解析几何复习
解析几何知识复习总结
本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围?0,??。 [题目 1] 直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是______________； [题目2] 过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[范围是______ ?2?3,3],那么m值的 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k? [题目3] 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件； [题目4] 实数x,y满足3x?2y?5?0 (1?x?3)，则为______ [题目5] 函数f(θ)=y1?y2?x1?x2?；（3）应用：证明三点共线： kAB?kBC。
x1?x2y的最大值、最小值分别x ??3、直线的方程：（1）点方向式：已知直线过点(x0,y0)，其一个方向向量是d?(u,v)，则当uv?0时，
x?x0y?y0?直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线。（2）点法向式：已知直线过点(x0,y0)，其一uv?个法向量是n?(a,b)k，则直线方程为a(x?x0)?b(y?y0)?0,它可表示所有直线。（3）点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线。（4）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线。（5）一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式。
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。
sin??1的最大值为_________，最小值为_________. cos??2第 1 页 共 14 页
解析几何复习 [题目6] 过点A(1,4)，且在坐标轴上截距相等的直线共有_________条 [题目7] 已知直线l的方程为3x?4y?12?0，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______； [题目8] 若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______； 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；（2）知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；（4）与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0；（5）与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C1?0.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B22；
（2）两平行线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0间的距离为d?C1?C2A?B22。
6、直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系： （1）平行?A； 1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y轴上截距）（2）相交?A1B2?A2B1?0；特别是垂直?A1A2?B1B2?0。 （3）重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。
提醒：（1）
A1B1C1ABABC、1?1、1?1?1仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要??A2B2C2A2B2A2B2C2条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线。
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解析几何复习 [题目9] 设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1?l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合； [题目10] 两条直线ax?y?4?0与x?y?2?0相交于第一象限，则实数a的取值范围是____； [题目11] 设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA?x?ay?c?0与bx?sinB?y?sinC?0的位置关系是_________； l[题目12] 已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)?0上一点，P2(x2,y2)是直线外一点，则方程f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是_________； [题目13] 直线l过点（１，０），且被两平行直线3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的线段长为9，则直线l的方程是________； 7、两直线的交角
（1）直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围
是0????；
2（3）设两直线方程分别为：
l1:y?k1x?b1l1:A1x?B1y?C1?0l2:y?k2x?b2或l2:A2x?B2y?C2?0
A1A2?B1B2A12?B12?A22?B22|或tan??k2?k1或AB?A2B1；
tan??121?k2k1A1A2?B1B2①?为l1和l2的夹角，则cos??|②当1?k1k2?0或A1A2?B1B2?0时，??90o；
注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直
线斜率不存在时，用数形结合法处理。
提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。 [题目14] 已知点M是直线2x?y?4?0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______ 8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法： 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
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解析几何复习 [题目15]已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______； [题目16] 已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________； [题目17] 点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________； [题目18]已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________； [题目19] 已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程； [题目20] 直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______； 9、圆的方程：
2⑴圆的标准方程：?x?a???y?b??r。
22 ⑵圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0(D＋E－4F?0)，
22特别提醒：只有当D＋E－4F?0时，方程x?y?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?222222DE,?)，22半径为1D2?E2?4F的圆。二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是2A?C?0,且B?0且D2?E2?4AF?0）；
x?a?rcos??⑶圆的参数方程：，其中圆心为(a,b)，半径为r。 y?b?rsin?（为参数）
?圆的参数方程的主要应用是三角换元：
x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?；
x2?y2?t?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t)。
⑷A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0。
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解析几何复习 [题目21]圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________； [题目22] 圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________； [题目23] 如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____； ２[题目24]方程x2+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____； [题目25]若M?{(x,y)|3cos??xy??3sin?（?为参数，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若M?N??，则b的取值范围是_________ 10、点与圆的位置关系：已知点M?x0,y0?及圆C：?x-a???y?b??r2?r?0?， （1）点M在圆C外?CM?r??x0?a???y0?b??r2； （2）点M在圆C内?CM?r??x0?a???y0?b??r2；
2（3）点M在圆C上?CM?r??x0?a???y0?b??r。
22222222 [题目26] 点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______ ２ 11、直线与圆的位置关系：直线l:Ax?By?C?0和圆C：?x?a???y?b??r222?r?0?有相交、相离、
相切。可从代数和几何两个方面来判断：
??0?相交；??0?相离；??0?（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d?r?相交；d?r?相离；d?r?相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
