2019年高三数学专题复习：平面解析几何（解析版）
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.
【导学号：56394076】
|a＋4－1|44
－ [由题意，知圆心为(1,4)，则有＝1，解得a＝－
3.] 3a2＋1
2．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线x＋ay－2＝0与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是________．
1?1?
(－∞，－1)∪?2，＋∞? [直线x＋ay－2＝0过定点C(2,0)，所以－a∈(kCB，
???1?
kCA)＝(－2,1)?a∈(－∞，－1)∪?2，＋∞?.]
??
3．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图10－13所示，“海宝”从圆心T出发，先沿北偏西
图10－13
12??
θ?sin θ＝13?方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，??最后沿正东方向行走至点C处，点B，C都在圆T上，则在以线段BC中点为坐标原点O，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中，圆T的标准方程为________．
x2＋(y－9)2＝225 [TB2＝TA2＋AB2－2TA·ABcos A＝169＋196－5
2×13×14×13＝225，OT＝14－13×cos θ＝9，∴圆T方程为x2＋(y－9)2
＝225.]
4．(江苏省南京市2017届高考三模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________．
3??
?－1，5? [由题意，圆M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)，圆心为M(－??a－1,2a)，
从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP＝1.
∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°， ∴|OM|≤2， ∴(a＋1)2＋4a2≤4， 3∴－1≤a≤5.] 5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________.
－1 [由C：x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆心坐标是C(1,2)，半径是5，
∵直线l：mx＋y－2m－1＝0过定点P(2,1)，且在圆内， ∴当l⊥PC时，直线l被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长最短， 2－1
∴－m·＝－1，∴m＝－1.]
1－2
6．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．
[6－2，6＋2] [在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，如图所示，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．
?y＝1，由?22可得B(－3，1)或(3，1)， ?x＋y＝4，?x＝1，由?22可得C(1，3)或(1，－3)， ?x＋y＝1，解得BCmin＝?3－1?2＋?1－3?2＝6－2. BCmax＝?－3－1?2＋?1＋3?2＝6＋2.]
7．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
?1?
32 [∵直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0的斜率乘积为k×?－k?
??＝－1(k＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN＝－1，可得MN与直线x－y－4＝0垂直．
|0－2－4|∴点M到直线x－y－4＝0的距离d＝＝32为最大值．]
28．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线2x－3y＝0为双x2y2
曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．
x2y221
[根据题意，双曲线的方程为：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)， 3
b
其渐近线方程为：y＝±ax，
又由其一条渐近线的方程为：2x－3y＝0，即y＝
2b2x，则有a＝， 33
22
c2a＋bb2721
则其离心率e＝a2＝a2＝1＋a2＝3，则有e＝3.]
2
x2y2
9．(河北省唐山市2017届高三年级期末)设F1，F2为椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为________．
【导学号：56394077】
x2y2
9＋6＝1 [由题意，知|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝|AF1|＋|BF2|， ① 又由椭圆的定义知，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a， ②
42
联立①②，解得|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝3a，|AF1|＝|BF1|＝3a，所以S△F2AB＝13|AB||AF|sin 60°＝43，所以a＝3，|FF|＝21222|AB|＝23，所以c＝3，所x2y2
以b＝a－c＝6，所以椭圆C的方程为9＋6＝1.]
2
2
2
x2y2
10．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，其渐近线与圆x2＋y2－6y＋m＝0相切，则m＝________.
x2y2
8 [∵双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3， ∴c＝3a，∴b＝22a，取双曲线的渐近线y＝22x.
x2y2
∵双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与x2＋y2－6y＋m＝0相切， ∴圆心(0,3)到渐近线的距离d＝r， ∴
3
＝9－m，∴m＝8.] 8＋1
11．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为________
b21
3 [S△F1PF2＝θ＝tan 30°＝3.]
tan2
12．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为________． 6 [∵抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点F(1.5,0)，准线l方程为x＝－1.5， ∵直线AF的斜率为－3，
直线AF的方程为y＝－3(x－1.5)， 当x＝－1.5时，y＝33， 由可得A点坐标为(－1.5,33)， ∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P点坐标为(4.5,33)， ∴|PF|＝|PA|＝4.5－(－1.5)＝6.]
x2y2
13．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为________．
5
[设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)， 5
b2?b2?
由x＝－c，代入椭圆方程可得y＝±a，可设A?－c，a?，C(x，y)，S△ABC
??＝3S△BCF2，
→→b2?b2?
可得AF2＝2F2C，即有?2c，－a?＝2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－a＝2y，
??b24c2b2
可得x＝2c，y＝－2a，代入椭圆方程可得，a2＋4a2＝1， 1－ec52222
由e＝a，b＝a－c，即有4e＋4＝1，解得e＝5.] 14．(四川省2016年普通高考适应性测试)如图10－14，A1，A2为椭圆
2
图10－14
x2y2
9＋5＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2＋|OT|2＝________.
14 [设Q(x，y)，T(x1，y1)，S(x2，y2)，QA1，QA2斜率为k1，k2，则OT，yyy25
OS斜率为k1，k2，且k1k2＝·＝2＝－9，
x＋3x－3x－9所以OT
2
2
2222245?1＋k1?＝x1＋y1＝x1＋k1x1＝，同理5＋9k21
2
45?1＋k2?2
OS＝2，因此|OT|＋5＋9k2
2
25??
1＋?452?222
81k45?1＋k?45?1＋k?45?1＋k?45?1＋k2?1?1211?2
|OS|＝＝2＋2＝2＋2＋255＋9k15＋9k25＋9k15＋9k1
5＋9k2181k2126k21＋251＋70
＝14.] 2＝5＋9k15＋9k21
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【导学号：56394078】
|4a＋10|5??a＞－[解] (1)设圆心C(a,0)?，则5＝2?a＝0或a＝－5(舍)． 2???
所以圆C：x2＋y2＝4.
6分
(2)存在．当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，