的事件.则?
P（A）=p=M/N,?
以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知?
Pn(k)=Ckn(
22.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.?
解 掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面
次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
P(A)?1?P(C) 2MkM)(1?)n?k, k=0,1,2,?，n. NN由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
n1n1nP(C)?C2n()() 2211 故 P(A)?[1?Cn2n2n] 22
习 题 二
1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格
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品为止，所求抽取次数的分布律： （1）放回；（2）不放回. 解 （1）P{X?K}?(3/13)k?1(10/13)
X （2） 1 2 3 4 P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11)
2.设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a?kk!，
其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. 解 由分布律的性质知
1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?a?e?
故 a?e??
3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人. 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？
解 设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为
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k（1） P{X≥2}=?C3(0.4)k(0.6)3?k≈0.352；
k?23k(2) P{X≥3}=?C5(0.4)k(0.6)5?k≈0.317；
k?375k(3) P{X≥4}=?C7(0.4)k(0.6)7?k≈0.290.
k?4因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.
4.一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
解：随机变量X所有可能的取值为:1,2,?,n,?， 分布律为：
P(X?k)?(1?0.45)k?10.45?k?1,2,?,n,?,
{X取偶数}??{X?2k}：一列互不相容的事件的和，
k?1所以P{X取偶数}?P[?{X?2k}]??P{X?2k}??0.552k?10.45?11/31.
k?1i?1i?1???5.某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.
解 设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b(n,p),此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5，
P{X≥2}=1-P{X＜2}=1-?P?X?k?
k?01=1-(0.999)5000-5(0.999)4999
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50e?55e?5?≈1?. 0!1!查表可得
P{X≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.
6.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。
解 n?4
7.设随机变量X分布函数为
?A?Be??t,x?0,F（x）=?(??0),
x?0.?0,（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.
limF(x)?1??A?1?x???【解】（1）由?得?
limF(x)?limF(x)?B??1?x?0??x?0?（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?
P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?
??e??x,x?0(3) f(x)?F?(x)??
x?0?0,
8.设随机变量X的概率密度为
?x,?f（x）=?2?x,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
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【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时F(x)????f(t)dt????f(t)dt??0f(t)dt
x2 ??0tdt?
2xx0x当1≤x<2时F(x)????f(t)dt
??0??1xf(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x11x
??tdt??(2?t)dt01x23??2x??222x2???2x?12
当x≥2时F(x)????f(t)dt?1
?0,?2?x,2故 F(x)???2??x?2x?1,?2??1,x?00?x?1x
1?x?2x?2
9.设随机变量X的密度函数为 （1） f(x)=ae-?|x|,λ>0;
?bx,0?x?1,?1(2) f(x)=?2,1?x?2,
?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
【解】（1） 由???f(x)dx?1知1????ae??|x|dx?2a?0e??xdx?故 a?
2???2a?
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概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)
习 题 一?
1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件： （1） A发生而B与C都不发生； （2） A，B，C至少有一个事件发生； （3） A，B，C至少有两个事件发生； （4） A，B，C恰好有两个事件发生； （5） A，B至少有一个发生而C不发生； （6） A，B，C都不发生.?
解：（1）ABC或A?B?C或A?（B∪C）. （2）A∪B∪C.?
（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.? （4）（ABC）∪（ACB）∪（BCA）.? （5）（A∪B）C.? （6）A?B?C或ABC.?
2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式： （1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?； （2）AB+AB +AB+AB?AB= AB；? （3）A-(B+C)= (A-B)-C.? 证明：略.
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3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求： （1） A发生但B不发生的概率； （2） A，B都不发生的概率； （3） 至少有一个事件不发生的概率.
解（1） P（AB）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P(AB)=P(A?B)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3； (3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.
4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 （1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.
解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72
5.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 解：8/15
6.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。
（1）3本一套放在一起； （2）两套各自放在一起； （3）两套中至少有一套放在一起. 解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21
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7. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：?
（1） 每班各分配到一名优秀生的概率；? （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.? 解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为?
444C12C8C4?12! (4!)3（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”
3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有数为?
3！·
故有?
P（A）=
9!12!/=16/55 23(3!)(4!)9!9!= (3!)3(3!)29!种分法，由乘法原理，A包含基本事件(3!)3（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到
44同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为C19C8C4?9!，故由1!4!4!乘法原理，B包含样本总数为3·
9!.? 1!4!4!故有 P（B）=
3·9!12!/3=3/55 ?4！?2?4！?8.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只.? （1） 任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤
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b）;?
(2) 第k次才取到白球的概率（k≤b+1）;? （3） 第k次恰取到白球的概率.?
解 （1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.
