x??xf?95.475?10.59%?f901.4
50个商店的流通费用率为0.59%
例题12（计算题）已知甲企业的工人工资资料如下表4-32。 表4-32 工资额（元） x 625 675 850 925 975 1075 合计 工人数（人） f 4 10 16 20 7 3 60 工资总额（元） xf 2500 6750 13600 18500 6825 3225 51400 （x-x）2f 214683.96 330039.89 711.82 93379.78 98013.92 143003.97 87933.02 要求计算甲企业工人的平均工资和标准差。若已知乙企业工人的平均工资为874.96元，标准差为122.32元，问：甲乙两企业工人平均工资的代表性哪一个更高些？能否用标准差直接比较？
参考答案：
列表计算如表4-33： 表4-33 工资额（元） x 625 675 850 925 975 1075 合计 工人数（人） f 4 10 16 20 7 3 60 工资总额（元） xf 2500 6750 13600 18500 6825 3225 51400 （x-x）2f 214683.96 330039.89 711.82 93379.78 98013.92 143003.97 87933.02 先计算甲企业的平均数和标准差如下：
x??xf?f?51400?856.67(元)602??
（x?x）f??f?87933.02?121.09(元)60
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因为甲乙两企业工人平均工资水平不等，因此不能直接用标准差比较其平均数的代表性，应计算标准差系数，然后再进行比较。
V甲??x?100%?121.09?100%?14.13?6.67122.32?100%?13.98?4.96
V乙??x?100%?由于变异指标数值的大小与平均数的代表性高低成反比，所以上述计算结果表明，乙企
业工人平均工资的代表性高于甲企业。如果不计算标准差系数，直接用标准差比较就会得出相反的错误结论。
思考题
1、简述总量指标的概念、作用和种类。
2、总体单位总量和总体标志总量、时期指标与时点指标如何区别？
3、相对数的表现形式如何？它有哪几种？为什么要多种相对指标结合运用？ 4、强度相对指标和平均指标有什么区别？ 5、简述平均指标的概念、特点、种类、作用？
6、.结构相对指标、比例相对指标和比较相对指标有什么不同特点？强度相对指标和其它相对指标主要区别何在？
7、如何理解权数的意义？在什么情况下，应用简单算术平均数与加权算术平均数计算结果是一样的？请举例说明。
8、加权算术平均数与加权调和平均数之间的关系如何？ 9、什么是众数和中位数？它们有什么特点？ 10、什么是标志变动度？它有什么作用？ 11、为什么要计算标准差系数？
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《统计学原理》期末复习纲要（1——4章）
第一章 绪论
本章的重点
1、统计学的认识对象
——统计学是一门适用于社会现象和自然现象数量方面研究的方法论科学。
——统计学的认识对象是大量社会现象和自然现象总体的数量方面以及数量发展规律的具体表现。
——统计学认识对象的特点是数量性、总体性、具体性和社会性。 2、研究方法 ——大量观察法 ——统计分组法 ——综合指标法 本章的难点
3、统计学的基本概念。 ——总体与总体单位：
总体
统计总体是由客观存在的、具有某种共同特征的许多个别事物所构成的整体。它是由特定研究目的而确定的统计研究对象，可简称总体。 1、总体具备同质性、大量性、变异性三个特征。 2、总体的分类
有限总体与无限总体；实体总体与行为总体；事物总体与数值总体。 总体单位
构成总体的每一个个别事物称为总体单位。 ——标志与标志表现
1、标志是说明总体单位特征的名称。标志按其性质可以分为品质标志与数量标志。从总体观察标志还有不变标志与可变标志。
2、标志表现是标志特征在总体各单位的具体表现，是统计调查所得的结果。 ——变异与变量
1、总体各单位在标志表现上的差别称为变异。变异是统计的前提。 2、可变的数量标志称为变量。变量的具体取值称为变量值。 ——统计指标与统计指标体系
（一）统计指标是表明现象总体数量特征的概念及取值。
- 1 -
1、统计指标的涵义：指标是说明总体数量特征的名称。任何指标都可以用数字来表示。
2、统计指标的组成要素：指标由指标名称和指标数值两个要素构成。 3、统计指标的作用 4、统计指标的特点：
1、数量性。
即任何指标都可以用数值表示。没有不用数值表示的统计指标 2、综合性。
