第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算
满分晋级
向量3级 平面向量的数量积与坐标运算
向量2级 平面向量的线性
运算
向量1级 向量基本概念及运算
新课标剖析
当前形势
内容
平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件
高考 要求
数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直
关系 用向量方法解决简单的问题
平面向量在近五年北京卷（理）考查5分
要求层次 A
B √
C √
具体要求
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
√ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
√ ①理解数量积的含义及其物理意义．
②了解数量积与向量投影的关系．
√
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向
√ 量数量积的运算．
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用
√ 数量积判断两个平面向量的垂直关系． √
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问
题．②会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题．
2012年 （新课标）
2013年 （新课标）
北京 高考
2009年
2010年 （新课标） 2011年 （新课标）
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解读
第2题 5分 第6题5分 第10题5分 第13题5分 第13题5分
11.1平面向量数量积运算
知识点睛
1．两个非零向量的夹角：
已知两个非零向量a，OB?b，则?AOB称作向量a和向量b的夹角，记作?a，b，作OA?a，b?，
π并规定0≤?a，b?≤π．当?a，b??时，称a?b．
2（备注：向量在轴上的正射影仍然是向量，射影在轴上的坐标称为向量在轴上的数量或向量在轴方
向上的数量．） 2．向量数量积（内积）：a，b的数量积记作a?b，定义为a?b?a?b?cos?a，b?．
（备注：两个向量的数量积a?b就等于一个向量的模长a乘以另一个向量b在这个向量a方向上的
投影的数量，这就是向量数量积的几何意义，我们会在考点2中展开）
以数量积的定义，我们可以
⑴判断两个向量是否垂直：a?b?a?b?0（规定，零向量与任何向量都垂直）； ⑵计算任一向量的模长：a?a?a，即a?a?a； ⑶计算两个向量的夹角：cos?a，b??3．向量的数量积满足的运算律： ⑴交换律：a?b?b?a；
⑵与数乘的结合律：?(a?b)?(?a)?b?a?(?b)；注意：数量积本身不满足结合律！ ⑶对加法的分配律：(a?b)?c?a?c?b?c．
练习1：设a，b，c为平面向量，下面的命题中正确的是________．
①a?(b?c)?a?b?a?c；②(a?b)?c?a?(b?c)；
③若a?b?0，则a?0或b?0．④若a?b?a?c，则b?c；
????abab⑤(a?b)?(a?b)?|a|?2|a||b|?|b|；⑥对非零向量a，b，有????????0．
?ab??ab?????222a?ba?b（a?b?0）．
【解析】 ①⑥．
①正确，②不正确．a?b?0?a?b，不一定有a?0或b?0，③不正确． ④中，a?b?a?c?a?(b?c)?0?a?(b?c)，∴④不正确．
第11讲·教师版
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