?n从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有Cma?b种，每一种取
法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有Cma种不同的取法，从b只黑球中取n只，
n共有Cb种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取n法共有CmaCb种，于是所求概率为?
nCmaCbp1=m?n.?
Ca?b(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有Pak?b个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有Pbk?1种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一
1只，有Pa种不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取1到白球的取法共有Pbk?1Pa种，于是所求概率为
1Pbk?1Pap2=k.?
Pa?b(3) 基本事件总数仍为Pak?b.第k次必取到白球，可为a只白球中
1任一只，有Pa种不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1
只球中的任意k-1只，共有Pak??b1?1种不同的取法，由乘法原理，第k次
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恰取到白球的取法有Pa1Pak??b1?1种，故所求概率为?
Pa1Pak??b1?1ap3=k?.?
Pa?ba?b
9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.?
解 设在（0，1）内任取两个数为x,y，则?
0＜x＜1,0＜y＜1
图1-7
??
即样本空间是由点（x，y）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.?
令A表示“两个数乘积小于1/4”，则?
A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}
事件A所围成的区域见图1-7，则所求概率
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P(A) =
1??dx?1/4111/4xdy1?1??(1?1/411)dx311114x?1???dx??ln2.
141/44x4210.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.?
解 设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x-y｜≤20，即?
x-y≤20且y-x≤20.
令事件A表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A.则?
m(A)602?4025P(A) =??. 2m(?)609
11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.?
解 设A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件? 由条件得
P（A）=(3×4)/(5×4)= 3/5，? P(AB)= (3×2)/(5×4)= 3/10，?
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故有 P（B｜A）=P（AB）/P（A）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.
此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得?
P（B｜A）=2/4=1/2.?
12.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B). 解 P(BA?B)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51?
0.7?0.6?0.54 ?
13.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.
解 设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，Ri (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有
P(R1R2R3R4)?P(R1)P(R2R1)P(R3R1R2)P(R4R1R2R3) mm?knn?k????.m?nm?n?km?n?2km?n?3k?
14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得
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正品的概率。 解：0.92
15.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。
A解：设 表示取到第一箱零件，
：表示第ｉ次取到一等品，
P(B2)?P(A)P(B1B2A)?P(A)P(B2B1A)?P(A)P(B1B2A)?P(A)P(B2B1A)Bi(i?1,2)由全概率公式知：
P(B2B1)?211211C10C10C40C18C18C12?0.5(2??2?)?0.422C50A50C30A30P(B1B2)P(B1B2A)P(A)?P(B1B2A)P(A)?P(B1)P(B1A)P(A)?P(B1A)P(A)2?2)C50C30?0.48560.5(0.2?0.6)2C182C100.5(
?22C40C12 P(B1B2)?P(A)P(B1B2A)?P(A)P(B1B2A)?0.5(2?2)?0.3942C50C30
16.设有甲乙两袋，甲袋中有n只白球、乙袋中有N只白球、m只红球；
M只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.
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问从乙袋中取到白球的概率是多少？
解：记 A1：甲袋中取得白球；A2：甲袋中取得红球；B：从乙袋中取得白球； 由全概率公式
P(B)?P[(A1?A2)B]?P(A1B?A2B) ?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2) ?N?1nNm?M?N?1m?nM?N?1m?n
17.一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？
解：取出产品是B厂生产的可能性大。
18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95?现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.?
解 设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得?
P（A）=0.005, P(A)=0.995，? P(B｜A)=0.95,? P(B｜A）=0.95??
由此 P（B｜A）=1-0.95=0.05??
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由贝叶斯公式得?
P（A｜B）=
19.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9??? 解 设必须进行n次独立射击.
1?(0.8)n?0.9
P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)=0.087.
即为 (0.8)n?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.
20.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5， 1/3， 1/4，求将此密码破译出的概率.? 解 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
i?13 ?1????0.6
21.设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回的检查抽样，试求抽得k件次品的概 率.?
解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条件，令A表示“抽到一件次品”
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423534
????xe,x?0?2即密度函数为 f(x)?? ???e?xx?0??2当x≤0时F(x)????f(x)dx????e?xdx?e?x
2xx?12当x>0时F(x)????f(x)dx????edx??0e??xdx
?xx0?x?22 ?1?e??x
故其分布函数
?1??x1?e,x?0??2F(x)??