即任何指标都是综合说明总体数量特征的。 3、具体性。
即任何指标数值都是反映所研究现象在具体时间、地点、条件下的规模、水平。
4、指标与标志的区别与联系
区别：
（1）标志是说明总体单位属性或特征的名称，而指标是说明总体数量特征的名称；
（2）标志有品质标志（只能用文字表示）与数量标志（可以用数字表示）两种，而指标都可以用数字表示。 联系：
（1）许多指标值都是由数量标志值汇总而来的；
（2）由于总体和总体单位在一定条件下可以互相转化，则说明总体的指标和反映总体单位的标志之间也存在着变换关系。 5、统计指标的分类
（1）指标按其反映现象的数量特点不同分为：数量指标与质量指标 （2）统计指标按其数值表现形式不同分为：总量指标、相对指标与平均指标 （3）客观指标与主观指标 （二）统计指标体系
1、统计指标体系的涵义：统计指标体系是由一系列相互联系的统计指标所组成的有特定功能的整体。
2、统计指标体系设置的客观性 3、统计指标体系的框架
①按统计指标的内容不同可以分为：经济、社会、科技统计指标体系 ②按照研究目的和所起的作用不同可分为：描述、评价、决策统计指标体系
- 2 -
③按照指标所反映的管理层级可以分为宏观（国家）、中观（地区、部门）和微观（基层单位）统计指标体系；
④按照研究范围不同可以分为综合指标体系和专题指标体系。
课堂练习：
例题1（单项选择题）
社会经济统计的研究对象是（ ）。 A、抽象的数量关系
B、社会经济现象的规律性
C、社会经济现象的数量特征和数量关系 D、社会经济统计认识过程的规律和方法 答案：C
例题2（单项选择题）
标志是说明总体单位特征的名称；标志值是标志的数值表现，所以（ ）。 A、标志值有两大类，品质标志值和数量标志值 B、品质标志和数量标志都具有标志值 C、品质标志才有标志值 D、数量标志才有标志值 答案：D
例题3（多项选择题）
总体和总体单位不是固定不变的，它们随着研究目的的不同（ ）。 A、总体可以转化为总体单位 B、总体单位可以转化为总体 C、只能是总体转化为总体单位 D、只能是总体单位转化为总体 E、总体和总体单位可以相互转化 答案：ABE
例题4（多项选择题）
在全国人口普查中（ ）。 A、全国所有人口数是总体 B、每一个人是总体单位 C、人的年龄是变量
D、全部男性人口的平均寿命是统计指标 E、某人的性别为―女性‖是一个品质标志 答案：BCD
例题5（填空题）
统计总体的基本特征是___________、____________和_____________。 答案：大量性、同质性、变异性 例题6（简答题）
简述统计指标和标志的关系？ 答案：
标志和指标既有区别，又有联系。区别：第一，标志是说明总体单位属性或特征的名称；而指标是说明总体数量特征的名称。第二，标志有只能用文字说明的品
- 3 -
质标志和可以用数值表示的数量标志两种；而指标都能用数值表示。联系：第一，有许多统计指标的数值是由总体单位的数量标志值汇总而来的。第二，由于总体和总体单位是可变的，则说明总体的指标和反映总体单位的标志之间也存在着变化关系。 思考题
1、简述统计的涵义及其关系。 2、简述统计学与其他学科的关系。
3、什么是统计学的研究对象？它有什么特点？ 4、统计研究的基本方法是什么？
5、社会经济统计的任务和职能是什么？ 6、统计活动过程阶段及各阶段的关系如何？ 7、什么是总体与总体单位？ 8、简述标志和指标的关系。 9、什么是变量和变量值？
10、什么是统计指标体系？为什么统计指标体系比统计指标更重要？ 11、什么是连续变量和离散变量？如何判断？
第二章 统计调查
本章的重点是统计调查的方式和统计调查搜集资料的方法。 本章的难点是统计调查方案的设计和各种组织方式的结合运用。
1、统计调查的方式
?全面调查按调查对象包括的范围不同??非全面调查?经常性调查按调查登记的时间是否连续??一次性调查?统计报表按调查的组织方式不同??专门调查自填式方法???人员面访??电话调查按搜集资料的方法不同??直接观察法?电子数据报告???卫星遥感法
2、统计调查搜集资料
3、统计数据的类型（统计测量的有关概念）
统计指标的可量性决定了，在对于社会经济现象的数量方面进行研究时，必须予以量化，从数据量化的抽象程度不同大体分为以下几个层次：
- 4 -
（一）定类尺度
定类尺度，或称作列名尺度，就是将研究对象按某种特征将其划分成若干部分，并给每一类别定名，但不对类别之间的关系做任何假定。定类尺度是最粗略、精度最低的计量尺度，也是最基本的尺度。例如，在人口统计中按地区分组、民族分组，并用数字作为代号，如北京为01，河北为02等。在形式上，定类尺度具有对称性和传递性两种属性，对称性说明各类之间彼此相对称，传递性则表示运算上各类量值只具有相等与不相等的性质。这种测定尺度和分组在实际统计活动中使用得很广泛，主要用于计算各组数值占总体数值的比重和众数等，但不能对各类编号进行加减乘除计算。 （二）定序尺度
