祁阳四中2013届高三第三次月考文科数学试题
一、选择题：
1.已知命题P：?x?R,ex?0,则?P为( B )
A．?x?R,ex?0 C．?x?R,ex?0
B．?x?R,ex?0
D．?x?R,ex?0 2．在等差数列?an?中，a2?2，a3?4,则a10＝ （ D ）
A．12
35B．14
,tan(??C．16
)?14,那么tan(??D．18
3．已知tan(???)?
A．
16?6?6)=( A )
B．
723 C．
1318 D．
1322
4、函数f(x)?x?lgx?3的零点所在区间为( B )
A （2，3） B(3,??)
C（1，2）
D（0，1）
5. 下列命题中，错误的是 ( D) ．．（A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B）平行于同一平面的两个不同平面平行
（C）如果平面?不垂直平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? （D）若直线l不平行平面?，则在平面?内不存在与l平行的直线
6.已知向量a,b，满足(a?2b)(a?b)??6，且a?1,b?2，则a与b的夹角为（ B ） A.
?4 B.
2?3 C.
?6 D.
2?3
函数y?2cosx的一个单调增区间是 （ A ）
?π?，π? ?2???π?2??π3π?，? ?44???ππ?，? 44?A． ? B．?0，? C．?2
D． ??8.数列{an}中，a1?2,an?1?an?n(n?1)?(n?N),则a10?(
A.3.4 B.3.6 C.3.8 D.4
????????????29．在?ABC中，若AB?BC?AB?0,则?ABC是 ( C ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 二、填空题：
C．直角三角形
D. 等腰直角三角形
10．求
(1?i)(1?2i)1?i= 2-i 。
11．过原点作曲线y?ex的切线，则切线方程为 y=ex ； 12. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是________4?26______（单位：m2）．
正视图 侧视图 俯视图 13. 已知函数f(n)?log(n?1)(n?2)(n为正整数),若存在正整数k满足:
f(1)?f(2)???f(n)?k,那么我们将k叫做关于n的“对整数”.当n?[1,2012]时,则“对整
数”的个数为 个. 解析:∵f(n)?log(n?1)(n?2),
∴k?f(1)?f(2)???f(n)?lg3lg4lg(n?2)?????log2(n?2) lg2lg3lg(n?1)∴n?2?4,8,16,32,64,128,256,512,1024满足要求,∴当n?[1,2012]时,则“对整数”的个数为9个.
14．函数y＝3sin?2x－
?
π?
5_____(写出所有正确结的图像为C，如下结论中正确的是___①②③○
3?
论的编号)．
112
①图像C关于直线x＝π对称； ②图像C关于点?π，0?对称；
12?3?π5π?③函数在区间?－，内是增函数；
?1212?
π
④由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
35若直线y?a与图像C有无限个交点,从小到大依次为A1,A2,A3......An,则A2n?1A2n?1?? ○
15．已知f(x)＝
1
，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，则a20＋1＋x135＋3
26
a11的值是________．
三．解答题：
16.(本小题满分12分) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．
(1)下表是年龄的频数分布表，求正整数a,b的值；
(2)现在要从年龄
区间 人数 [25，30) 50 [30，35) 50 [35，40) a [40，45) 150 [45，50] b 较小的第1,2,3
组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
【解析】(1)由题设可知，a?0.08?5?500?200，b?0.02?5?500?50.
(2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6?第2组的人数为6?第3组的人数为6?5030050300200300?1， ?1， ?4，
所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1,C2,C3,C4，则
从六位同学中抽两位同学有：
(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共15种可能．
其中2人年龄都不在第3组的有：(A,B),共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为1?115?1415．.
17 (本小题满分12分) 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且a3?5，S15?225． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设bn?3a?2n，求数列?bn?的前n项和Tn．
n解：（Ⅰ）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，由题意得
?a1?2d?5,?a1?1? 解得? ∴an?2n?1。??6分 ?15?14d?215a?d?225?1?2?（Ⅱ）∵bn?3an?2n?32n?1?2n?2133?9?2n
nn∴Tn?b1?b2???bn?n13(9?9?9???9)?2(1?2?3???n)
33n19(1?9) =??n(n?1)=?9?n(n?1)? ??12分
8831?918．(本小题满分12分)在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
6b?c?a?5222????????b，cAB?AC?3．
（1）求?ABC的面积； （2）若c?1，求cos(B?65652?62)的值。
2?b?c?a?222bc,?b?c?a222?bc,cosA?45b?c?a2bc?35------------2分
分
而
又A?(0,?)，?sinA?351?cos2A?，---------------------3
AB?AC?AB?AC?cosA?bc?3所以bc?5，---------------------------------5分
所
12bcsA?以
12?i5?45?ABC的面积为：
?2-----------------------------------------6n分
（2）由（1）知bc?5，而c?1，所以
b?5-------------------------------------------------------7分
所a?b?c?2bccosA?a?c?b2ac222以
2225?1?2?3?25-------------------------------8分
5512?cosB???,sinB?255---------------------------
S M ---------10分
?cos(B??6)?32cosB?sinB?32?(?55)?125???2515?2510
B C A D 第19题19(本小题满分13分)如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
SA?CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA?AB?BC?1，AD?12.
