★暑期初二升初三学案
例4. 已知关于x的一元二次方程x-2mx-3m+8m-4=0． （1）求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．
【同步达纲练习】 A组
一、选择(填空)题：
1.方程4x?3(4x?3)中，△= ，根的情况是 。 2.（2007，巴中）一元二次方程x?2x?1?0的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
3.一元二次方程(m?2)x?4mx?2m?6?0只有一个实数根，则m等于 （ ） A. ?6 B. 1 C. ?6或1 D. 2
2
4．下面对于二次三项式-x+4x-5的值的判断正确的是（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
5.一元二次方程(1?k)x?2x?1?0有两个相等的实根数，则k?的值是 ． 6.若方程kx–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 . 7.若关于x的一元二次方程x?bx?c?0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b= ，c= ．
8.当k 时，x?2(k?1)x?k?5是完全平方式.
9. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
10. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） 三、解答下列各题
9.不解方程，判定下列方程根的情况。
（1）3x?4x?5?0 （2）?x?(k?2)x?1?0
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22222
22
22222★暑期初二升初三学案
10. 已知方程ax?4x?1?0，则：
①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ ②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？ ③当a取什么值时，方程没有实数根？
11.求证：不论m为何值，方程2x?(4m?1)x?m?m?0总有两个不相等的实数根。 B组
1.（2009,潍坊）关于x的方程(a?6)x?8x?6?0有实数根，则整数a的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9
2.（2009 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程nx?2x?1?0无实数根，则一 次函数y?(n?1)x?n的图像不经过（ ）象限。 A.一 B.二 C.三 D.四
3.（2009, 荆门）关于x的方程ax?(a?2)x?2?0只有一解（相同的解算一 解），则a的值为（ ）
A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2
222222x24.已知3x?2x?3?0，求4的值。
x?x2?12
5.设方程x?2(1?a)x?(3a?4ab?4b?2)?0有实根，求a,b的值。
22
6.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x-1)-2ax+c (x+1)=0有两个相 等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.
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222★暑期初二升初三学案
7.如果a,b,c,d都是不为0的实数，且满足等式
a2d2?b2d2?2abd?2bcd?b2?c2?0，求证：b2?ac
8. ．已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22222
9. 已知首项系数不相等的两个二次方程（a-1）x-（a+2）x+（a+2a）=0及（b-1）x-（b+2）
aa?bbx+（b+2b）=0 （a、b是正整数）有一个公共根，求?b的值． ?aa?b2
2
10. 已知a≠0，并且关于x的方程ax-bx-a+3=0①至多有一个解．试问：关于x的方程（b-3）2
x+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解？并证明你的结论．
11.阅读材料：为解方程(x?1)?5(x?1)?4?0，我们可以将x?1看着一个整体，然后设x?1=y，① 那么原方程可化为y?5y?4?0，解得y1?1,y2?4。当y=1时，
222222x2?1?1，∴x2?2，∴x??2；当y=4时，x2?1?4，∴x2?5，∴x??5；
故原方程的解为x1?2,x2??2,x3?5,x4??5 。
解答问题：（1）上述解答过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法达到解方程的目的，体现了转化思想； 利用以上知识解方程x?x?6?0
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42★暑期初二升初三学案
第四讲 一元二次方程根与系数的关系
【基础知识精讲】
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
bx1?x2?c2x、x12设是一元二次方程ax＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则x1?x2??， aax、x2是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根， 2．设1b?x?x???012??a(1)x?0,x?0?12则：时，有 ?x?x?c?012?a?b?x?x???02??1a(2)x1?0,x2?0时，有??x?x?c?012?a?
c(3)x1?0,x2?0时，有x1?x2??0
a2x?(x1?x2)x?x1x2?0 x、x123．以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
【例题巧解点拨】
1．探索韦达定理
例1：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根为x1,x2，求x1?x2， x1?x2的值。
22
例2.已知关于x的一元二次方程x+（2m-1）x+m=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围；
22
（2）当x1-x2=0时，求m的值．
2．已知一个根，求另一个根.
例3.已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
3．求根的代数式的值
例4：设x1，x2是方程x-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
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2
2★暑期初二升初三学案
(1) x3 x4+ x4 x3； (2)1
2
1
2
x2x1?x1x2
4．求作新的二次方程
例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.