定序尺度，或称为顺序尺度，它是把各类事物按一定特征的大小、高低、强弱等顺序排列起来，构成定序数据。例如，将产品按其质量高低列成一等品、二等品、三等品，学生的成绩排列为优、良、中、及格、不及格等，这种测定尺度的量度层次要比定类尺度高一些，它不仅可以分类，而且可以确定这些类别的顺序，各类之间还能比较等级和次序上的差别。在运算上，各类量值除了具有等与不等的特征外，还有大于或小于之分，但其序号仍不能进行加减乘除计算。定序尺度除了可用来计量比重(频率)外，还可进行累计频数(率)、中位数等数值的计算。 （三）定距尺度
定距尺度，或称间隔尺度，它是把定序排列的各类事物间的差距，以一定的度量单位明确起来，构成定距的数据。这是比前两种尺度更精确的计量尺度，一般要求建立某种物理的量度单位。如考试成绩以分计量：长度以米计量等等。成绩每分之间的间隔是相等的，80分与90分的差距等同于90分与100分的差距。在运算上，除了等于、不等于、大于、小于之外，还可进行加减运算，但不能进行乘除运算。例如可以说30℃与25℃相差5℃，且它与10℃与5℃之间的差距相等，但不能说10℃比5℃热一倍。 （四）定比尺度
定比尺度或称比率尺度，是量度层次最高的数据测定尺度。它是在定距尺度的基础上增加了一个绝对零点，并抽象掉事物的度量差异的测定尺度。换言之，定距尺度中的0只表示某一个值，即0值；而定比尺度中的0是绝对零点，表示没有。定距尺度与定比尺度的差别，在于是否存在绝对零点，0在两者间的意义是不同的，如：某人数学考试得0分，只能表示他的数学成绩是0分，不等于说他完全没有数学水平，但如说某人的身高为0米，则表示此人是不存在。在运算上，定比尺度可以用于任何统计运算和比较。因此，许多统计的最终结果是以定比尺度给出的，是广泛使用和值得推广的测定尺度。
在测定尺度的应用中，需要注意的是，同类事物用不同的尺度量化，就会得到不同的尺度数据。如农民收入数据按实际值填写就是定距尺度；按高、中、低收入水平分就是定序尺度；按有无收入计量则成为定类尺度了；而如说某人的收入是另一人的两倍，则是定比尺度。又如，学生成绩若具体打分就是定距尺度，用优、良、中、及格、不及格划分就是定序尺度。一般因研究的目的和内容不同，计量尺度也会不同，若不担心损失信息量，就可降低量度层次，从而实现它们间的转化。例如，性别在医学上若根据荷乐蒙的比例来区分的话，就是定距尺度，而性别分为男、女，则是定类尺度。
4、统计调查方案的设计
一个完整的统计调查方案应该包括以下基本内容：
- 5 -
即：
（1）简单平均差：MD??x?xn（未分组数列）?x?xf（2）加权平均差：MD??f（分组数列）
显然，平均差弥补了全距之不足，它考虑了所有的标志值，能较好地反映总体各单位标志值的平均差异（离散）程度。
在计算平均离差时，要保证正、负离差和不至于在计算中相互抵销为零，则需取它们的绝对值。即数学处理上有困难，不符合代数方法演算，具有局限性。 （三）标准差
1、标准差的概念。
标准差是分布数列（总体）中各单位标志值与其算术平均数离差平方的平均数的平方根。即标准差是各变量值离差平方平均数的平方根。又叫均方差。用σ表示。而σ2称为方差。
标准差是测定标志变动程度的最主要的指标。标准差的实质与平均差基本相同，只是在数学处理方法上与平均差不同，平均差是用取绝对值的方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正负号，然后对离差的平方计算算术平均数，并开方求出标准差。 2、标准差的计算方法。
由于掌握的资料不同，标准差的计算可分为简单标准差和加权标准差两种形式。即：
（1）简单标准差：???(x?x)n2（未分组数列）（2）加权标准差：???(x?x)?f2f（分组数列）
（四）变异系数
标准差（或平均差）其数值的大小不但取决于数列各单位标志值的差异程度，而且要受其数列平均水平高低的影响，并且在反映标志值的差异程度时还带有计量单位。因此，如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较其数列平均数的代表性大小），这时需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标志变异系数。
标志变异系数是分布数列（总体）中，标志变异指标（全距或平均差或标准差）与其算术平均数之比，以反映标志值差异的相对水平，即变异系数是反映单位平均水平下的标志值的离散程度，常用的是标准差系数。
变异指标（σ或DM或R）变异系数?算术平均数（x） 标准差系数的计算方法如下
