第5章 动量和冲量
第五章 动量和冲量
内容：
§5－1 质点和质点系的动量定理（3课时） §5－2 动量守恒定律（3课时）
*§5－3 系统内质量移动问题（1课时） *§5－4 质心 质心运动定律（1课时）
§5－5 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞（3课时） §5－6 能量守恒定律（1课时）
要求：
1.要阐明动量定理与牛顿第二定律的区别与联系。
2.要突出动量的失量性，通过实例说明二维碰撞中如何体现动量守恒。 3.要注意动量守恒定律的适用条件，明确动量守恒定律是一条基本规律，为此，可适当联系某些微观物理现象加以说明。 4.要讲授火箭推进的基本原理，对理论公式不一定推证。
重点与难点：
１．动量定理和动量守恒定律的应用。
２．动量守恒定律在喷、洒等变质量问题中的应用。
作业：
P196 1，2，3 P197 5, 6, 7 P198 8, 10
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第5章 动量和冲量
第五章 动量和冲量
§5－1 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。
一、冲量 质点的动量定理
1．动量：Momentum——表示运动状态的物理量
1）引入：质量相同的物体，速度不同，速度大难停下来，速度小容易停下；速度相同的物体，质量不同，质量大难停下来，质量小容易停下。
2）定义：物体的质量m与速度v的乘积叫做物体的动量，用P来表示 P=mv
3）说明：动量是矢量，大小为mv，方向就是速度的方向；动量表征了物体的运动状态 4）单位：kg.m.s-1
5）牛顿第二定律的另外一种表示方法 F=dP/dt 2．冲量:Impulse
1）引入：使具有一定动量P的物体停下，所用的时间Δt与所加的外力有关，外力大，Δt小；反之外力小，Δt大。 2）定义：
作用在物体外力与力作用的时间Δt的乘积叫做力对物体的冲量，用I来表示 I= FΔt
??在一般情况下，冲量定义为 I??Fdt
3）说明：冲量是矢量；表征力持续作用一段时间的累积效应。 4）单位：N.m 与动量的单位是相同的。
※动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之前，由笛卡尔（R. Descartes）于1644年引入，它纯粹是描述物体机械运动的一个物理量。由经验知道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些；同样，要使质量相同的两辆车停下来，速度大的就要比速度小的难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变时，必须同时考虑质量和速度这两个因素，为此而引入了动量的概念。 3．动量定理:Theorem of momentum 1）推导
设作用在质点上的力为F，在Δt时间内，质点的速度由v1变成v2，根据牛顿第二定律 F?ma?m???dvdt 可得 Fdt?mdv 积分 ?Fdt??mdv
?t?v1????v2????即 I?mv2?mv1
2）内容：
在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于此质点在此时间内动量的增量。 3）说明：
（1）冲量的方向并不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同。 （2）动量定理的分量式
Ix??Fxdt?mv2x?mv1x
?t
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Iy? Iz??F?tydt?mv2y?mv1y dt?mv2z?mv1z?F?tz
（3）动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的。 （4）动量定理的成立条件——惯性系。 ※ 动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些，力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。
???※ 注意I是过程量，累积量；F是瞬时量；p是状态量。 4）应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床
避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 例——利用动量定理计算平均冲力
动量定理常用于碰撞、打击等问题的研究。在碰撞等过程中，由于作用的时间Δt极短，冲力的大小变化很大且很难测量；但是只要测出碰撞前后的动量和碰撞所持续的时间，则可得到平均冲力
?1F＝?t?1????Fdt?mv?mv21 ??t?t说明：
? 在碰撞过程中，可以认为质点没有位移；
? 由于冲力很大，在碰撞过程中作用在质点上的其他
有限大小的力与冲力相比，可忽略不计。
动量定理常用于碰撞过程。例子，处理方法将在后面介绍（学功、能后）。碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。请看例子：
?F?