?1e?x,x?0??212(2) 由1????f(x)dx??0bxdx??1?121b1dx?? x222得 b=1 即X的密度函数为
0?x?1?x,?1?f(x)??2,1?x?2
?x其他??0,当x≤0时F（x）=0
当0 201x当1≤x<2时F(x)????f(x)dx????0dx??0xdx??1 ?? 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 第 16 页 共 41 页 x1dx 2x321x?0,?2?x,?F(x)??2?3?1,?2x?1,?x?00?x?11?x?2x?2 10.设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B； （2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。 1A=1/2，B=1； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[?(1+x2)] 解 ○ ? 11.某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率. 解 设乘客于7时过X分钟到达车站，由于X在［0，30］上服从均匀分布，即有 ?1?f(x)=?30,??0,0?x?30,其他. 显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为 3011P{10＜X≤15}+P{25＜X≤30}=?10dx??25dx=1/3. 303015 12.设X~N（3，22）， （1） 求P{2＜X≤5}，P{-4＜X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}; 第 17 页 共 41 页 （2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}. 【解】（1） P(2?X?5)?P??2?3X?35?3???? 22??2?1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2? ?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P???? 22??2??? ???????????0.9996 22????P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2) 77 ?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5??1???????????????1???? ?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3 13.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从?=170(cm),?=6(cm)的正态分布，即X~N（170，62），问车门高度应如何确定？ 解 设车门高度为h(cm)，按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X＜h}≥0.99，因为X~N（170，62），故 P{X＜h}=P??X?170h?170??h?170??????≥0.99， ?6??6?6?第 18 页 共 41 页 查表得 ?（2.33）=0.9901＞0.99. 故取 h?170=2.33，即h=184.设计车门高度为184（cm）时，可6使成年男子与车门碰头的机会不超过1%. 14.某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从?(160,202)分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）. 解：记取出的四只电子管寿命分别为X1,X2,X3,X4，所求概率为P，则 P?P{min(X1,X2,X3,X4)?180} ?P{Xi?180}4?[1?P{Xi?180}]4 i?1,2,3,4 ?[1??(1)]4?0.00063 习 题 三 1.设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律. 解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，且 P{X=i，Y=j}=P{Y=j｜X=i}P{X=i}=·，i=1，2，3，4，j≤i. 1i14第 19 页 共 41 页 于是（X，Y）的分布律为 表3?3 X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4 2.设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为 ?Ae?(3x?4y),x?0,y?0f(x,y)=?, 其他0,?1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 解：(1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8) 3.设随机变量（X，Y）的概率密度为 ?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=? 0,其他.?（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X＜1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 ??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1, 第 20 页 共 41 页 故 R?? （2） P{X?1,Y?3}???????f(x,y)dydx ??0?2k(6?x?y)dydx? (3) P{X?1.5}?x?1.51813??1388f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy 13D1 ??0dx?2(6?x?y)dy?(4) P{X?Y?4}?X?Y?41.5??127. 832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy 4D224?x ??0dx?212(6?x?y)dy?. 83 题5图 4.设(?,?)的联合密度函数为 ?1?,f(x,y)??2??0?x?1,0?y?20, 求（1）?与?中至少有一个小于1/2的概率；（2）???大于1的概率. 5. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)?A(B?arctanxy)(C?arctan) 23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断 X、Y的独立性。 解：（1） A?1?2,B??2,C??2 ；（2） f(x,y)?6；（3） 222?(4?x)(9?y)独立 ； 6. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， 第 21 页 共 41 页 （1）求系数A， （2）求(X,Y)的联合分布函数。 （3）求关于X及Y的边缘密度。 （4）X与Y是否相互独立？ （5）求f(yx)和f(xy)。 解：（1）A?24 0x?0或y?0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y20?x?10?y?x?（2）F(x,y)??3y4?8y3?6y2x?10?y?1 ??4x3?3x40?x?1x?y?1x?1y?1???12x2(1?x),0?x?1?12y(1?y)2,0?y?1 （3）fx(x)?? ； fy(y)?? 0,其他0,其他??（4）不独立 ?2y,0?y?x,0?x?12（5）fYX(yx)?? ； ?x?其他?0,?x)?2(1,y?x?1,?0y?12(1?y) fXY(xy)?? ??0,其他?7.设随机变量X~U(0,1)，当观察到X=x（0＜x＜1）时，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）. 解 按题意，X具有概率密度 fX（x）=??1,0?x?1 ?0,其他.类似地，对于任意给定的值x（0＜x＜1），在X=x的条件下，Y的条件概率密度 ?1?fY｜X（y｜x）=?1?x,x?y?1, ?其他.?0,因此，X和Y的联合概率密度为 第 22 页 共 41 页 ?1?f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）=?1?x,0?x?y?1, ?其他.?0,于是，得关于Y的边缘概率密度为 fY（y）=??????y1?dx??ln(1?y),0?y?1,f(x,y)dx???01?x ?0,其他.?8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为 1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0, 其他.（1）求X和Y的联合概率密度； （2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. y?1?2?1,0?x?1,e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)??? ?2?0,其他;?0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他. 