v甲??x
- 31 -
本章的难点是各种平均指标的计算以及应用条件，计算标志变异指标的方法。
课堂练习：
例题1（单项选择题）
人均粮食消费量是一个（ ）
A、强度相对指标 B、结构相对指标 C、比较相对指标 D、平均指标 答案：D
例题2（单项选择题）
权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（ ）。 A、各组标志值占总体标志总量比重的大小
B、作为权数的各组单位数占总体单位数比重的大小 C、标志值本身的大小 D、各组单位数的多少 答案：B
例题3（单项选择题）
已知两个同类型企业的职工工资水平的标准差分别为5元/人、6元/人，则甲、乙两个企业职工平均工资的代表性是（ ）。
A、一样的 B、甲企业＞乙企业 C、甲企业＞乙企业 D、无法判断 答案：D
例题4（多项选择题）
在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术平均数（ ）。 A、各组次数相等 B、各组变量值不等 C、变量数列为组距数列 D、各组次数都为1 E、各组次数占总次数的比重相等 答案：ADE
例题5（多项选择题）
权数对平均数的影响作用表现在（ ）。
A、当标志值较大的组次数较多时，平均数接近于标志值较大的一方 B、当标志值较小的组次数较少时，平均数接近于标志值较小的一方 C、当标志值较大的组次数较少时，平均数接近于标志值较大的一方 D、当标志值较小的组次数较多时，平均数接近于标志值较小的一方 E、当各组次数相同时，对平均数没有作用 答案：ADE
例题6（填空题）
某厂生产了三批产品，第一批产品的废品率为1％，第二批产品的废品率为1.5％，第三批产品的废品率为2％；第一批产品数量占这三批产品总数的25％，第二批产品数量占这三批产品总数的30％，则这三批产品的废品率为_____________。
答案：1.6%
例题7（简答题）
- 32 -
简述加权算术平均数与加权调和平均数的异同。 答案：
算术平均数和调和平均数的计算都符合总体标志总量除以总体单位总量这一基本原理，且当m＝xf时，二者存在着变形关系。在实际计算时平均数时，由于所掌握的资料不同，计算方法也不同，如果掌握被平均标志值的次数时用加权算术平均法，已知标志总量时用加权调和平均法；在由相对数或平均数计算平均数时，如掌握相对数或平均数的分母资料时用算术平均数计算；如掌握其分子资料时用调和平均数计算。
例题8（计算题）
例，某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表
工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工人数（人） 5 15 18 10 2 50 试计算工人平均工资。 解：工人平均工资计算过程如表4-3。
表4-3 各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量
工资额（元） x 460 520 600 700 850 合 计 各组工资额（x）?工人数（人） f 5 15 18 10 2 50 各组工资总额（xf）各组工人数（x）
工资总额（元） x f 2300 7800 10800 7000 1700 29600 平均工资为：x??xf460?5?520?15?600?18?700?10?850?2??592（元/人）5?15?18?10?2?f
注意：由组距数列计算加权算术平均数，可用组中值代表各组变量值。
例题9（计算题）
例，某公司所属6个企业，按生产某产品平均单位成本高低分组，其各组产量占该公司总产量的比重资料如表 按平均单元成本分组（元/件） 10～12 12～14 14～18 合 计
企业数 1 2 3 6 - 33 -
各组产量占总产量比重（%） 22 40 38 100 试计算该公司所属企业的平均单位成本。
解：该公司所属企业的平均单位成本计算过程如表 按平均单元成本分组 （元/件） 企业数 组中值 x 11 13 16 — 各组产量占总产量比重（%） f /∑f 10～12 12～14 14～18 1 2 3 22 40 38 合 计 平均单位成本：6 100 x??xf?f?11?0.22?13?0.4?16?0.38?13.7（元/件）
例题10（计算题）
某企业某月生产三批产品的合格率及各批产品产量资料如表
合格率（％） 90 95 98 产量（件） 1000 2000 3000 试计算产品平均合格率。
解：产品平均合格率计算过程如表
