概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第二章
2－1 解：
不能。因为 （1）P(X1??1)??0.5?0；（2）?P(X2?xi)?0.85?0。 2－2 解：
X P 3 1/10 4 3/10 5 6/10
2－3 解：
4取法：n?C5，X的取值：0，1，2，3。所以 4?kC3k?C12P(X?k)?4C15(k?0,1,2,3)，分布列为
X P 0 33/91 1 44/91 2 66/455 3 4/455 2－4 解：
由概率的规范性性质 （1）?P(X?k)??k?1?k?1?NN?P(X?k)?1，得：
a?a?1；∴ a?1。 N（2）?P(X?k)??k?1a?a?1；∴ a?1。 kk?12 2－5 解：
3?1? P(X?k)????4?4?k?1(k?1,2,??)
2n?13?1? P(X?2n)????4?4?
(n?1,2,??)
1
3??1? P(X?偶数)??P(X?2n)????4k?1?4?k?1?2n?11314??? 245?1?1????4?
2－6 解：
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 P(X?4)?
2－7 解：n重贝努利试验，X~B(20,0.1) 解法一：
3（1）P(X?3)?C20p3(1?p)17?0.1901；
16P(7?X?10)?1。 2（2）P(X?3)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?0.3231； （3）最可能值：k?[(n?1)?0.1]?2；P(X?2)?0.2852。 解法二：利用泊松定理，P(X?k)?23?2e?0.1804； （1）P(X?3)?3!?kk!?e??(k?0,1,??)，??np?20?0.1?2
（2）P(X?3)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?0.3233 （3）最可能值：k?[(n?1)?0.1]?2；P(X?2)?0.2707
2－8 解： X~B(n,p)，n?730?10,p?1?0.1，令 ??np?2 365 由泊松定理知 P(X?k)??kk!?e??(k?0,1,??)
P(X?2)?1?P(X?1)?1?3e?2?0.594。0
2
2－9 解：
X~B(20,0.2)，P(X?k)?Ck10pk(1?p)10?k(k?0,1,??)
P(X?4)?1?P(X?3)?0.1209。
2－10 解：
X~B(100,0.01)，∵n?100?10,p?0.01?0.1??np?1
近似看作 X~P(?)，设同时出现故障的设备数为X，N为需要的维修工数，由题意P(X?N)?0.01，故
Nk?P(X?N)?1?P(X?N)?1????k??k?0k!e???k??N?1k!e?0.01
查泊松分布表得 N+1＝5，即 N＝4。 2－11 解：
X~B(50000,0.0001)??np?5
泊松定理知 Pn(X?k)??kk!?e???5k?5k!?e(k?0,1,??)
P(X?0)?50?0!?e5?6.738?10?3
P(X?5)?1?P(X?5)?1????k???0.5595。
k?5k!e?1 2－12 解：
X~P(?)??4
?（1）P(X?8)?P(X?8)?P(X?9)???k???k??k?8k!e???k?9k!e?0.0297
?（2）P(X?10)???k??k!e?0.00284
k?11
3
2－13 解：
（1） 由概率的规范性 1??f(x)dx??cxdx???0??11c，得 c＝2； 2（2） P(0.3?X?0.7)??2xdx?0.4；
0.30.7（3） 由题意知 对0?a?1 有
?a0 2xdx??2xdxa1 得 a2?1?a2 ∴ a?12 （4） 分布函数定义式：F(x)??f(t)dt
??x当 x?0 时， F(x)?0 ；
当 0?x?1 时， F(x)?0??2tdt?x2；
2x当 x?1 时， F(x)?1
?0?∴ F(x)??x2?1?x?00?x?1 x?1
2－14 解：
（1） 由概率的规范性，1??f(x)dx??????Adx?Aarctgx??1?x2???????A?
∴ A?1? （2） P(X?1)?
2－15 解：由概率的规范性
1??f(x)dx??????111??1dx?(?)? 2??1?1?x?44211c1?x20dxx?sint????22cdt?c? ∴ c?1?
1111??1P(X?)??21?dx?(?)?