2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
例5：1、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为为 。
13，那么常数项应改992、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(??1)(??1)?1?，
100求m的值。
【同步达纲练习】 A组
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。 2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；
11?= ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。 x1x2第 15 页 共 101 页 15
★暑期初二升初三学案
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★暑期初二升初三学案
第一讲 一元二次方程的解法（一）
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的定义：
2
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 2．一元二次方程的一般形式：
22
一元二次方程的一般式是ax＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。其中ax是二次项， a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的解法：
2
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用
2
配方法解一元二次方程：ax＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
2
化原方程为(x+m）=n的形式；
如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
2
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 【例题巧解点拨】
（一）一元二次方程的定义：
y21222?0中一元二例1：1、方程①2x??1 ②2x?5xy?y?0 ③7x?1?0 ④23x2次方程是 .
A. ①和②； B.②和③ ； C. ③和④； D. ①和③
2
2、要使方程（a-3）x+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0 3、若（m+1）xm(m?2)?1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
（二）一元二次方程的一般形式：
例2：一元二次方程(x?1)(x?2)?2(x?1)的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。 （三）一元二次方程的解法:
例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）3x?2x(1,2,0) (2)x?25?0(5,?5,4)
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★暑期初二升初三学案
例4:若x??1是关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0) 的一个根，求代数式的值。 2008（a?b?c）
例5:解方程：
用直接开平方法解一元二次方程：
（1）x?25?0 （2） 1600(2x?1)?900
（3）y?3 （4）
22221(2x?1)2?8?0） 2用配方法解一元二次方程：
2（1）（2009 荆州）x?4x?3?0 （2）x2?12x?15?0
（3）4x?4x?1?16 （4）2x?6x?1
例6:（开放题）关于x的方程ax?bx?3x?1一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a值。
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2222★暑期初二升初三学案
【随堂练习】 A组
一、填空题: 1.
在
4(x?1)(x?2)?5,
x2?y2?1,5x2?10?0,2x2?8x?0，
x2?3x?4?0,
12222?x2?3,a?2，3x?1?2x?3x，(x?3)(2x?1)?2x中，是一x元二次方程有_________个 。
22
2.关于x的方程是(m–1)x+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.
3.把方程3x(x?1)?(x?2)(x?2)?9化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
22
4．关于的x的一元二次方程方程(a-1)x+x+a-1=0的一个根是0, 则a的值是___________. 5.x?3x?____?(x?_____); 2x?6x?____?2(x?_____) 6. 一元二次方程
2222ax2?bx?c?0若有两根
1和－1,那么
a?b?c?________,a?b?c? 。
二、按要求解下列方程:
1.(2a?5)?3（直接开平方法） 2.x?6x?3?0(配方法) B组
一、填空题:
1.当m?_____时, 关于x的方程(m?2)x2
2
222m2?mx?8?0是一元二次方程.
2.如果关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知y?x2?5x?6,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
24.当a?4?b?2?c?0时,则ax?bx?c?0的解为____________________.
25. 方程x?2x?3?0的解是_______________________ 二、用配方法解下列方程:
1.(x?1)(x?3)?12 2．(2x?3)?2(2x?3)?1?0
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22★暑期初二升初三学案
(2a?1)23．4x?4x?1?0 4.x?(2a?1)x??0
422
三、解答题。
1．（2010 昆明）已知a是方程x?2004x?1?0的一个根，试求a?2003a?值。
2．（学科内综合题）一元二次方程ax?bx?c?0的一个根是1，且a,b满足等式
2222004的2a?1b?a?2?2?a?1，求此一元二次方程。
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★暑期初二升初三学案
第二讲 一元二次方程的解法（二）
【基础知识精讲】
一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法： (2) 配方法： ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
?b?b2?4ac一元二次方程的求根公式是x?2a
(b－4ac≥0)
2
应用求根公式解一元二次方程时应注意： ①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值；
2
③求出b－4ac的值；
22
④若b－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b－4a＜0，则方程无解． (4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是： ①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
2
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． (5)换元法：
【例题巧解点拨】 （一）知识回顾
例1：对于关于x的方程(x?m)?n,它的解的正确表达式是（ ） A.用直接开平方法，解得x??n B.当n?0时，x?m?2n
C．当n?0时，x??n?m D.当n?0时，x??n?m
例2 ：用配方法解方程：ax?bx?c?0(a?0)（探索求根公式）
（二）用公式法解一元二次方程 例3：用公式法解方程：
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2★暑期初二升初三学案
（1）x?3x?2?0 （2）(x?1)(x?2)?2x?5
练习：（1）x?2x?8?0 （2）2x?7x?2?0 222
（三）用因式分解法解一元二次方程 例4：利用因式分解解方程：
（1）x2?3x?2?0 (2)
练习：(1) x2?3x (2)
例5：用适当的方法解下列方程：
（1）y2?4y?4?0
（3）(x?2)(x?1)?10
【同步达纲练习】 A组
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6x2?7x?1?0 x2?2x?8?0
（2）3(x?5)2?2(5?x)（4）x2?2x?2?0 7
★暑期初二升初三学案
一、按要求解下列方程: 1. （x-）?