各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量 合格率（％） x 90 95 98 合 计 合格率（x）?合格品数量(xf)全部产品数量(f) 产量（件） f 1000 2000 3000 6000 合格品数量（件） x f 900 1900 2940 740 产品平均合格率：x??xf?f?5740?95.67`00
例题11（计算题）
某地20个商店，1994年第四季度的统计资料如下表4-29。 表4-29
- 34 -
按商品销售计划完 成情况分组(％) 80－90 90－100 100－110 110－120 商店 数目 3 4 8 5 实际商品销售额 （万元） 45.9 68.4 34.4 94.3 流通费用率 （%） 14.8 13.2 12.0 11.0 试计算：
（1）该地20个商店平均销售计划完成指标； （2）该地20个商店总的流通费用率。
(提示：流通费用率=流通费用/实际销售额)某地有50个商店，2003年第四季度的统计资料如下表4-30）
参考答案：
（1）50个商店的平均销售计划完成程度=总的实际销售额/总的计划销售额，缺分母资料用加权调和平均数。
列表计算如表4-30 表4-30：
按商品销售计划完 成情况分组(％) 80－90 90－100 100－110 110－120 合 计 组中值 x 85 95 105 115 — H?实际销售额（万元） m 9.35 18.05 460 414 901.4 计划销售额 m/x 11 19 483 360 873 ?m?751.9?103.25%m743?x
结果表明50个商店的平均销售计划超额完成3.25%。
（2）总的流通费用率=流通费用额/实际销售额，缺分子资料用加权算术平均数。 列表计算如表4-31： 表4-31 流通费用率% x 14 12 11 10 合 计 实际销售额（万元） f 9.35 18.05 460 414 901.4 流通费用额（万元） xf 1.309 2.166 50.6 41.4 95.475 - 35 -
权数选择的原则：各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量 （x） × （f ） = （x f ）
此等式必须有实际经济意义，（即三个量之间存在着客观的数量对等关系），各组单位数（f ）才是加权算术平均数的合适权数。即： 被平均的标志值（x）?分子数值?分母数值?各组标志总量（xf）各组单位数（f）?权数
如前例4-11计算工人平均工资时，被平均的标志值x（各组工资额）是绝对数。此时工人数为合适的权数（符合权数选择的原则）。
例4-14，某工业局所属企业产值计划完成％、企业数和计划产值资料如表4-7。 表4-7 产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 计划产值（万元） 100 800 100 1000 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。
解：此例被平均的标志值x（各组产值计划完成程度）是相对数。 本例以企业数（次数）为权数，不符合权数选择原则。 即：
各组产值计划完成％ × 企业数 = 各组标志总量 （x） × （f） = （x f）
95％ × 5 = 475%（无意义）
本例正确的权数（f）应为各组计划产值，它符合权数选择的原则。即： 各组产值计划完成程度(x)?各组实际产值(xf)各组计划产值(f)
各组产值计划完成％ × 各组计划产值 = 各组实际产值 （x） × （f） = （x f） 95% × 100（万元） = 95（万元）（等式有意义）
平均产值计划完成程度计算过程如表4-8。
表4-8 各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量
产值计划完成程度（％） 企业数 组中值 x 计划产值（万元） 实际产值（万元） f x f - 21 -
90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 100 800 100 1000 95 840 115 1050 平均产值计划完成程度为：x??xf?f?0.95?100?1.05?800?1.15?1001050??10500100?800?100
由此可得出以下结论：当被平均的标志值是绝对数或相对数或平均数时，要选择
构成其绝对数或相对数或平均数的分母数值作为各组单位数，即权数（f）；要选择构成其绝对数或相对数或平均数的分子数值作为各组标志总量（x f）。 （四）算术平均数的数学性质和特点 1、算术平均数的数学性质。
（1）各变量值与其平均数离差之和等于零。
（x?x）?0 ?（x?x）f?0?