?t2t1Fdt???mv2?mv1t2?t1
现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力，有时又为避免冲力造成损害而减少冲力。
如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用，冲头的动量很快地减为零，相应的冲力很大，因此钢板所受的反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了；
当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对手的冲力。
思考：冲量的方向是否与作用力的方向相同？
?（1）如果F是一个方向不变，大小变的变力，
??那末冲量I方向与F方向相同，冲量I大小由外力
大小和外力持续作用时间决定。如右图所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或系于平均冲
?力F下的面积。
?I?t2t2?t1?（2）如果F?t1??Fdt?F(t2?t1)?分冲量Fdt的矢量总和所决定。
?是一个方向和大小都变的变力，那末冲量I的大小和方向是由这段时间内所有微
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例题：一弹性球，质量m=0.2kg，速度为v=6m/s，与墙壁碰撞后跳回，设跳回时速度的大小不变，碰撞前后的方向于墙壁的法线的夹角都是α=600，碰撞的时间为Δt=0.03s。求在碰撞时间内，球对墙壁的平均作用力。
?解：以球为研究对象，设墙壁对球的作用力为F??速度为v1和v2，由动量定理得
???F?t?mv2?mv1
，球在碰撞过程前后的
建立如图所示的坐标系，则上式写成标量形式为
Fx?t?mv2x?mv1x
Fy?t?mv2y?mv1y
??(?mvcos?)?2mvcos? 即 Fx?t?mvcos Fy?t?mvsin??mvsin??0 因而 Fx?2mvcos?/?t
Fy?0
代入数据，得
Fx?2?0.2?6?cos600/0.03?40N
根据牛顿第三定律，球对墙壁的作用力为40N，方向向左。
二、质点系的动量定理 1．两个质点的情况
设系统内有两个质点1和2，质量分别为m1和m2，作用在质点上的外力分别为F1和F2，而两质点之间的相互作用力为F12和F21，根据动量定理，在Δt=t2-t1时间内，两质点的动量的增量分别为
t2
??????F＋Fdt?mv?mv11110?112t1
t2?????? F＋Fdt?mv?mv22220?221t1把上面两式相加，得
t2
t2??????F1＋F2?dt＋??F12＋F21?dtt1t1
?????(m1v1?m2v2)?(m1v10?m2v20)??考虑牛顿第三定律 F12??F21
t2得
??F＋F?dt12t1???????(m1v1?m2v2)?(m1v10?m2v20)
即：作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2．推广：n个质点的情况
t2
t2?n???n???Fi外?dt＋???Fi内?dt?????t1?i?1t1?i?1nnii?mvi?1??mv
ii0i?1
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n 考虑到内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其矢量和必为零，即?Fi内?0
?设作用在系统上的合外力用F外力t2i?0?表示，且系统的初动量和末动量分别用P0和P表示，则
?t1?F外力dt????I＝P－P0n?i?1?mivi?n?i?1?mivi0
或
即，作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定理。 3．分量形式 Ix=Px-Px0 Iy=Py-Py0 Iz=Pz-Pz0
即某一方向作用于系统达到的所有外力的冲量的代数和等于在同一时间内该方向系统的动量的增量。
4．说明：（1）合外力——作用于系统的合外力是作用于系统内每一质点的外力的矢量和。只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力是不能改变整个系统的动量的。
（2）无限小的时间间隔的过程 ?? F外dt＝dP 力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析 *动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 牛顿定律是动量定理动量定理是牛顿定律的积分的微分形式 形式 质点 质点、质点系 惯性系 惯性系 必须研究质点在每时只需研究质点（系）始末两刻的运动情况 状态的变化 例题：如图所示，一柔软链条长为l，单位长度的质量为λ。链条放在桌上，桌上有一个孔，链条一端有小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条由于自身的重量开始下落。求链条下落速度与落下距离之间的关系。设链条与各处的摩擦均不计，且认为链条柔软得可以自由伸开。
解：如图所示，选桌面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴正方向。设在某时刻，链条下落部分长度y，此时在桌面上的链条长度为l-y，它们之间的作用力为内力。作用于系统的外力有：下落部分链条所受的重力m1g，桌面上的链条所受的重力m2g和支持力N，且N=-m2g，故作用在系统上的外力为
