， 所以当cosx＝
1223， 213时，f(x)取得最大值， 2232当cosx＝－1时，f(x)取得最小值－3， 故函数f(x)的值域为[?3?]， 即m∈[?3?].
【总结升华】本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程
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将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围．
举一反三：
【变式1】已知函数 f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象如下，则（ ） （A）b????,0? (B)b??0,1? (C) b?(1,2) (D)b?(2,??) 【答案】A.
【变式2】若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有大于1的解，则实数a的取值范围是( ) A．a
【答案】A
【解析】由原方程得4＋a＝－(3?令f(x)＝3?xx4)， 3x44x
t?，取t＝3，则g(t)＝， xt313
， 3
∵g(t)在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增， 而x>1，∴t>3，∴g(t)>g(3)＝∴－(3?即4＋a
33x1325，∴a
33t2【例3】已知f(t)?log2，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x?mx?4?2m?4x恒成立，求x的取值范围。
【思路点拨】将原题转化为：m(x?2)?(x?2)2>0恒成立，y=m(x?2)?(x?2)2为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
【解析】∵t∈[2，8]，∴f(t)∈[
1，3] 22当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝m(x?2)?(x?2)，m∈[
1，3] 2?1
1?g()?0
问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：?2；解得：x>2或x<－1
2??g(3)?0
【总结升华】首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。
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例4.（2015 黄山三模）已知函数
有且仅有3个实数根x1、x2、
x3，则x12+x22+x32=（ ） A．5
B．
C．3
D．
【思路点拨】根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个
实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得． 【答案】A
【解析】∵方程有3个实数根，所以必含有1这个根 令
=1，
=k有解时总会有2个根，
解得x=2或x=0
所以x12+x22+x32═02+12+22=5故选A
【总结升华】本题主要考查了函数与方程的综合运用，利用了函数图象的对称性和方程根的分布.解决此类问题必须深刻理解函数和方程之间的关系.
举一反三：
【变式】（2015 湖北高考）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）
﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx （x）] 【答案】B
C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f
【解析】由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，
g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1）， 不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确， sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2， 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；
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