（2）各变量值与其平均数离差的平方和是一个极小值。
2即：（x?x）?最小值?22或 ?（x?x）??（x?x0） 其 中:x?x0
（3）如果原变量与新变量之间的关系是：y = a + b x 其中 a 和 b 为常数，
则，
y?a?bx
2、算术平均数的特点。
算术平均数易受极端标志值（极大值或极小值）和开口组的影响。 调和平均数
调和平均数的概念。
调和平均数是分布数列中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称―倒数平均数‖。
设有三个标志值分别为：x1、x2、x3，则， 算术平均数为：x?x1?x2?x33
调和平均数为：13?111111????x1x2x3x1x2x33
2、调和平均数的计算方法。
根据所掌握资料的不同，调和平均数具体计算可分为简单调和平均数和加权调和平均数。
（1）简单调和平均数。其计算公式为： H? - 22 -
H?1111????x1x2xnn?n111????x1x2xn?n1?x
（2）加权调和平均数。其计算公式为：
H?1m1m2mn????x1x2xnm1?m2???mn?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?mm?x
当 m1 = m2 = … = mn = A 时， 加权调和平均数H??mm?x?Ann?11A??xx简单调和平均数
（二）调和平均数的应用（作为算术平均数的变形形式来应用）
H?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?m?mx
式中：H：加权调和平均数； x：各组标志值； m = x f：各组标志总量
例4-15，某企业工人各级别的工资额及相对应的工资总额资料如表4-11。 表4-11 工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） 2300 7800 10800 7000 1700 29600 试计算工人平均工资。
解：该企业工人平均工资计算过程见表4-12。
表4-12 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 工资额（元） x 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） m=x f 2300 7800 10800 7000 1700 29600 工人数（人） f=m/x 5 15 18 10 2 50 - 23 -
?各组工人数(f)?各组工资总额(xf)各组工资额(x)
平均工资为：H?m1?m2???mn2300?7800?10800?7000?1700?m1m2mn230078001080070001700????????x1x2xn4605206007008502300?7800?10800?7000?17005?15?18?10?2?29600?592（元/人）50
?与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：
?xf460?5?520?15?600?18?700?10?850?2平均工资：x???592（元/人）f5?15?18?10?2?
（三）调和平均数和算术平均数关系
加权调和平均数m?xf?H???xmf??x加权算术平均数
从上述关系式可见：在 m = x f 的条件下，根据同一标志值（x）资料，采用加
权调和平均数计算平均指标与采用加权算术平均数计算平均指标的结果完全相同，因为两者均符合总体标志总量（∑x f ）与总体单位总量（∑f）的对比关系，所以，加权调和平均数是加权算术平均数的变形。
两者不同在于计算平均指标时应用的权数资料不同，加权算术平均数是以各组单位数（f）为权数，加权调和平均数是以各组标志总量（m= x f）为权数。
例4-16，某工业局所属企业的产值计划完成%、企业数和实际产值资料如表4-13。
表4-13
产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 实际产值（万元） 95 840 115 1050 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。 解：该企业工人平均工资计算过程见表4-14。
表4-14 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 产值计划完成程度（％） 企业 数 组中值 x 实际产值（万元） m=x f 计划产值（万元）f=m/x - 24 -
90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 95 840 115 1050 100 800 100 1000 各组产值计划完成%（x）?各组实际产值（各组标志总量xf?m）各组计划产值（各组单位数f）
平均产值计划完成程度为：H??m??mx95?840?11595?840?1151050???105?840115100?800?1001000??0.951.051.15
与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：
平均产值计划完成程度为：?xf0.95?100?1.05?800?1.15?1001050x????10500f100?800?100?
