北京师范大学2007 ～2008 学年第二学期期末考试试卷（A卷）
院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2006级
注意：请将所有答案写在答题纸上；除第一题外其余各题均要求写出必要的求解步骤。
装
一、填空题（每小题5分，共40分。）
1、矩形脉冲f(t)?hrect(t/2T)的复数形式的傅里叶变换为 。其中，矩形函数
订 ?1,(|x|?1/2)。 rect(x)??0,(|x|?1/2)?2、利用行波法（达朗贝尔公式）求解无限长弦振动问题的基本思想是 。
线
?2u1?u1?2u??0,(?????)，3、扇形区域内的拉普拉斯方程2?利用分离变量法求解，
??????2??2????(?)???(?)?0,令u(?,?)?R(?)?(?)，可得到本征值问题?，其本征解为 。
??(?)?0,?(?)?0,4、利用冲量定理法求解弦的受迫振动问题，其物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。根据这一思想，单位长弦所受外力?f(x,t)可以用?函数表示出来，即?f(x,t)? 。
5、长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放。管外空气中含有某种气体，其浓度为u0，向管内扩散。求解该气体在管内的扩散情况（初始浓度为零）。该定解问题为 。
1??2?u?1???u?1?2u?0，6、球坐标系下的拉普拉斯方程为2?r???sin???r?r??r?r2sin???????r2sin2???2利用分离变量法求解，令u(r,?,?)?R(r)?(?)?(?)，则其通解形式为 。
7、在圆形域内求解?u?0，使之满足边界条件u|???0?u0cos?，则u? 。 8、定解问题
utt?a2uxx?0,(a2?Y/?u|x?0?0,u|t?0???YSux?mutt?|x?l?0，
mgx,ut|t?0?0YS将上述定解问题分离变数，相应的本征值问题为 。这是关于杆的纵振动问题，对
第1页，共2页
应的物理问题是 。
二、（20分）求解扩散方程定解问题
ut?a2uxx?0,ux|x?0?0,ux|x?l?0,u|t?0?u0cos
(0?x?l)
?xl装?u1cos2?x.l 订三、（20分）两端固定的均匀弦受谐变力?f(t)??f0sin?t作用而振动，求解振动情况。该定解问题为
线utt?a2uxx?f0sin?t,u|x?0?0,u|x?l?0,u|t?0?0,ut|t?0?0.（可能用到的公式sin?cos??
(0?x?l)
11?sin(???)?sin(???)?，sin?sin???cos(???)?cos(???)?） 22四、（20分）在x?0的邻域上求解埃尔米特方程y???2xy??(??1)y?0。?取什么数值可使级数解退化为多项式？
第2页，共2页
北京师范大学2007 ～2008 学年第一学期期末考试试卷（A卷）
院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2005级
注意：请将所有答案写在答题纸上；除第一题外其余各题均要求写出必要的求解步骤。
装
一、填空题（每小题6分，共30分。）
订?X????X?01、本征值问题?的本征解为 。
X(x)?X(x?2?)?2、长为l的弦在点x?x0受到初始冲击，冲量为I，则弦的初始位移u|t?0? ，初始速度ut|t?0? 。
3、设无限长弦的初始位移为?(x)，初始速度为a??(x)，则弦的自由振动u(x,t)? 。 4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，则杆的自由振动定解问题为 。
5、在铀块中，除了中子的扩散运动以外，还进行着中子的增殖过程，每秒钟单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度u，从而可表为?u，则中子浓度所遵循的方程为 。
二、（20分）求解热传导方程定解问题
线 ut?a2uxx?0,ux|x?0?0,ux|x?l?0,u|t?0?cos
三、（20分）在圆形区域内求解?u?0，使之满足边界条件u|???0?u0sin?。
四、（20分）长为l的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力f0sin移为sin
五、（10分）长为a的柔软均质轻绳，一端固定在以?匀速转动的竖直轴上。由于惯性离心力的
第3页，共2页
(0?x?l)
2?x.l?xlcos?t，初始位
?xl，初始速度为零，求解杆的纵振动。
作用，这弦的平衡位置应是水平线。设初始位移为x/a，初始速度为零，求解此弦相对于水平线的横振动。该定解问题为
1???u?utt??2??a2?x2???02?x??x?u|x?0?0,u|x?a?有限， u|t?0?x/a,ut|t?0?0① 将上述定解问题中的泛定方程分离变数。 ② 在①的基础上，写出相应的本征值问题并求解。
2d?dy2dy?2dy（提示：l阶勒让德方程为?(1?x)??l(l?1)y?0或(1?x)2?2x?l(l?1)y?0） dx?dx?dxdx装③ 在②的基础上，求出该定解问题的解。
订 线
第4页，共2页
北京师范大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷A
院（系）： 管理学院 专 业： 管理科学 年级： 2003级
说明：从下列题目中任选4题，每题25分，要求写出必要的求解步骤。
一、求解波动方程定解问题
?utt?a2uxx?0,??ux|x?0?0,ux|x?l?0,?u|?ux/l,u|?0.tt?0?t?00
二、在x0?0的邻域上求解y???xy?0.
(0?x?l)三、两端固定弦在点x0受谐变力?f(x,t)??f0sin?t?(x?x0)作用而振动, 求解弦的振动情况.
四、在以原点为心, 以?1和?2为半径的两个同心圆所围成的环域内求解?u?0，使满足边界条件u|???1?u0sin?, u|???2?0.
五、一矩形薄板(0?x?l1,0?y?l2), 边缘温度保持为零度, 初始温度为u0sin板内的温度分布.
六、求解热传导定解问题
?xl1sin2?y, 求l2??ut?a2uxx??u,??u|x?0?0,u|x?l?0, ??x?u|t?0?u0sin.l?
第5页，共2页
可能用到的公式
A 三角函数公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?, cos(???)?cos?cos??sin?sin?
sin??sin??2sin???22cos???22, cos??cos??2cos???2cos???2
,
cos??cos???2sinsin?sin??????sin???1?cos(???)?cos(???)? 211cos?cos???cos(???)?cos(???)?, sin?cos???sin(???)?sin(???)?
22
B 非齐次常系数微分方程的解法 二阶常系数微分方程
22n?Tn???aTn?fn(t) 2l2的解为
Tn(t)?
lan???0fn(?)sinan?(t??)an?tlan?t d??Tn(0)cos?Tn?(0)sinllan?l 第6页，共2页
可能用到的公式
A 三角函数公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?, cos(???)?cos?cos??sin?sin?
sin??sin??2sin???22cos???22, cos??cos??2cos???2cos???2
,
cos??cos???2sinsin?sin??????sin???1?cos(???)?cos(???)? 211cos?cos???cos(???)?cos(???)?, sin?cos???sin(???)?sin(???)?
22
B 非齐次常系数微分方程的解法 二阶常系数微分方程
22n?Tn???aTn?fn(t) 2l2的解为
Tn(t)?
lan???0fn(?)sinan?(t??)an?tlan?t d??Tn(0)cos?Tn?(0)sinllan?l 第6页，共2页