F=m1g=λyg 有动量定理可得
Fdt=m1gdt=λygdt=dp
下面求dp的表达式。设在t时刻，链条下落的长度为y，下落速度为v，则链条的动量为 P=m1v=λyv 因而 dtp?? dt(yv) 故 ? ygdtt?? dt(yv) 于是 yg?d(yv)dt
同乘以ydy，得
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y2gdty?yydtydttyvdt(yv)?yvdt(yv)
积分 得
?y02gdty?3?yvdt(yv)
013gy?12(yv)2
?2?v??gy??3?1/2因而链条下落的速度和落下的距离的关系为
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§5－2 动量守恒定律
一、动量守恒定律
?当系统所受合外力为零时，即F外力?0时，系统的动量的增量为零，这时系统的总动量保持不变，即
P=Σmivi＝恒矢量
动量守恒定律内容：当系统所受合外力为零时，系统的的总动量保持不变。 分量式：
Px=Σmivix=Cx (合外力Fx=0) Py=Σmiviy=Cy (合外力Fy=0) Pz=Σmiviz=Cz (合外力Fz=0) 说明：
1．守恒的含义——系统的总动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变；
2．系统动量守恒的条件——系统所受的合外力为零。在某些情况下，质点所受的外力比内力要小得多，则外力可以忽略不计，此时系统的动量守恒；
3．内力的作用——不改变系统的动量，但是可以引起系统动量内各质点的动量的变化； 4．动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量；
5．动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
二、应用动量守恒定律的注意问题
1. 在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。
2. 系统动量守恒的条件是合外力为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点系的总动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件。如碰撞、打击、爆炸等问题，因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、摩擦力或重力）与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。
3. 如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。这对处理某些问题是很有用的。
4. 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。
虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛顿运动定律。动量的概念
?不仅适用于以速度v运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再
?能用mv这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过程，动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。
解题步骤：
1．按问题的要求与计算方便，选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 47
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例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？
解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有
m1v1+m2v2=0 或v2=-m1v1/m2 人相对于车的速度 u=v1-v2=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t内从车的一端走到另一端，则有 l??t0udtt??tm1?m2m20v1dtt?m1?m2m2?t0v1dtt
m1m1?m2l在这段时间内人相对于地面的位移为x1??t0v1dtt?
小车相对于地面的位移为 x2??l?x1??m1m1?m2l
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*§5－3 系统内质量移动问题
引言：当系统内部的质量发生流动时，系统内各部分的质量、速度和动量要发生变化。例如砂粒流入车厢，柔软的绳落在桌面，火箭飞行等。本节为火箭的飞行为例，简单介绍系统内质量流动的问题。
一、 火箭运动的微分方程
在t时刻，火箭－燃料系统（简称系统）的质量为M，它相对于某一选定的惯性参考系（如地
?球）的速度为v，在t→t+Δt时间间隔内，有质
?量为Δm的燃料变为气体，并以速度u相对火箭喷射出去。在时刻t+Δt火箭相对选定的惯性参考系的速度为v??v，而燃烧气体粒子相对选定 的惯性参考系的速度则为v +Δv+u。
按上述分析，在时刻t,系统的动量为 P(t)=Mv
??????在时刻t+Δt,系统的动量为p?t＋?t???M??m??v??v???m?v??v?u?
???在t→t+Δt时间间隔内系统动量的增量为 ?p?p?t??t??p?t?