例4-17，某种蔬菜早、午、晚的价格及购买金额资料如表4-15。
表4-15 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） 5 6 7 18 试计算该种蔬菜的平均购买价格。
解：该种蔬菜平均购买价格计算过程见表4-16。
表4-16 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） m=x f 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） m=x f 5 6 7 8 蔬菜购买金额(xf)蔬菜购买量(f)
购买量（斤） f=m/x 20 30 70 120 蔬菜平均购买价格(x)? - 25 -
蔬菜平均购买价格为：H??m?m?x5?6?75?6?718???0.15（元/人）56720?30?70120??0.250.20.1
小结：
调和平均数的应用场合。
第一，在采用算术平均数计算平均指标时，由于资料的限制当我们无法直接得到被平均标志值（x）相对应的各组单位数（f ）时，可通过调和平均数的形式以求出所需的各组单位数（f ）。
第二，在由相对数或平均数计算平均指标时，如果掌握的权数资料是相对数或平均数的母项数值（即各组单位数 f ）时，应采用加权算术平均数计算；如果掌握的权数资料是相对数或平均数的子项数值（即各组标志总量x f）时，应采用加权调和平均数计算。
（四）调和平均数的特点
1、它易受极端标志值和开口组的影响；
2、当数列中某项标志值为零时，则无法计算调和平均数。 几何平均数
1、几何平均数（G）的概念。
几何平均数是分布数列中n个单位标志值连乘积的n次方根。 2、应用场合。
它适合于计算现象的平均比率或平均速度。当变量值的连乘积等于总比率或总速度，适合用几何平均法。 几何平均数的计算方法
几何平均数根据所掌握资料不同，其计算分为简单几何平均数和加权几何平均数两种方法。
1、简单几何平均数（适用于计算未分组数列的平均比率或平均速度）。 简单几何平均数的计算公式为：
G?nx1?x2?x3???xn?n? x
式中，G：几何平均数； x：各单位标志值； n：标志值的个数； ∏：连乘符号。
例4-18，我国1996～2000年钢产量各年（环比）发展速度资料如表4-17。
表4-17
年 份 钢产量（万吨） 环比发展速度（％） 1995 9400 — 1996 10110 107.55 1997 10757 106.40 1998 11559 1999 12426 2000 12850 107.46 107.50 103.41 试计算1996～2000年钢产量年平均发展速度。 解：钢产量年平均发展速度计算过程见表4-18。 表4-18
年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 - 26 -
钢产量 （万吨） 环比发 展速度 （％） 9400 a0 10110 a1 10757 a2 11559 a3 12426 a4 12850 a5 — x1?a1a0 x2?a2a1 x3?a3a2 x4?a4a3 x5?a5a4 107.55 钢产量平均发展速度为：106.40 107.46 107.50 103.41 G?nx1?x2?x3???xn?51.0755?1.0640?1.0746?1.0750?1.0341?106.45%
2、加权几何平均数（计算分组数列的平均比率或速度）。即当标志值次数不同时采用。
加权几何平均数的计算公式为：
例4-19，某企业1990～2001年产值发展速度如表4-19。
23G??fx1f1?xf2 ?xf3???xnfn表4-19
环比发展速度（％） 104 时 期 1990年～1993年 1993年～1998年 年～1999年 1999年～2001年 次数f 3 5 1 2 试计算1996～2000年钢产量年平均发展速度。 解：产值平均速度计算过程如下：
?ff1G?x1?x2f2 ?x3f3???xnfn?1.02?1.04?0.98?1.03113512?102.71%
（三）几何平均数的特点 1、易受极端标志值的影响；
2、数列（总体）中某一标志值为零或为负数时，则无法计算几何平均数。 五、众数和中位数
算术平均数、调和平均数和几何平均数是根据总体各单位标志值计算的，所以称为数值平均数。众数和中位数不是根据总体的全部标志值计算的，而是根据与其所处的特殊位置有关的一部分标志值计算的，故，众数和中位数是两个位置平均数。
（一）众数
1、众数的概念。
众数就是分布数列中最常出现(频数或频率最大)的标志值。数列中最常出现的标志值说明该标志值最具有代表性，因此可以之反映数列的一般水平。 2、确定众数的方法。
（1）由单项式数列确定众数。 （2）由组距式数列确定众数。
由组距式数列确定众数先确定众数组，即次数最多的一组，而后运用下面公式计算众数的近似值。
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M0?L?Δ1Δ2?d?U??dΔ1?Δ2Δ1?Δ2(fm?fm?1)?d(fm?fm?1)?(fm?fm?1)
或M0?L?式中：
L：众数所在组的下限；U：众数所在组的下限； △1：众数组频数与其前一组频数之差； △2：众数组频数与其后一组频数之差； d：众数所在组的组距。
例4-21，某乡农民家庭有关资料如表4-21。
表4-21 农民家庭按年人均纯收入分组（元） ～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 1800～2000 2000～2200 2200～2400 2400～ 合 计 试确定众数和中位数。
解：该乡农民家庭年人均纯收入，即众数为：
家庭数（户） 240 480 fm－1 1050 fm 600 fm+1 270 210 120 30 3000 M0?L?(fm?fm?1)?d(fm?fm?1)?(fm?fm?1)1050?480?200?1551.（元）81050?480?1050?600
?1400?3、众数的特点和应用条件。
（1）众数的特点。
它是一种位置平均数，不受极端标志值或开口组的影响。所以，当总体出现极端标志值时，众数比算术平均数更能反映总体各单位标志值的一般水平。 （2）众数的应用条件。
在分配数列中，当标志值的次数有明显集中趋势的情况下，才能确定众数。故，在分配数列中，当标志值的次数没有明显集中趋势或呈均匀分布的情况下，不存在众数。 （二）中位数
1、中位数的概念。
将分布数列中各单位标志值依其大小顺序排列，位于中间位置的标志值称为中位数（Me）。中位数表明，数列中有一半单位的标志值小于中位数，一半单位的标志值大于中位数。
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2、中位数的特点。
(1)它是一种位置平均数，不受极端标志值或开口组的影响。
因为中位数的确定仅取决于它在数列中的位置，所以它不受少数极端标志值的影响，在这一点上它优于算术平均数。因此某些场合，用中位数来表示现象的一般水平比算术平均数更
(2)中位数的数学性质:就是总体各单位标志值与其中位数的绝对离差的总和是一个最小值。即：
∑| x－ Me | ＝ 最小值 3、确定中位数的方法。
（1）由未分组数列确定中位数 中位数根据下列公式确定：
?n?1?Me?第??个标志值2??