3. x?6x?3?0(配方法) 4. 2x?x?3?0 (求根公式法)
二、用适当的方法解下列各题:
5．(x?1)(x?3)?12 6．(x?2)?6?x
7．(2x?3)?3(2x?3)?4?0 8.x?70x?825?0
三、填空题:
21. 方程:①x?3?0, ②9x?12x?1?0, ③12x2532642（直接开平方法） 2. x?7x?6?0(因式分解法) 81222222?12?25x ,
④2(5x?1)?3(5x?1),较简便的解法_________。 A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法 B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法 D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
2.(2009 云南) 一元二次方程5x?2x?0的解是_____________________。
3．（2010东营）设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a?b)(a?b?1)?12，则这个直角三角形的斜边长为 。
2
4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。
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222222★暑期初二升初三学案
5. 方程x?2x?3?0的解是_________________________。 B组
一、解下列各方程:
1.3x?2(a?2b)x?b?a?0 2.x?(2a?1)x?a?a?0
二、解答题:
1.当x取何值时，代数式?x?3x?2的最大值，并求出这个最大值。
2.比较代数式2x?6x?8与x?8x的大小。
3. 已知最简二次根式2x?x与4x?2是同二次根式项,且x为整数，求关于m的方程
2222222222xm2?2m?2?0的根。
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★暑期初二升初三学案
第三讲 一元二次方程根的判别式
【基础知识精讲】
1．一元二次方程ax＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ??b?4ac
⑴ 当??0时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当??0时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当??0时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。
2．一元二次方程有实数根???0
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明??b?4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方 式+正数”的形式。 【例题巧解点拨】
例1：一元二次方程ax?bx?c?0求根公式为____________ ( 注意条件). 2.方程x?kx?1?0的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D.方程的根的情况与k的取值有关
2
3.若一元二次方程 2x（kx－4）－x＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4
2
4.若关于x的方程ax+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( ) A.-1或2 B.1或
2222
211 C.- 或1 D.-2或1 222
5.若关于y的一元二次方程ky-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
7777 B.k≥- 且k≠0 C.k≥- D.k> 且k≠0 444412例2：已知关于x的方程x?(2k?1)x?4(k?)?0。
2（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC
A.k>-的周长。
2
例3.已知关于x的一元二次方程x-mx-2=0?①
（1）若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
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★暑期初二升初三学案
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。
22
4、关于x的方程2x+(m–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
5、若x1 =3?2是二次方程x+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 =
2
_____.
6、方程2x2?3x?m?0的一个根为另一个根的2倍，则m= . 7、已知方程x?(k?1)x?k?0的两根平方和是5，则k= . 8、已知方程3x2?5x?1?0的两个根分别是x1，x2,则(x1?x2)? . 22113???，则9、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且
x1x24m= 。
10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍。
11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。
【拓展提升训练】
2
例1. 关于x的方程ax-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，
则a的值是（ ）
例2、（01北京）已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-1=0 ① （1）试判断方程①的根的情况；
（2）如果a是关于y的方程y2-（x1+x2-2k）y+（x1-k）（x2-k）=0②的根，其中x1，x2为方程①的两个实数根，求代数式
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的值．
★暑期初二升初三学案
例3、（09海淀）已知关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0（2）有两个实数根y1和y2 （1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y12+y22．
例4、（10绵阳）已知关于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的两实数根为x1，x2 （1）求m的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
例5、、（09绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例6、（06绵阳）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
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★暑期初二升初三学案
例7、（00绵阳）已知一元二次方程（1-2a）x2+2 （1）求实数a的取值范围；
（2）设a、β是一元二次方程的两个根，a=
-1=0有两个不相等的实数根．
，求 的值．
例8、（07天津）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2-x1＞1． （1）试证明c＞0；
（2）证明b2＞2（b+2c）； B组
一、填空（选择）题
1.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1-x2）2
的值是________。
22
2. 设a，b是方程x+x-2009=0的两个实数根，则a+2a+b的值为（ ）
2
3. 设x1，x2是关于x的一元二次方程x+x+n-2=mx的两个实数根，且x1＜0，x2-3x1＜0，则（ ） 4. 如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
2222
A．x+3x+4=0 B．x+4x-3=0 C．x-4x+3=0 D．x+3x-4=0
2
5、已知x1，x2是方程x+6x+3=0的两实数根，则
2
x2x1?的值为_______ ． x1x26、已知方程x?4x?2m?8?0的两个根，一个大于1，另一个小于1。则m的取值范围是________。
7、设方程3x?5x?m?0的两根分别是x1、x2，，且6x1+x2=0，则m的值为____。
22α?β的值为____。 8、设α、β是方程x?x?2012?0的两个实数根，则α?29、.若ab≠1,且有5a?2011a?9?0222229b2?2011b?5?0，则a的值______。
b10、已知a?1?a，b?1?b，且a?b，则(a?1)(b?1)? ． 二、解答题
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★暑期初二升初三学案
1、（2009 茂名）设x1,x2是关于x的方程x?4x?k?1?0的两个实数根，那么是否存在实数k，使得x1?x2?x1?x2成立？请说明理由。
2、（2009 淄博）已知设x1,x2是关于x的方程x?2x?a?0的两个实数根，且
32x1?2x2?3?2 ，（1）求x1，x2及a的值；（2）求x1?3x1?2x1?x2的值。
22
3、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值．
4、已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2-3x1-3x2-2=0．求
(1?