题14图 (2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是 ??(2X)2?4Y?0 故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为： 第 23 页 共 41 页 P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy 1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.??dx?1x2 习 题 四 1.设随机变量X的分布律为 X Pk -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 解 Y可取的值为0，1，4，9 P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)? 故Y的分布律为 Y 0 1 4 9 第 24 页 共 41 页 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 2.证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。 ?2e?2x证明：提示：参数为2的指数函数的密度函数为f(x)???0?1?ln(1?y)?2x利用Y?1?e的反函数x??即可证得。 ?2?0?x?0x?0 ， 3.设X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny) ????fX(x)dx 故 fY(y)? (2) P(Y?0)?1 当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0 当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ???yfX(x)dx 故fY(y)?dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dyylnydFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π?2?y2/2e,y?0 2π4.设随机变量X~U（0,1），试求：Z= ?2lnX的分布函数及密度函数. 第 25 页 共 41 页 【解】 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z) ?P(lnX??)?P(X?e?z/2) ??e即分布函数 z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?01?z/2 dx?1?e?z/2z2故Z的密度函数为 ?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2 ?z?0?0, 5.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y X 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 第 26 页 共 41 页 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 （1） 求V=max（X，Y）的分布律； （2） 求U=min（X，Y）的分布律； 【解】 （1）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i} ??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3 ,4k?0k?0i?1i所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P (2) P{U?i}?P{min(X,Y)?i} ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 0 于是 U=min(X,Y) 0 P 0.28 ??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?5P{X?k,Y?i} i?0,1,2,3, 1 0.30 2 0.25 3 0.17 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 第 27 页 共 41 页 ?e?y,?1,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,y?0, 其他.求随机变量Z=X+Y的分布密度. 解 X，Y相互独立，所以由卷积公式知 fZ（z）=???fX(x)fY(z?x)dx.. 由题设可知fX（x）fY（y）只有当0≤x≤1，y＞0，即当0≤x≤1且z-x＞0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0≤x≤1 x＜z时，被积函数fX（x）fY（z-x）≠0.下面针对参数z的不同取值范围来计算积分. 当z＜0时，上述不等式组无解，故fX（x）fY（z-x）=0.当0≤z≤1时，不等式组的解为0≤x≤z.当z＞1时，不等式组的解为0≤x≤1.所以 ?ze?(z?x)dx?1?e?z,0?z?1,??0?1fZ（z）=??0e?(z?x)dx?e?z(e?1),z?1,， ?其他.?0,???7.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?12y2,0?y?x?1 f(x,y)?? 其它(x,y)?0,求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)；（2）随机变量Y的密度函数 fY(y)；（3）随机变量Z?X?Y的密度函数fZ(z). 解： 由题意 的概率密度函数分别为 ?x12y2dy?4x3,0?x?1? f (x)???0???X??0?0，x?1,x?0?第 28 页 共 41 页 X,Y fZ(z)??????112y2dx??12y2(1?y),0?y?1??fY(y)???y???0,y?1,y?0???0f(x,z?x)dxx,要使z由两个随机变量和的密度函数公式 ，0?x?1,x?z?2xz被积函数非０， 必须满足 故 的密度函数应为 8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为??0的泊松(Poisson)分布，证明X?Y仍服从泊松分布，参数为2?. 证明：记Z?X?Y，则Z所有可能的取值为：0,1,2,?,n,?， 由离散卷积公式有 P(Z?k)??P(X?i)P(Y?k?i) i?0k???00,z?0,z?2??z?z3??2fZ(z)???z12(z?x)dx??,0?z?12?2?31?z12(z?x)2dx?z?4((z?1)3,1?z?2????2?2第 29 页 共 41 页 ??i?0k?ii!e???k?i(k?i)!ke????ke?2?k! ?k!i?0i!(k?i)!k??ke?2?(2?)ke?2?2?k!k!k?0,1,?,n,? 即Z?X?Y服从参数为2?的泊松分布. 9.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 ?1000?f（x）=?x2,x?1000, ?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度. 【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0 （2） 当0 FZ(z)?1000）(如图a) zX?z} Y??y?xz6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz?103106?z =?103?2?3?dy? zy?2z?y?? 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） FZ(z)???y?xz6??zy10106dxdy??3dy?322dx 1010xyx2y2第 30 页 共 41 页 在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大； （2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）. (1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为 P{X?120}?1?120?10000?0.006???? 10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?60?1???59?.64?012e1?(60/2529.64)1???? 59.64?59.64 .1811?0.05?17?30e?(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”?于是所求概率为 ?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}???????? ?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?第 41 页 共 41 页 41