故 R??
（2） P{X?1,Y?3}???????f(x,y)dydx ??0?2k(6?x?y)dydx?
(3) P{X?1.5}?x?1.51813??1388f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
13D1 ??0dx?2(6?x?y)dy?(4) P{X?Y?4}?X?Y?41.5??127.
832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D224?x ??0dx?212(6?x?y)dy?. 83
题5图
4.设(?,?)的联合密度函数为
?1?,f(x,y)??2??0?x?1,0?y?20,
求（1）?与?中至少有一个小于1/2的概率；（2）???大于1的概率.
5. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)?A(B?arctanxy)(C?arctan) 23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断
X、Y的独立性。 解：（1） A?1?2,B??2,C??2 ；（2） f(x,y)?6；（3） 222?(4?x)(9?y)独立 ；
6. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x，
第 21 页 共 41 页
（1）求系数A，
（2）求(X,Y)的联合分布函数。 （3）求关于X及Y的边缘密度。 （4）X与Y是否相互独立？ （5）求f(yx)和f(xy)。 解：（1）A?24
0x?0或y?0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y20?x?10?y?x?（2）F(x,y)??3y4?8y3?6y2x?10?y?1 ??4x3?3x40?x?1x?y?1x?1y?1???12x2(1?x),0?x?1?12y(1?y)2,0?y?1 （3）fx(x)?? ； fy(y)??
0,其他0,其他??（4）不独立
?2y,0?y?x,0?x?12（5）fYX(yx)?? ； ?x?其他?0,?x)?2(1,y?x?1,?0y?12(1?y) fXY(xy)?? ??0,其他?7.设随机变量X~U(0,1)，当观察到X=x（0＜x＜1）时，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）.
解 按题意，X具有概率密度
fX（x）=??1,0?x?1
?0,其他.类似地，对于任意给定的值x（0＜x＜1），在X=x的条件下，Y的条件概率密度
?1?fY｜X（y｜x）=?1?x,x?y?1,
?其他.?0,因此，X和Y的联合概率密度为
第 22 页 共 41 页
?1?f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）=?1?x,0?x?y?1,
?其他.?0,于是，得关于Y的边缘概率密度为
fY（y）=??????y1?dx??ln(1?y),0?y?1,f(x,y)dx???01?x
?0,其他.?8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0, 其他.（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)??? ?2?0,其他;?0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
题14图
(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是
??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：
第 23 页 共 41 页
P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x2
习 题 四
1.设随机变量X的分布律为 X Pk -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.
解 Y可取的值为0，1，4，9
P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?
故Y的分布律为
Y 0 1 4 9 第 24 页 共 41 页
Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 2.证明题
设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。
?2e?2x证明：提示：参数为2的指数函数的密度函数为f(x)???0?1?ln(1?y)?2x利用Y?1?e的反函数x??即可证得。 ?2?0?x?0x?0 ，
3.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0
当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)
????fX(x)dx
故 fY(y)? (2) P(Y?0)?1
当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0
当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ???yfX(x)dx
故fY(y)?dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dyylnydFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π?2?y2/2e,y?0 2π4.设随机变量X~U（0,1），试求：Z= ?2lnX的分布函数及密度函数.
第 25 页 共 41 页