???即 ?p?M?v?u?m 由上式可得动量随动量随时间的变化率，为
?dpdt?M?dv?dm?udtdt
由于气体相对火箭的喷射速度u与火箭相对惯性参考系的速度v方向相反。上式中dm/dt是
气体质量随时间的变化率，而气体是由火箭中喷射出来的，故有 dm/dt= -dM/dt 于是，上式可写成
?dpdt?M?dv?dM?udtdt
由动量定理我们可以知道作用于系统的合外力应等于系统的动量随时间变化率。因此，若以
F表示作用于系统的合外力，则有
???dpdv?dM?M?u F? dtdtdt???dMdv?F?u上式也可写成 Mdtdt
udM/dt叫作火箭发动机的推力。从上式可以看出，火箭的加速度与外力F及推力的矢量和成
正比。当外力给定时，推力越大，火箭获得的加速度dv/dt也越大。如果把燃烧气体相对火箭
?的速率u称为气体的排出速率，那么从上式还可以看出，要使火箭获得大的推力，必须使气体具有较大的排出速率u和较大的气体排出率dM/dt。假如气体的排出速率为2000m/s,气体排出率为300kg/s,则火箭的推力为6×105N。上式也叫火箭方程。
二、火箭运动的速度公式
对于在远离地球大气层之外，星际空间（即所谓自由空间）中飞行的火箭，可以认为系统不受外力作用，即F=0，于是火箭方程为 M
?dv?dM?udtdt
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或 Mdv=udM
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一般来说，认为气体的排出速度u为一常量。若在t=0时，火箭的质量为M0，速度为v0，在t=t时刻，火箭的质量为M，速度为v。那么对上式积分，得
?v0??dv?u???vM?M0dMMMM
M0???ulnM有 v?v0?uln如果令v0=0，则 v??uln??MM0??
0
由于u与v方向相反，如选用v的方向为x轴的正向，则上式可以写成 v?ulnMM0
式中M0/M叫做质量比。由上式可以看出，质量比越大，火箭获得的速度越大。上式可以写成 M?M0e?v/u
例如有一火箭，射出的粒子相对于火箭的速率为2×103m/s，燃料用完后，火箭的速率达到8×103m/s（即人造地球卫星的速率），这样，v/u=4。由上式可以算出，质量比为54.6，或M0=54.6M，即火箭－燃料系统的最初质量是它有效载荷（净载质量）的54.6倍。此外，由于v =4 u，所以由火箭最后射出的粒子群相对于火箭静止而言的速率为4 u-u=3u= 6×103m/s，即这些粒子以6×103m/s的速率沿与火箭相同的方向运动。
三、多级火箭
? 由以上分析可知，要提高火箭的速度就要尽量加大气体排出速率u和提高质量比M0/M,但提高M0/M值在技术是有很多困难的。所以，在设计火箭时，为了获得很大的速度，一般采用多级火箭。在火箭飞行过程中，第一级火箭先点火，当第一级火箭的原料用完后，使其自行脱落，这时第二级火箭开始工作，余此类推，这样可以使火箭获得很大的飞行速度。
设各级的质量比为Ni， 则
v1?v0?u1lnN1 v2?v1?u2lnN2 ???????? vn?vn?1?unlnNn
因而vn?u1lnN1＋u2lnN2＋?＋unlnNn
当u1=u2=u3=…=uN时，有
vn?u（lnN1＋lnN2＋?＋lnNn)?uln（N1N2?Nn)
例如，当u=2000m/s，N=5
三级火箭，速度就可得v=10100m/s
但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。
美国发射的“阿波罗”登月飞船的“土星五号”火箭为三级火箭，第一级：u1=2.9km/s，N1=16；第二级：u2=4km/s，N2=14；第三级：u3=4km/s，N3=12；火箭起飞质量为2.8×106kg，高度为85m，起飞推力为3.4×107N。
我国的长城三号火箭为三级火箭，火箭起飞质量为2.02×105kg，高度为43.35m，起飞推力为2.74×107N，从1986年起开始为国际提供航天发射服务。
四、在地球表明情况
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第5章 动量和冲量
对于在引力场中竖直发射的火箭，如忽略空气阻力，有 M?v?dv??dM?mg?udtdttM
?若火箭在飞行过程中，气体排出速率u和重力加速度g均为常数，则有
?v0????dv?gdt?u??t0?M0dMM?
