全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：等差数列
1．若等差数列{an}的公差为d，则数列{a2n－1}是( ) A．公差为d的等差数列 C．公差为nd的等差数列 答案 B
解析 数列{a2n－1}其实就是a1，a3，a5，a7，?，奇数项组成的数列，它们之间相差2d. 2．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于( ) A．1 C．2 答案 C
解析 由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.
3．(全国名校·课标全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 C．98 答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C. 4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( ) A．－6 C．－2 答案 A
8（a1＋a8）解析 S8＝＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以d＝a7－a6＝
2－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.
5．(全国名校·西安四校联考)在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为( ) 2A．－
51C．－
5答案 C
4B．－
53D．－
5B．－4 D．2 B．99 D．97 5B. 3D．3
B．公差为2d的等差数列 D．非等差数列
3－52211
解析 {an}的公差d＝＝－，∴新等差数列的公差d′＝(－)×＝－，故选C.
55257－26．(全国名校·绍兴一中交流卷)等差数列{an}的公差d<0，且a12＝a212，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( ) A．9 C．10和11 答案 C
解析 由d<0，得a1≠a21，又a12＝a212，∴a1＋a21＝0，∴a11＝0，故选C.
7．(全国名校·河北冀州中学模拟)等差数列{an}中的a4，a2 018是3x2－12x＋4＝0的两根，则log1a1 011＝( )
4
B．10 D．11和12
1
A. 2C．－2 答案 D
B．2 1D．－
2
解析 因为a4和a2 018是3x2－12x＋4＝0的两根，所以a4＋a2 018＝4.又a4，a1 011，a2 018成等1
差数列，所以2a1 011＝a4＋a2 008，即a1 011＝2，所以log1a1 011＝－，故选D.
24
1
8．(全国名校·安徽合肥二模)已知{}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝( )
an4A．－
54C. 13答案 A
11－a4a1111111
解析 由题意，得＝1，＝，所以等差数列{}的公差为d＝＝－，由此可得＝
a1a44an34an1n5154
1＋(n－1)×(－)＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.故选A.
444a1045
9．(全国名校·河北省唐山市高三统一考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝( ) A．18 C．9 答案 D
11（a1＋a11）11（2a1＋10d）
解析 由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8
22＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
B．12 D．6 5
B．－
413D. 4
S31S610．(全国名校·杭州学军中学)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
S63S123
A. 101C. 8答案 A
解析 令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6. S12＝S9＋4＝10，∴
S63
＝，故选A. S1210
1B. 31D. 9
11．已知在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，Sn是数列{an}的前n项和，则( ) A．S5>S6 C．S6＝0 答案 D
解析 ∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝2a6＝0.∴a6＝0，a5>0，a7<0.∴S5＝S6.故选D.