确定中位数时要注意n为奇数和偶数的不同。
(2)由分组数列确定中位数。
第一步，确定中位数所在组（采用向上或向下累计方法）； 第二步，根据下列公式确定中为数的近似值。即：
?fMe?L?2?Sm?1fm?d?U??f2?Sm?1fm?d
式中：
L：中位数所在组的下限；∑f：数列的频数总和；
∑f/2：中位数的位次； fm：中位数所在组的频数； Sm－1：中位数所在组之前那组的向上累计频数；
根据例4-21，某乡农民家庭有关资料如表4-21，计算该乡农民家庭年人均纯收入的中位数。
解：该乡农民家庭年人均纯收入，即中位数为：
?fMe?L?2?Sm?1fm3000?7202?d?1400??200?1548.（6元）1050
六、各种平均数之间的关系
（一）几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系
三种平均数有其各自的应用条件和特点，但从数量关系上看，存在某些规律性的东西。对同一资料分别用三种方法计算，其结果是算术平均数最大，几何平均数次之，调和平均数最小。只有当所有变量值都相同时，三者结果才相等。 三者关系式用不等式表示为：
x?G?H
x1?x2?2x1?x2?211?x1x2
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（二）算术平均数与众数、中位数的关系 1、对称钟型分布。 Mo= Me =X
2、钟型偏态分布 （1）右偏分布。
即多数标志值居数轴左边。 Mo＜Me＜X
（2）左偏分布。
即多数标志值居数轴右边。
X＜Me＜Mo 四、变异指标
一、变异指标的概念
标志变异指标（又称标志变动度），它是反映分布数列（总体）中各单位标志值差异程度的综合指标。它从另一个角度反映总体的特征。 二、标志变异指标的作用
1、它可以说明总体各单位变量值分布的离中趋势。 2、它是衡量平均数代表性的尺度。
标志变异指标与平均数的代表性成反比，表明总体各单位标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代表性越小；标志变异指标数值越小，平均数的代表性越大。
3、它可以反映社会经济活动过程的均衡性或稳定性程度。 4、它还是抽样分析和相关分析的重要指标。
注意：标志变异指标的作用是在与平均指标结合中产生的，离开了平均指标，它就失去了意义。而它与平均指标相结合，则可全面反映总体的特征，并对平均指标的代表性做出评价。
二、变异指标的种类和计算方法
变异指标包括以下几种：全距、平均差、标准差和变异系数。 （一）全距
全距是标志值数列（总体）中最大值与最小值之差，又称―极差‖。它说明标志值的变动范围，一般用R 表示。用公式表示为： 全距 ＝ 最大标志值 － 最小标志值
全距是测定标志变动度的一种粗略方法，全距可用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。其特点是计算简单，含义明确，对于测定对称分布的数列具有特殊优点。但是，全距仅取决于两个极端数值，带有较大的偶然性，不能全面反映总体各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。 （二）平均差
1、平均差的概念。
平均差是分布数列（总体）中各单位标志值与其算术平均数之间离差绝对值的平均数。一般用MD表示 2、平均差的计算方法。
由于掌握的资料不同，平均差的计算可分为简单平均差和加权平均差两种形式。
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