概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第二章
2－1 解： 不能。因为 2－2 解：
XP(1)P(X1=-1)=-0.5<0;(2)?P(X2=xi)=0.85 0。
3 1/10 4 3/10 5 6/10
2－3 解： 取法：n=P(X=k)=C54，X的取值：0，1，2，3。所以
k4-kC3×C12C154(k=0,1,2,3)，分布列为
1 44/91 2 66/455 3 4/455 XP 0 33/91 2－4 解：
由概率的规范性性质 ?NNP(X=k)=1，得：
(1)邋P(X=k)=k=1ゥk=1aNak=a=1;\\a=1
=a=1;\\a=1(2)邋P(X=k)=k=1k=12 2－5 解：
1
3骣1÷P(X=k)=???÷桫4?4÷k-1(k2n-11,2,??)
3骣1÷P(X=2n)=???÷桫4?4÷ゥ(n1,2,??)1=34?4骣1÷1-?÷??桫4÷2
15P(X=偶数)=邋P(X=2n)=k=1骣1?÷?÷桫4k=1?4÷32n-1 2－6 解：
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2－7 解：n重贝努利试验，X解法一： （1）P(X（2）P(X=3)=C20p(1-p)3317P(X?4)16P(7＃X10)=12。
~B(20,0.1)
=0.1901；
?3)1-P(X?2)1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.3231；
2；P(X=2)=0.2852。
（3）最可能值：k=[(n+1)?0.1]解法二：利用泊松定理，P(X23=k)蛔lkk!e-l(k=0,1,??)，l=np=20?0.12
（1）P(X（2）P(X=3)=3!e-2=0.1804；
?3)1-P(X?2)1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.32332；P(X=2)=0.2707
（3）最可能值：k
2－8 解：
X~B(n,p=[(n+1)?0.1]),n=7>301p0=,1365<0 .l1，令
=np=2
2
由泊松定理知 P(X=k)蛔lk-lk!e(=k0,?1?,
) P(X?2)1-P(X?1)-1-2e3=0。.5 940
2－9 解： kk X~B(20,0.2),P(X=k)=C10p(1-p)10-k(k=0,1,??)P(X?4)1-P(X?3)0.1209
2－10 解：
X~B(100,0.01),?n=100>10,p=0.01<0.1l=np=1
近似看作
X~P(l)，设同时出现故障的设备数为X，N为需要的维修工数，由题意P(X>N)<0.0，故
1 N￥P(X>N)=1-P(X；N)1-邋lklk-lk=0k!e-l=k=N+1k!e<0.01
查泊松分布表得 N+1＝5，即 N＝4。 2－11 解：
X~B(50000,0.0001)l=np=5
P蛔lkl5k泊松定理知5n(X=k)k!e-=k!?e-k(0,?1?,
)P(X=0)蛔505-30!e-=6.738 10￥k
P(X<5)=1-P(X郴5)1-?le-l=1-0.5595k=5k! 2－12 解：
X~P(l)l=4ゥ(1)P(X=8)=P(X?8)P(X?9)邋lke-l-lk-lk=8k!k=9k!e=0.0297
￥(2)P(X>10)=?lkl=0.00284k=11k!e-
3
2－13 解：
（1） 由概率的规范性 1=蝌- （2） P(0.3<0.7+ 1f(x)d=x01cx=dx2c c＝2； ，得
X<0.7)=ò2xdx=0.40.3；
1（3） 由题意知 对0＃a 得
a=1-a221
有 蝌2xdx=02xa2xdxa
∴
a=1 f(t)dt（4） 分布函数定义式：F(x)=ò- 当 当 当
x<0
时，
1
F(x)=0 ；
x0?xx31
时，
F(x)=0+ò2tdt=x22；
时， F(x)=1
∴
ì?0??2F(x)=?íx???1??x<00?xx311
2－14 设随机变量X的概率密度为
ì???????f(x)=?í?????????1329,,x?[0,1]x [3,6] other0,若k使得P(X?k)2323，则k的取值范围是多少？
+ 解：由题意知
=P(X??k)?k)k)+ òkf(x) dx1 当x<1时，P(X 当x>3时，P(X 所以，当1＃x
蝌k+ f(x)dx=k613296dx+0+dx+0= 29dx+0=2323+13(1-k)>23；
3蝌kf(x)dx=k+ 29(6-k)<6。
233时，P(X?k)蝌kf(x)dx=0+329dx+0=
2－15 解：由概率的规范性
4
+ 11=蝌f(x)dx=01c1-x11-x22p2dxx=sint-? cdt=cpp2\\c=1p
P(X?12)
ò-2121p?dx1pp1(+)=p663 2－16 解：
（1）当
当 当
x<0x>0x=0 时， 时， 时，
xf(x)=F'(x)=0 ；
-xf(x)=F'(x)=e；
\\f(0)=0F'(x)存在，且F'(0)=0,x>0x￡0
-ì?ef(x)=?í?0??