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解析几何复习 [题目27] 圆2x2?2y2?1与直线xsin??y?1?0(??R,??位置关系为____ ?2?k?，k?z)的[题目28] 若直线ax?by?3?0与圆x2?y2?4x?1?0切于点P(?1,2)，则ab的值________； [题目29] 直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于 ； [题目30] 一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 ； [题目31]已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x2?y2?r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r2，则 （ ） A．m//l，且l与圆相交 B．l?m，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆相离 D．l?m，且l与圆相离 [题目32] 已知圆C：x?(y?1)?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若22AB?17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 特别是：圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，过圆
22上一点(x?a)?(y?b2)?RP(x0,y0)圆的切线方程是：(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般地，
如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
③切线长：过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为x02?y02?Dx0?Ey0?F（(x0?a)2?(y0?b)2?R2）；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半
1a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：21r2?d2?(a)2；
2②过两圆C1:f(x,y)?0、C2:g(x,y)?0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)??g(x,y)?0，当???1时，方程f(x,y)??g(x,y)?0为两圆公共弦所在直线方程。
12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r（2）当|O1O2??r1?r2时，两圆外切；（3）当1,r2，则（1）当|O1O2??r1?r2时，两圆外离；（4）当|O1O2???r（5）当0?|O1O2???rr1?r2<|O1O2??r1?r2时，两圆相交；1?r2|时，两圆内切；1?r2|时，两圆内含。
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解析几何复习 x2y2[题目34] 双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意ab一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为
13.圆锥曲线的定义：
要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。[题目35]已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（ ） A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6 C．PF D．PF11?PF2?102?PF22?12 [题目36] 方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_________ 14.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2x?acos??（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?，
y?bsin?（参数方程，其中为参数）aby2x2焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是ABC≠0，且A，
abB，C同号，A≠B。 ?x2y2[题目37] 已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____； 3?k2?k[题目38] 若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是______________ （2）双曲线：焦点在x轴上：
xyyxy?? =1，焦点在轴上：＝1（a?0,b?0）。方程
a2b2a2b22222 Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号。
（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时
22x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。
15.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x,y22分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
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解析几何复习 x2y2[题目39] 已知方程则m的取值范围是??1表示焦点在y轴上的椭圆，m?12?m_________ （2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，
22 a最大，a2?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。
16.圆锥曲线的几何性质：
x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦
ab点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中x2y2长轴长为2a，短轴长为2b。点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在
ab2222x0y0x0y0椭圆外?2?2?1；（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内
abab22x0y0?2?2?1
ab[题目40] 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为________________ xy??1（a?0,b?0）为例）：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两a2b2个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
bx2?y2?k,k?0；④两条渐近线：y??x。
ap2（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p2的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
p④准线：一条准线x??。）；
222 （2）双曲线（以
[题目41] 设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________； 抛物线的一些结论：AB是过抛物线y?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的 中点，l是抛物线的准线，
22MN?l，N则有下面结论： （1）HF为垂足，BD?l，AH?l，D，H为
l H Q O y 垂足，
A M x F B E ?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；
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（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN； （5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
y1y2??p2，x1x2?（6）
12p； 4112??； （7）A,O,D三点在一条直线上 |FA||FB|p（8）过M作ME?AB，ME2交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|2FA|?|FB|；
17．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。 [题目42] 若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______； 22x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是[题目43]直线y―kx―1=0与椭圆5m_______； 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与
x2y2抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共
ab点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与
双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 [题目44] 过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______； 2x2y2[题目45] 过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范916围为______； y2[题目46] 过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，22则满足条件的直线l有________条； 第 9 页 共 14 页
解析几何复习 [题目47] 对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_________； [题目48] 过抛物线y2?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则211??_______； pq[题目49] 椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离是_________； B两点。A、[题目50]直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、①当a为何值时，B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 18、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面积为