12．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A．13 C．11 答案 A
解析 因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， 所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180. 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60. n（a1＋an）n·60
所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
22
1
13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S＝a，则a2＝________；Sn＝________．
223答案 1
n（n＋1）
4
B．12 D．10 B．S5 1 解析 设公差为d，则由S2＝a3，得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn 2n（n－1）n（n＋1） ＝na1＋d＝. 24 14．(全国名校·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________． 答案 6 ???a1＝6，?a1＝6，1 解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知得?解得?所以S6＝6a1＋×6 2?2a1＋6d＝0，?d＝－2.?? ×5d＝36＋15×(－2)＝6. 15．已知An＝{x|2n 解析 ∵A6＝{x|26 ∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，?，127， 各数成一首项为71，公差为7的等差数列． 9×8 ∴71＋78＋?＋127＝71×9＋×7＝891. 2 16．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比一上层多一个，共推放n层．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共推放15层，则最底层木桶的个数为________． 答案 240 解析 最上层2个， 第2层：(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个) 第3层：(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个) ?? 第15层：15×16＝240(个) n ＋1 且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为________． 17．(全国名校·课标全国Ⅱ，理)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则∑ ＝ k1 1 ＝Sk ________． 答案 2n n＋1 ???a1＋2d＝3，?a1＋2d＝3，?解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，即?解?4a1＋6d＝10，??2a1＋3d＝5，? n??a1＝1，n（n＋1）1111112n 得?所以Sn＝，因此∑ ＝2(1－＋－＋?＋－)＝. 2223nn＋1n＋1k＝1Sk?d＝1，? 311 18．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． 5an－1an－1(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 答案 (1)略 (2)最大项a4＝3，最小项a3＝－1 解析 (1)证明：因为an＝2－ 1an－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝ 1 . an－1 所以当n≥2时，bn－bn－1＝＝ 11－ an－1an－1－1 an－1111 －＝－＝1. ?2－1?－1an－1－1an－1－1an－1－1 a ? n－1 ? 15 又b1＝＝－， 2a1－1 5 所以，数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列． 2712 (2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋. 2bn2n－7 772 －∞，?和?，＋∞?上为减函数． 设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间?2??2??2x－7所以，当n＝3时，an取得最小值－1； 当n＝4时，an取得最大值3. 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善鴽，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A．18 C．21 答案 C 解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a130（5＋a30） ＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21 2尺布，选C. 2．(全国名校·安徽省安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是( ) A．20 C．24 答案 C ???4a1＋4d＝4，?a1＝0， ?解析 由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得?∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.???6a1＋12d＝12，?d＝1， B．20 D．25 B．36 D．72 故选C. 3．(全国名校·陕西汉中一检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．49 C．35 答案 B D．63 a6－a211－3 解析 由题意知数列{an}是等差数列，公差d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n 46－2a1＋a71＋13 －1，故a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49，选B. 22 11 4．(全国名校·贵阳一模)若数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2 017 1－an1－an－1＝( ) 1A. 2 0172 016C. 2 017答案 C 1111 解析 ∵数列{an}满足a1＝0，∴＝1，又－＝1(n≥2，n∈N*)，∴{} 1－a11－an1－an－11－an是首项为1，公差为1的等差数列，∴2 016 ＝.故选C. 2 017 5．(全国名校·湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km，以后每分钟上升的高度增加2 km，在达到离地面240 km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是( ) A．20分钟 C．14分钟 答案 B 解析 本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然n（a1＋an）2a1＝1，而an－an－1＝2.所以可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝＝n＝240.所以 2从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟．故选B. 6．在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( ) A．5 C．10 答案 B 解析 由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B. 7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( ) A．0 B．37 B．8 D．14 B．16分钟 D．10分钟 11＝1＋(n－1)＝n，∴＝2 017，解得a2 017 1－an1－a2 017 1 B. 2 0162 015D. 2 016 C．35 答案 B D．63 a6－a211－3 解析 由题意知数列{an}是等差数列，公差d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n 46－2a1＋a71＋13 －1，故a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49，选B. 22 11 4．(全国名校·贵阳一模)若数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2 017 1－an1－an－1＝( ) 1A. 2 0172 016C. 2 017答案 C 1111 解析 ∵数列{an}满足a1＝0，∴＝1，又－＝1(n≥2，n∈N*)，∴{} 1－a11－an1－an－11－an是首项为1，公差为1的等差数列，∴2 016 ＝.故选C. 2 017 5．(全国名校·湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km，以后每分钟上升的高度增加2 km，在达到离地面240 km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是( ) A．20分钟 C．14分钟 答案 B 解析 本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然n（a1＋an）2a1＝1，而an－an－1＝2.所以可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝＝n＝240.所以 2从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟．故选B. 6．在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( ) A．5 C．10 答案 B 解析 由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B. 7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( ) A．0 B．37 B．8 D．14 B．16分钟 D．10分钟 11＝1＋(n－1)＝n，∴＝2 017，解得a2 017 1－an1－a2 017 1 B. 2 0162 015D. 2 016