MM0得 v?v0?g(t?t0)?uln???
?因为火箭竖直向上发射，取竖直向上为正向。且设t0?0, v0?0，则时刻t，火箭的速度为
v?－gt?ulnMM0＝ulnMM0－gt
例题：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为λ。将其卷成一堆放在地面上。
若手握链条的一端，以匀速v将其上提。当绳端提离地面的高度为x时，求手的提力。
解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点O，竖直向上为x轴。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端距原点的高度为x，其速率为v，由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻t，链条的动量为
?? p?t??? xvi
链条的动量随时间的变化率为
?dp?t?dt?dx?2?? vi?? vidt
作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力λxg和λ(l-x)g以及地面对链条的支持力
N，由牛顿第三定律知N与λ(l-x)g大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为 ???F－? xg＝(F－? xg)i
??2因而 (F－? xg)i?? vi 故 F?? v2＋? xg
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第5章 动量和冲量
*§5－4 质心 质心运动定律
内容：1．质心的概念；2．质心运动定律。
一、质心（Center of Mass）的概念 1．例子：水平上抛三角板；运动员跳水 2．质心——代表质点系质量分布的平均位置，质心可以代表质点系的平动。
3．推导：N个质点组成的质点系，第i个质点的质量为mi，位
?????置矢量为ri，所受的合力为Fi?fi?fi外，其中fi为系统内各质
?点对它作用的内力，fi外为系统外质点对它作用的外力。根据
牛顿第二定律得 mi2?dridt2????Fi?fi?fi外
对整个质点系中的所有质点求和
?2??driFi＝?mi2dt
由于质点系内各质点之间的相互作用满足牛顿第三定律，
??这些相互作用力的和为零(?fi?0)，所以?Fi等于质点系所
???受的合外力Fc，即?Fi＝Fc，而
2?22dridd??midt2＝dt2??miri?＝?midt2
??miri??mi?
因而可引入质心
n
?rc??i?1ni?1?miri
i?mn在直角坐标系中，质心位置矢量各分量的表达式为：
nini
?m xc?i?1ni?1xi?m，yc?i?1ni?1yi?m，zc?i?1ni?1izi
i?m rc??1Mi?m
1Mi?m对于连续分布的物体，质心的计算公式为：
?r?dm分量形式为
xc?1M?xdm，yc??ydm，zc?1M?zdm
例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。
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第5章 动量和冲量
解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度?为恒量，取微元ds?dxdy的质量为 dm?? ds?? dxdy 所以质心的x坐标为 xc???x?dxdy ??? dxdyabx
从图中可以看出，三角形斜边的方程为y?a?ba?abx
??x? dxdy积分得 xc?0b0a?abx??ab6ab22?b3
???? dxdy00同样可以求得质心的y坐标yc?ba?abx??y? dxdy ??? dxdyaba6?ab322??y? dxdy积分 yc?0b0a?abx??
???? dxdy00因而质心的坐标为 ?,?