（1）求四棱锥S?ABCD的体积； （2）求证：DM∥平面SAB；
（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值. 解：∵ AB⊥底面SAD,SA?底面SAD,AD?底面SAD
∴ AB⊥SA, AB⊥AD ∵ SA?CD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴ 侧棱SA?底面ABCD ??????? 2分
（1）
AB在四棱锥S?ABCD中，侧棱SA?底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
12⊥AD，SA?AB?BC?1，AD?
(1??122)?1?1? ∴ VS?ABCD?13?SABCD?SA?1314 ??????? 4分
（2） 取SB的中点N，连接AN、MN。 ∵ 点M是SC的中点 ∴MN∥BC且MN?12BC
12∵ 底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC?1，AD? ∴ AD∥BC且AD?12BC
∴ MN∥AD且MN?AD
∴ 四边形MNAD是平行四边形
∴ DM∥AN ∵DM?平面SAB，AN?平面SAB
∴ DM∥平面SAB ?????? 8分
（3）∵ 侧棱SA?底面ABCD，BC?底面ABCD
∴ BC?SA
∵AB垂直于BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线 ∴ BC?平面SAB，垂足是点B ∴ SB是SC在平面SAB内的射影，BC?SB
∴ ?BSC是直线SC和平面SAB所成的角
∵ 在Rt?SBC中，BC?1，SB?2 ∴ SC?∴ sin?BSC?BCSC?333
33∴ 直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是 ?????? 13分
20.(本小题满分13分) 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售高订购,决定当一次订量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个,利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本价)?
解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个, 则x0?100?60?51?550.
0?02(2)当0?x?100时,P=60.
当100 50当x?550时,P=51. 60?0?x?100????P=f(x)=?62?x?100?x?550?x?N, 50?51?x?550???(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则 20x?0?x?100???2?L=(P-40)x= ?22x?x?100?x?550?x?N? 50?11x?x?550???当x=500时,L=6 000; 当x=1 000时,L=11 000. 即销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元 x21.(本小题满分13分)设函数f(x)?(x?a)e?(a?1)x?a，a?R。 （1）当a?1时，求f(x)的单调区间； （2）（i）设g(x)是f(x)的导函数，证明：当a?2时，在(0,??)上恰有一个x0使得g(x0)?0； （ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x??0,2?，恒有f(x)?0成立。 注：e为自然对数的底数。 21．(本题满分13分) xx解：（1）当a?1时，f(x)?(x?1)e?1,f'(x)?xe--------------------------------------1 分 当f'(x)?0时，x?0；当f'(x)?0时，x?0 所以函数f(x)的减区间是(??,0)；增区间是(0,??)------------------------- 3分 （2）（ⅰ）g(x)?f'(x)?ex(x?a?1)?(a?1),g'(x)?ex(x?a?2)-------------4分 当g'(x)?0时，x?a?2；当g'(x)?0时，x?a?2 因为a?2，所以函数g(x)在(0,a?2)上递减；在(a?2,??)上递增-------------6分 又因为g(0)?0,g(a)?ea?a?1?0， 所 g(x0?以在 (??0上恰有一个 x0使得 )0.------------------------------------------------- 8分 （ⅱ）若a?2，可得在x??0,2?时，g(x)?0，从而f(x)在?0,2?内单调递增，而f(0)?0， ?f(x)?f(0)?0，不符题意。 ?a?2 由（ⅰ）知f(x)在(0,x0)递减，(x0,??)递增， 设f(x)在?0,2?上最大值为M,则M?max?f(0),f(2)?， x??0,2??f(0)?0??f(2)?0若对任意的，恒有f(x)?0成立，则， -----------------------------11分 由f(2)?0得(2?a)e?2a?2?a?0，?a?22e?2e?322?2?4e?32?2， 又f(0)?0，?a?2e?2e?322。 ------------------------------------------------------------------13