x2y22b2S，则在椭圆2?2?1中， ①?＝arccos(?1)，且当r1?r2即P为短轴端点时，?最大为?abr1r2max?b2?c22S?btan?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于＝arccos；②22a?2b2?1?x2y22??S?rrsin??bcot双曲线2?2?1的焦点三角形有：①??arccos；②。 1?12?rr?22ab12??[题目51]设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 ； x2y2→→??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF[题目52] 椭圆PF1 <02 ·94 19、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2时，点P的横坐标的取值范围是 ________； x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?21y1?y2，若弦AB所在直线方2k程设为x?ky?b，则AB＝1?ky1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，
可以不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后求解。
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解析几何复习 [题目53]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______； [题目 54]过抛物线y2?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______； x2y220、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2?2?1abb2x0x2y2中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的
abay0b2x0弦所在直线的斜率k=2；在抛物线y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
ay0pk=。 y0x2y2??1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程[题目55]如果椭圆369是 ； x2y2[题目56] 试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不同的两点关于直线43y?4x?m对称。 特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！ 21．熟悉下面的一些结论：
2222yyxx（1）双曲线??1的渐近线方程为2?2?0； a2b2ab2222b（2）以y??x为渐近线（即与双曲线x?y?1共渐近线）的双曲线方程为x?y??(?为参数，
aa2b2a2b2?≠0）。 x2y2[题目57] 与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为916_______________ （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1；
222b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
a（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；
2p2,y1y2??p2 ②x1x2?4（7）若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)
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2解析几何复习
22．轨迹方程的求法：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。 [题目58]已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程． ② 定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。 [题目59]由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 ； [题目60] 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______________ ； [题目61] 一动圆与两圆⊙M：x2?y2?1和⊙N：x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 ③ 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。
④代入转移法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。
[题目62] 线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 ； ⑤参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。 注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中x,y的取值范围。 23、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
??（1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；
（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;
?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;
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解析几何复习
????1????????AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; （4） 在?ABC中，给出AD?2（5）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
??（6） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?,使AB??AC；③若存在实数
?????????????,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.
????????????????OA??OB（7） 给出OP?，等于已知P是AB的定比分点，?为定比，即AP?1???PB
????????（8） 当MA与MB是不平行时，给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出
MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角,
?（9）给出????????????MAMB?????????MAMB???????MP,等于已知MP是?AMB的平分线 ??（10）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;
????????????????ABCD（11）在平行四边形中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;
222（12）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三
角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （13） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （14）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
????????ABAC(??R?)等于已知AP通过?ABC的内心； （15）在?ABC中，给出OP?OA??(?????????)|AB||AC|
解析几何知识复习总结参考答案 [题目1][0，]?[?65?，?)； [题目2] m??2或m?4）； [题目3] 既不充分也不必要； [题目4] 624sin??1,?1 ； [题目5] ， 0（提示：f(θ)=表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率）； [题目6] 2；
33cos??2[题目7] 3x?4y?9?0 ； [题目8] a?1； [题目9] －1；
1；m?3且m??1；3； [题目10] 2第 13 页 共 14 页
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?1?a?2 ； [题目11] 垂直； [题目12] 平行； [题目13] 4x?3y?4?0和x?1； [题目
14] 3x?y?6?0 ； [题目15] (b,a)； [题目16] bx?ay?c?0 ； [题目17] y=3x＋3 ； [题目18] 18x＋y?51?0 ； [题目19] 2x?9y?65?0 ； [题目20] （5,6）； [题目21]
x2?(y?1)2?1；[题目22] (x?3)2?(y?3)2?9或(x?1)2?(y?1)2?1；
11 ； [题目25] －3,32?； [题目26] |a|?； [题目27]
?213??相离； [题目28] 2 ； [题目29] 45 ； [题目30] 4 ； [题目31] C； [题目32] ②60或120 ③最长：y?1，最短：x?1 ； [题目33](x?1)2?y2?2）； [题目34]内切； [题目35] C； [题目
11336] 双曲线的左支； [题目 37] (?3,?)?(?,2)； [题目38] 5,2； [题目39] (??,?1)?(1,)；
222151[题目40] 22； [题目41](0,,-1)）； [题目43] [1，5）∪（5，+∞）； [题)； [题目42](-16a3??425??目44] 2； [题目45] ??,??； [题目46] 3； [题目47] 相离； [题目48] 1； [题目49]
33????[题目23] [0，2]； [题目24] k?
?8133535； [题目50] ①?3,3；②a??1； [题目51] x2?y2?4； [题目52](?,)； [题
5513?213213?目53] 8； [题目54] 3； [题目55] x?2y?8?0； [题目56] ???13,13??； [题目57]；
????4x2y2??1； [题目58] y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)； [题目59] x2?y2?4； 94[题目60] y2?16x； [题目61] 双曲线的一支； [题目62] y2?2x； [题目
1263]y?2x?1(|x|?)； [题目64] x2?2y?2。
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