?33??ba?说明：
1）坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；
2）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； 3）质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上； 4）质心和重心（Center of Gravity）是两个不同的概念
质心是有由质量分布决定的特殊的点；重心是地球对物体各部分引力的合力的作用点。当物体远离地球时，重力不存在，重心的概念失去意义，但是质心还是存在的。 二、质心运动定律（Theorem of Motion of Center-of-Mass） 1．系统的动量
把质心公式对时间求导 M?drcdt?drcdt??m?dridti ，
?dridt?为质心的速度vc为第i个质点的速度为vi，因而上式为
?? Mvc???mivi???pi
即，系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积。 2．质心运动定理
引入系统动量以后，系统所受的合外力可以写成
??dvc?Fc?M?Macdt
即，作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。
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第5章 动量和冲量
它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质量全部集中于系统的质心，在合
?外力的作用下，质心以加速度ac运动。
说明：无论系统内各质点的运动任何复杂，但是质心的运动可能相当简单，只由作用在系统上的外力决定；内力不能改变质心的运动状态。大力士不能自举其身就是一例。质心是质点系平动的代表点，各质点追随质心的运动，表现出系统的整体运动。 3．克尼希（Konig Theorem）定理
质点系的总动能，等于相对于质点系的动能，加上随质点系整体平动的动能，即
Ek?Ek??12mvc2
例题：设有一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相等的两个碎片。其中一个碎片竖直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二各碎片落地点在何处？
解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一个碎片的落地点为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，设m1和m2为两个
碎片的质量，且m1= m2=m；x1和x2为两个碎片落地点距原点
的距离，xc为弹丸质心距坐标原点的距离。有假设可知x1=0，于是 xC?m1x1?m2x2m1?m2
由于x1=0，m1= m2=m，由上式可得 x1=xc
即第二各碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一个碎片水平距离的两倍。
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第5章 动量和冲量
§5－5 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一、碰撞（Collision） 1．基本概念：
碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。
碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。
碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。 2．特点：
1）碰撞时间极短
2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒
3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计 3．碰撞过程的分析：
讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发
生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。
4．分类：根据碰撞过程能量是否守恒
1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）； 2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；
3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。
二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision）
在碰撞后，两物体的动能之和（即总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。
解题要点：动量、动能守恒。
??问题：两球m1，m2对心碰撞，碰撞前速度分别为v10,v20，
??碰撞后速度变为v1,v2 动量守恒
m1v1?m2v2?m1v10?m2v20 （1） 动能守恒 m1v12?2112m2v2?212m1v10?212m2v202 （2）
（3） （4）
由（1） m1?v1?v10??m2?v20?v2?
222??m2?v20?v2? 由（2） m1?v12?v10由(4)/(3) v1?v10?v2?v20
或 v10－v20?v2－v1 （5）
即碰撞前两球相互趋近的相对速度v10-v20等于碰撞后两球相互分开的相对速度v2-v1。由（3）、（5）式可以解出：
55
第5章 动量和冲量
v1??m1?m2?m2?v10?2m2v20m1?m2?m1?v20?2m1v10m1?m2
v2?
讨论：
? m1?m2，则v2?v10，v1?v20，两球碰撞时交换速度
? v20?0，m1??m2则v1?－v10，v2?0，m1反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰
撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。
