矩阵的奇异值分解在信号处理中的应用
摘要
机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测试等过程中，经常要处理许多变量和变量之间的关系，这些变量间常存在着线性关系，某些不是线性变量的也可以通过最小二乘法等进行拟合。对于现目前所选择的方向，接触最多的就是对外界信号的测量，当通过传感器接收到信号之后，进行FFT变换。但是还是会有一些频率相近的信号会被丢失，需要一种方法将信号在时域和频域进行分段，对需要进行分析的频率段进行有效分析。这就是基于矩阵的奇异值分解信号的方法。
关键词：微型直流电机，信号处理，奇异值分解
1 前言
微型直流电机的参数包括转速，换向频率等。通过电刷的换向可以检测到一定时间内电机两端的电压出现脉冲尖峰个数，从而得到电机的换向频率[1]。但是由于电机的运转，必然存在一些振动，造成需要的信息信号失真。引起振动的原因很多，例如可能是同轴度不高，造成电机轴的转动不平衡，也可能是实验平台的水平度不够。经典的频谱分析方法对这一问题的解决效果并不是很好，提出采用奇异值分解的方法对信号进行分析[2]。
将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵，即如何确定矩阵的行数m和列数n，这对奇异值分解的分析效果有很大影响。奇异值的大小决定着相应分量信号的信息量，因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构。
其次奇异值分解分离的各分量信号是两两正交的，而且还是一种零相位分离方法，没有相位失真;同时综合考察所有奇异值的信息来确定矩阵的合理结构。在此基础上，可以比传统的FFT分析更加精确，甚至优于小波基的频谱分析。
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2 基于奇异值分解的信号分离原理
奇异值分解是指:对于一个实矩阵A?R和正交矩阵V?[v1,v2....vn]?Rn?n，使得
T A?USV (1)
m?n必定存在正交矩阵U?[u1,u2....um]?Rm?m其中S?[diag(?1?2...?p),?]或者其转置，这取决于m
将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵A，矩阵构造一般是通过对信号采用连续截断的方式来构造矩阵，其具体构造过程为:对于一个信号序列X?[x(1),x(2)...x(N)]，取两个正整数m和n。对此序列按每次n个点连续截取m段，构造一个m行n列的矩阵A如下:
)，N为采样的点数，一般是1024或者2048等2的 式中m?2,n?2，且n?int(N/m
x(1)?x(n)????A???????x((m?1)n?1)?x(mn)???幂次方。
仅利用式(1)还不能实现信号的分离，可将其改写成用列矢量ui和vi，表示的形式
TT A??1u1vT1??u2v2T?2?uv3?3....3??pupvp (2)
ui?R式中，
m?1vi?R，
n?1 i=1,2,3,4…p由奇异值分解理论可知ui之间是两两正交的，
vi之间也是两两正交的。令Ai??iuiviT，则有Ai?Rm?n。如果将Ai的各行首尾相接，则可以构成一个信号Si，它就是从原信号中分离出的一个分量，而所有Ai构成的分量就形成了对原始信号X的一个分解。
设Ai用行矢量Si,1Si,2Si,3…Si,k…Si,m表示，Si,k?R1?n。而A用行矢量X1X2X3…
Xk…Xp表示，X1?R1?n。则根据式(2)可得
Xk?S1,k?S2,k?...Sp,k k=1,2,3…m (3) 由于原始信号X是由X1X2X3…Xk…Xm首尾相接而成，可用矢量形式表示X=（X1，
X2，X3，…，Xm），而分量信号Si由Si,1Si,2Si,3…Si,k…Si,m首尾相接而成，也可用矢量形式S=（Si,1，Si,2，…，…Si,m）表示，则所有分量信号的和可写为
S1?S2?S3?...?Sp= (S1,1+S2,1+S3,1+…+Sp,1,S1,2+S2,2+S3,2+…+Sp,2,…, S1,m+S2,m+
S3,m+…+Sp,m)
而根据式(3)，上式的右边可改写为
S1?S2?S3?...?Sp =（X1，X2，X3，…，Xm）=X (4)
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由式(4)可见，利用奇异值分解方法可以将原始信号表示成多个分量信号Si的简单线性叠加，这种简单线性叠加关系的优点是:一个分量从原信号中被分离的过程就是从原信号中被简单地减去，这种减法运将使得分离出来的各分量信号将保持它们在原信号中的相位不变，即具有零相位偏移特性，不存在相位失真。
3 奇异值分解方法中矩阵结构的确定
在证明了基于连续截断信号构造矩阵的奇异值分解分离算法具有零相位偏移和正交性之后，另一个重要问题就是如何确定矩阵行列m和n，这是决定信号分离效果的另一个关键因素。在满足m?2, n?2的条件下，当数据长度N较大时，m和n的取法相当多，m和n的取值不同，则信号的奇异值分解分离效果也有很大区别，因此如何选择m和n是一个关键问题。
利用奇异值分解算法分离出来的各个分量信号Si，其包含的信息量是彼此不同的，具体由相应奇异值?i 的大小决定，?i越小，则相应Si的信息量也越小，可以用下式来综合衡量各{Si}ip?1分量的信息量
?i??i i?1,2,3.p. . . （5） ?1??2??3?....??p
信息量过小的分量信号实际上是没有多少意义的，根据这一结论就可以确定矩阵合理的行列:取一系列不同的行数m构造矩阵，利用相应矩阵的奇异值根据式(5)计算各分量信号的信息量，并观察它们的变化趋势，如果不论m取何值，从某一信息?i 开始的后续信息量都趋向于零，则表明因矩阵行数大于i而产生的第i个分量之后的其他分量并没有多少意义，此时可确定矩阵行数为:m=i，而列数则为: n?int(N/m) 。
4 实验数据
当取m=4，采样点数=2048。通过奇异值分解信号的方法就可以将一个原始信号在时域上线性分离成4等份，每等份有512个点。具体实验结果如下：
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图4.1 原始信号
图4.2 S1段信号
图4.3 S2段信号
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图4.4 S3段信号
图4.5 S4段信号
通过数据可以看出经过奇异值分解后的信号，可以看到相当对于原始信号更多的信息量，特别是对于微型电机振动的来源可以给出给出一个更为直观的高频发生段以及其幅值的大小。
5 总结
通过信号连续截断方式构造矩阵，利用奇异值分解方法可将此信号分解为一系列分
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量信号的简单线性叠加，这些分量之间两两正交，并且具有零相位偏移特性。另外根据分量信号的信息量可以确定合理的矩阵结构，无需计算和分析各分量信号，而仅利用奇异值进行判断，大大减少了计算量和分析工作，并且能够很好的将信号中频率叠加的地方分离出来。
通过对工程数学—矩阵论的学习，让我终于明白了为什么数学是工程的基础。往往在关键的地方，数学是一把用于突破的利刀。可以通过数学理论的方法，寻找更加适合工程问题的解决办法。
参考文献
[1]陈忠祥.基于稳态电流信号频谱分析的微型直流电机检测系统设计[D].厦门：厦门大学.2014.04
[2]段向阳.王永生.苏永生. 基于奇异值分解的信号特征提取方法研究[J]. 振动与冲击. 2009-11-25
[3］程云鹏.张凯院.徐仲.矩阵论［M］.西安：西北工业大学出版社，1989.15-28。 [4］封建湖.数值分析原理［M］.北京：北京科学出版社，1992.2-12。
[5］熊全淹.叶明训.线性代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，1987.108-110。 [6］吴雄华.陈承东，钱仲范.矩阵论［M］.上海：同济大学出版社，1994.82-85
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