,P(X>1)=1-P(X?1)1-F(1)=e-1（2）P(X 2－17 2－18 2－19
2－20 解：
X~e(l)?4)F(4)=1-e-4
l=0.1+ (1)P(X?10)(2)P(10＃Xò0.1e-0.1xdx=e-0.1x-1-0=0.36788-1
102020)=ò0.1edx=e-e-2=0.232510 2－21 解：
X~N(160,0.06)2(0.05?0.12)m 2s
5
P(X-0.05>0.12)=1-P(X-m 2s)=1-P(m-2s＃Xm+2s)
=1-0.9545=0.0455 2－22 解：X~N(160,s20)
P(120＃X200)=F(200-m)-F(120-ms0s)0=F(404040
s)-F(-s)=2F(00s)-1=0.80F(4040s)=0.9，查表得
0s?1.28 得
s0?31.2 50 2－23
2－24 设随机变量X~N(3,22)。
（1）求P(2 （2）确定c，使得P(X>c)=P(X c)； （3）设d满足P(X>d) 0.9，问d至多为多少？ 解： （1） （2）由条件 P(X>c)=P(X c) 得 P(X?c)1-P(X>c)=1-P(X?c),P(X?c)0.5 已知 X~N(3,22)，图形关于x=m(=3)轴对称，即P(X?m)∴ x=m=3 （3） 6 0.5 2－25 2－26* 证明： ∵ X服从几何分布，∴ P(XP(X=n+k|X?n)=k)=qk-1pn+k-1n(q=1-p,k=1,2,??) P(X=n+k)P(X?n)=1-qpk-1=pq1n+k-1pn-1?k=1qp(1+q+?q)=qn+k-1pn 1-p1-q=qk-1p=P(X=k)1-q2－27* 略。 2－28 解： （1） Y＝2X+1 -3 -1 1/5 1 1/4 3 1/4 5 1/5 P（Y＝yi） 1/10 （2） Y＝X2 P（Y＝yi） 2－29 解： ì?1f(x)=?í?0??y=-2lnx,[g-10 1/4 1 9/20 4 3/10 0＃x其它1 -1-y2(0＃x12e-y21)?xg(y)=e,(0 (y)]=-ì?1-?e∴ j(y)=?í2??0???y2y>0y￡0 7 2－30 解： ì?1??f(x)=í6??0??0＃x其它3时，x-3=鞭y6 1613当 0＃y[g-1(y)]=盶1'j(y)=(1+1)= 当 y为其它时，jì?1??j(y)=í3??0??(y)=0，综合得 0＃y其它3 2－31 解： （1）y=2x+1?2(y1)g-1(y)=?y-12[g-1(y)]' 212(y-1)-y-14 ∴ 当y>当y￡1时 j(y)=12pe-y-14轾1犏+犏22(y-1)2犏臌12(y-1)=21p(y-1)e 1时 j(y)=0， 综上得 ì???j(y)=?í2?????01p(y-1)y￡1e-y-14y>1 （2）y=x蕹(y0)g-1(y)=?y,12py2[g-1(y)]'2p 1 y2∴ 当y>当y￡0时 时 j(y)=e-2(1+1)=e-2 0j(y)=0， 综上得 y2ì?2-?e?j(y)=?íp?????02y>0y￡0 另一解法： FY(y)=P(Y?y)P(X?y)ì??P(-y＃Xí???0y)y 0y<0 8 而 yP(-y＃Xy)=蝌-yfX(x)dx=212pye-y-x22dx=2py e0-x22dx ∴ fY(y)=FY'ì?2-?e?y(=)?íp?????0y2y>0y￡0 2－32* 解： 当 ∴ k=4n-1时，Y＝1；当k=4n-2或k=4n时，Y＝0；当k=4n+3时，Y＝-1。 ゥP(Y=-1)=邋P(X=4n-1)=n=1n=1124n-1=215 124n-ゥP(Y=0)=邋[P(X=4n-2)+P(X=4n)]=n=1ゥn=1[+212]=n413 P(Y=1)=邋P(Xn=1=4n-3)=n=1124n-3=815 Y的分布列： Y P 2－33* 略。 -1 2/15 0 1/3 1 8/15 9