??2?6631?x22 2－16 解：
（1）当 x?0 时， f(x)?F'(x)?0 ；
4
1当 x?0 时， f(x)?F'(x)?e?x；
当 x?0 时， F'(x)存在，且F'(0)?0,?f(0)?0
?e?x f(x)???0x?0 x?0（2）P(X?4)?F(4)?1?e?4,P(X?1)?1?P(X?1)?1?F(1)?e?1 2－17 解：
X~e(?)??0.1
（1）P(X?10)??0.1e?0.1xdx?e?1?0?0.36788
10??（2）P(10?X?20)??0.1e?0.1xdx?e?1?e?2?0.2325
1020 2－18 解：
X~N(160,0.062) (0.05?0.12)???2?
P(X?0.05?0.12)?1?P(X???2?)?1?P(??2??X???2?)?1?0.9545?0.0455
22－19 解：X~N(160,?0)
P(120?X?200)??(??(40200???0120??)??()?040?0)??(?40?0)?2?(40
?0)?1?0.8?(?0)?0.9，查表得
40?0?1.28 得 ?0?31.25
2－20 证明：
P(??k??X???k?)??(??k?????k???)??()??5
??(k)??（－k)??(k)?[1??(k)]?2?(k)?1
2－21 解：
由条件 P(X?c)?P(X?c) 得
P(X?c)?1?P(X?c)?1?P(X?c)，∴ P(X?c)?0.5，
已知 X~N(3,22)，图形关于x??(?3)轴对称，即P(X??)?0.5 ∴ x???3
2－22 证明：
∵ X服从几何分布，∴ P(X?k)?qk?1p(q?1?p,k?1,2,??) qn?k?1p?1?p(1?q??qn?1)
P(X?n?k)P(X?n?k|X?n)??P(X?n)?p?qk?1p?P(X?k)n1?q1?p1?qqn?k?1qn?k?1p1??qk?1pk?1n2－23 略。
2－24 解： （1）
Y＝2X+1 -3 -1 1/5 1 1/4 3 1/4 5 1/5 P（Y＝yi） 1/10 （2）
Y＝X2 P（Y＝yi） 2－25 解：
?1f(x)???00?x?1其它0 1/4 1 9/20 4 3/10
6
y??2lnx,(0?x?1)?x?g(y)?e,(0?y???),1?2?1[g(y)]??e2y?1?2?e∴ ?(y)??2?0??1?y2y
y?0y?0
2－26 解：
?1?f(x)??6??00?x?6其它
11(1?1)? 63当 0?y?3时，x?3??y?[g?1(y)]'??1??(y)?当 y为其它时，?(y)?0，综合得
?1??(y)??3??0 2－27 解：
0?y?3其它
（1）y?2x2?1?(y?1)g?1(y)??12??y?14y?11[g?1(y)]'?? 222(y?1)∴ 当y?1时 ?(y)?ey?1???111?e4 ?????22(y?1)22(y?1)??2?(y?1)当y?1时 ?(y)?0， 综上得
y?1??1e4??(y)??2?(y?1)??0y?1y?1
（2）y?x?(y?0)g?1(y)??y,[g?1(y)]'??1
∴ 当y?0时 ?(y)?12?e?y22(1?1)?2?e?y22
当y?0时 ?(y)?0， 综上得
7
?2?y?e2?(y)????0?2y?0y?0
另一解法：
?P(?y?X?y)FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)???0 而 P(?y?X?y)??yy?0 y?0y?y1fX(x)dx?2?2?y?ye?x22dx???20e?x22dx
?2?y?e2' ∴ fY(y)?FY(y)????0?y?0y?0
2－28 解：
当 k?4n?1时，Y＝1；当k?4n?2或k?4n时，Y＝0；当k?4n?3时，Y＝-1。 ∴ P(Y??1)??P(X?4n?1)??n?1n?1???124n?1?2 15? P(Y?0)??[P(X?4n?2)?P(X?4n)]??[n?1n?12?4n?2111 ]?n423 P(Y?1)??P(X?4n?3)??n?1n?1??124n?3?8 15Y的分布列：
Y P
2－29 略。
-1 2/15 0 1/3 1 8/15 8