1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t2?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t2?8
2 可得：y?x2?8，即轨道曲线。
画图略
???2（2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t?8)j
?????v?dr/dt 由则速度：v?2i?8tj
???? 由a?dv/dt则加速度：a?8j
????????则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j
????????当t=2s时，有r?4i?8j,v?2i?16j,a?8j
1-4．一质点的运动学方程为x?t2，y?(t?1)2，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t2，，可得t?x,代入y?(t?1)2
整理得：y?x?1，即轨迹方程
??2?2 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j
???? 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j
???? a?dv/dt?2i?2j
?????? 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s2)
1-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s-1，切向加速度的大小为0.2m?s-2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
v2102解：法向加速度的大小an???0.25(m/s2), 方向指向圆心
?400总加速度的大小
a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2)
a??0.8,??38?40', an则总加速度与速度夹角??90????128?40'
如图1-9，tan??
2-26．如图所示，在水平地面上，有一横截面S=0.20m2的直角弯管，管中有流速为v=3.0m?s?1的水通过，求弯管所受力的大小和方解：对于水，在竖直方向上，由动量定理有：
① 0??vdtSv?Fdt1在水平方向上，由动量定理有：
向。
题图2－26
?vdtSv?F2dt ②
由牛顿第三定律得弯管所受力的大小：
F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得F=2500N，方向沿直角平分线指向弯管外侧。
2—29. 如图2-29所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。 解：由动量定理有： mv?0?I ①
v2由牛顿第二定律有：F?mg?m ②
lL 由①②带入数据得：I?0.857kg?m/s
I 题图2－29
???2-34．设F合?7i?6j(N)。
?????（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F合所作的功；
??（2）如果质点到r处时需0.6s，试求F合的平均功率； （3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。
?r??解：（1）A=?F?dr
????? =?(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)
00?r =?7dx??6dy
00-34 ??45J，做负功 （2）P?A-45??-75W t0.6（3）?Ek?A??45J
2-37．求把水从面积为50m2的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。
解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。
选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为
dA?g(6.5?x)dm
1.51.5故A??dA??00pSg(6.5?x)dx?4.23?106J
题图2-37
2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在
光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。 解：取桌面为坐标原点，竖直向下为y轴正向，建立坐标轴， 当绳子悬垂下长度为y时，其质量为力做功 dA?mygdy lmy，从该位置开始继续下落dy过程中，重l则铁链滑离桌面边缘过程中，重力作的功为
A??1dA??12llm3ygdy?mgl l82ll2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为x?3t?4t2?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：（1）力在最初4.0s内作的功；（2）在t=1s时，力的瞬时功率。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有
A??Ek?1m?v(4)2?v(0)2????528J 2dxdv?3?8t?3t2,a(t)??6t?8 dtdt（2）v(t)?t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s
则瞬时功率p?Fv?12W
2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。
证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球
1在A处时速度为v，则:mgl?mg?2(l?d)?mv2
2mv2又小球在A处时向心力为: FN?mg?
l?d其中，绳张力为0时等号成立。联立以上两式，解得d?0.6l
题图2—46 题图2—47
2—47．弹簧下面悬挂着质量分别为M1、M2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把M1与M2的连线剪断后，M1的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数k?8.9N?m?1，而M1?500g,M2?300g。
解:设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。M1系统达到平衡位置时弹簧的伸长为x?,根据胡克定律，有
kx?(M1?M2)g kx??M1g
系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得
12121kx?kx??M1g(x?x?)?M1v2 222联立两式，解之：v?1.4m/s
4-2 长度为1m的米尺L静止于K'中，与x轴的夹角?'?30?,K'系相对K系沿x轴运动，在K系中观察得到的米尺与x轴的夹角为??45?，试求：（1）K'系相对K系的速度是多少？（2）K系中测得的米尺的长度？ 解：（1）米尺相对S'系静止，它在x'和y'轴的投影分别为：
Lx'?L0cos?'?0.866mLy'?L0sin?'?0.5m
米尺相对S系沿x方向运动，设运动速度为v，为S系中的观察者，米尺在x方向将产生长度收缩，而y方向的长度不变，即
v2Lx?Lx'1?2 Ly?Ly'
c故米尺与x轴的夹角满足
tg??LyLx?Ly'Lx'1?vc22
将?与Lx'、Ly'的值代入可得：
v?0.816c
（2）在S系中测得米尺的长度为：
L?Lysin45??0.707(m)
4-3 已知x介子在其静止系中的半衰期为1.8?10?8s。今有一束?介子以??0.8c的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当?介子衰变一半时飞越了多长的距离？
分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。
解：在?介子的静止系中，半衰期?t0?1.8?10?8s是本征时间。由时间膨胀效应，实验室参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为：
?t??t01?v2c2?3?10?8(s)
因而飞行距离为：
d?v?t?7.2m
4-8 ?子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命?0?2?10?8s，若它在实验室参考系中的平均寿命??7?10?8s，试问其质量是电子静止质量的多少倍？
解：设?子在实验室参考系中的速度为u、质量为m，依题意有：
???01?u2 c2将?和?0的值代入得：
1?u2c2??02? ?777?m0??207me?724.5me 22当?子速度为u时其质量为：
m?m01?u2c29-9 如题图9-9所示，长l=0.15m的细直棒AB上，均匀地分布着线密度
??5.00?10?9C?m?1的正电荷，试求：（1）在细棒的延长线上，距棒近端d1=0.05m处P点的场强；
dy
题图9-9 题9-9解图(1)
解：(1) 以P点为坐标原点，建立如图（1）所示坐标系，将细棒分成许多线元
?dy.其所带电量为dq??dy，其在P点的场强为dE，则