? 若m2< 球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。 三、完全非弹性碰撞（Perfect Inelastic Collision） 如两物体在碰撞后以同一速度运动（即它们相碰后不再分开），这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。 解题要点：动量守恒。 碰撞后系统以相同的速度运动v1?v2?v 动量守恒 m1v10?m2v20??m1?m2?v 所以 v?动能损失为 m1m111?122?2?v10?v20?E＝?m1v10?m2v20???m1?m2?v???2222m?m??12m1v10?m2v20m1?m2 ?2 四、非完全弹性碰撞 两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就叫做非弹性碰撞。 解题要点：动量守恒、能量守恒。 由于压缩后的物体不能完全恢复原状而有部分形变被保留下来，因此系统的动量守恒而动能不守恒。 实验表明，压缩后的恢复程度取决于碰撞物体的材料。牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v 2-v1与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为以定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为恢复系数（Coefficient of Restitution），用e表示，即 e?v2?v1v10?v20 由上式可见：e=0，v2=v1，为完全非弹性碰撞； e=1，v2=v1= v10-v20，为完全弹性碰撞； 0 v1??m1?m2?em2?v10?(1?e)m2v20m1?m2?em1?v20?(1?e)m1v10m1?m2 v2? 56 第5章 动量和冲量 例题：如图所示，质量为1kg的钢球，系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳子的另一端固定。把绳子拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为5kg的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。 解：本题分三个过程： 第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。 121mv0?mgl2 (1) 12第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒。 mv02?212mv2?MV2 (2) mv0?mv?MV (3) 第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。 12mv2?mgh (4) 由(2)、(3)可得 m?v02?v2?＝MV2 (5) m?v0?v??MV (6) (6)/(5)，得 v0?v?V 代入(2) mv0?mv?M?v0?v? 因而 v??(4)/(1)，得 vv220?m?M??v0 ?m?M?(7) ?hl 2 (8) ?m?M?(7)代入(8) h???lm?M??2 ?1?5?代入数据，得 h????0.8?0.356m?1?5? 57 第5章 动量和冲量 §5－6 能量守恒定律 一、内容： 如果系统内除了万有引力、弹性力等保守力作功以外，还有摩擦力或其他非保守内力作功，那么这系统的机械能就要发生变化，但它总是转换为其他形式的能量，这是由大量的实验所证明的。 对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，能量的总和是不变的。这就是能量守恒定律。 该定律是自然界的基本定律之一，是物理学中最具普遍性的定律之一，可适用于任何变化过程，不论是机械的、热的、电磁的、原子和原子核内的，以及化学的、生物的等等，其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只不过是前者的一个特例。 二、说明： 1． 能量守恒定律是19世纪，经过J.M.Meyer，D.Joule和H.Von Helmholtz等人的努力建立起来的。Engels把能量守恒定律同生物进化论、细胞的发现相提并论，誉为19世纪的三个最伟大的科学发现。 2． 因为能量是各种运动的一般量度，所以能量守恒定律所阐明的实质就是各种物质的运动可以相互转换。 三、能量守恒定律的重要性： ? 自然界一切已经实现的过程无一例外遵守能量守恒定律。 ? 凡是违反能量守恒定律的过程都是不可能实现的，例如“永动机”只能以失败而告终。 ? 利用能量守恒定律研究物体系统，可以不管系统内各物体的相互作用如何复杂，也可以 不问过程的细节如何，而直截了当地对系统的始末状态的某些特征下结论，为解决问题另辟新路子。这也是守恒定律的特点和优点。 四、 守恒定律的意义 自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。 物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为： 第一，从方法论上看：利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末态下结论（特点、优点）。 第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用(牛顿定律只适用于宏观、低速，但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不对过)。 第三，从认识世界来看：守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中，当发现某个守恒定律不成立时，往往作以下考虑： (1)寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。 (2)引入新概念，使守恒定律更普遍化。 (3)无法“ 补救”时，宣布该守恒定律失效。 例：中微子的发现 问题的提出:β衰变：核A → 核B + e 如果核A静止,则由动量守恒应有 PB +Pe = 0 ；但β衰变云室照片表明, B、e的径迹并不在一条直线上。 问题何在? 是动量守恒有问题?还是有其它未知粒子参与? 物理学家坚信动量守恒。 58 第5章 动量和冲量 ? 1930年泡利(W.Pauli)提出中微子假说，以解释β衰变各种现象。 ? 1956年(26年后)终于在实验上直接找到中微子。 ? 1962实验上正式确定有两种中微子：电子中微子νe、、μ子中微子νμ 第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）： 动量守恒 相应于 空间平移的对称性 能量守恒 相应于 时间平移的对称性 角动量守恒 相应于 空间转动的对称性 *功与能量的联系和区别 能量守恒定律能使我们更深刻地理解功的意义。 按能量守恒定律，一个物体或系统的能量变化时，必然有另一个物体或系统的能量同时发生变化。所以当我们用作功的方法（以及用传递热量等其他方法）使一个系统的能量变化时，在本质上是这个系统与另一个系统之间发生了能量的交换。而这个能量的交换在量值上就用功来描述。所以说， （1）功总是和能量的变化与转换过程相联系。 （2）功是能量交换或变化的一种量度。 （3）能量是代表物体系统在一定状态下所具有的作功本领，它和物体系统的状态有关，是系统状态的函数。 59