4a?2的值． )?2a?4a5、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程
x?1?3解相同． x?1（1）求k的值；
（2）求方程x2+kx-2=0的另一个解．
6、（2010孝感）关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两实数根x1，x2， （1）求p的取值范围；
（2）若[2+x1（1-x1）][2+x2（1-x2）]=9，求p的值．
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★暑期初二升初三学案
7、（04北京中考）已知：关于x的两个方程 2x2+（m+4）x+m-4=0，① 与mx2+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． （1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值． 8、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m． （1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 10、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n的值．
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★暑期初二升初三学案
第五讲 列一元二次方程解应用题
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的一般形式______________________________ 2．解方程的常见方法 _______________________ 3．列方程解应用问题的步骤：
①审题， ②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验． 【知识巩固】
1．方程x(2x－1)=5(x+3)的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________. 2.解下列方程: （1）
3．若关于x的方程(m?2)xm11??2 （2）(x2?8x)2?x2?8x?12 xx?2?mx?1?0是一元二次方程,求m的值.
【例题巧解点拨】
例1：有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
2
例2：如图，有一面积为150m的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？
例3：某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
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★暑期初二升初三学案
例4：将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
例5：已知直角三角形的周长是2?5,两直角边分别是a,b,若斜边上的中线长是1,则无论a,b为何值时,这个 直角三角形的面积都为一定值,求这个定值.
例6.一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时，容器内剩下的纯药液是28升，每次倒出液体多少升？
练习： (1)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题.
①当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润. ②设销售单价定每千克x元，月销售利润y元,求y与x的关系式.
③商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
例7.一矩形花园,长比宽长10米,在花园中间开条纵横贯通的十字路.十字路的面积共6000平方米.园外面再修一圈路把花园围起来,所有路的宽都相同.如果外面一圈路的外周长是1300米,求路宽与花园宽.
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★暑期初二升初三学案
例8、如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.
2
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？
练习：.如图所示,在△ABC中,∠B=90,点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.
(1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8㎝？ （2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6㎝？ 220C
Q
8cm
PAB 6cm
【同步达纲练习】 A组 一、填空（选择）题。
1、湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
22
A．5500（1+x）=4000 B．5500（1-x）=4000
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★暑期初二升初三学案
C．4000（1-x）=5500 D．4000（1+x）=5500
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
3．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为_______．
22
4、某企业2010年生产成本为20万元，计划到2012年生产成本降到15万元．设年平均降低的百分率为x，则可列方程为_________-．
5、某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______．
6、已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为___________．
7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到______位置时，即当AE= 米时，有222
DC=AE+BC．
8、如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕
2
地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为（ ）
9、如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
10、某厂计划在两年内将产量提高44%，如果每年的提高率是相等的，则每年提高率是________。 二、解答题。
1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.求年利率.
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★暑期初二升初三学案
2.已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为方程x?mx?3m?6?0的两个根。 ①求m的值
②求以该直角三角形的面积和周长为根的一元二次方程。
3.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为280m,求道路的宽?
B组
1.某农户2000年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2005年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2005年水果的总产量是多少?
(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?
(3)该农户加强果园管理,力争到2007年三年合计纯收入达57000元,求2006年,2007年平均每年增长率是多少?
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★暑期初二升初三学案
3、随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长． （1）尹进2011年的月工资为多少？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
3、某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
4、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
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★暑期初二升初三学案
5、．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=-x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
6、某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元． （1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？
7、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表：（不需化简）
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
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★暑期初二升初三学案
第六讲 正弦与余弦（1）
【基础知识精讲】 正弦与余弦：
在?ABC中，?C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做?A的正弦，记作sinA， 锐角A的邻边与斜边的比叫做?A的余弦，记作cosA.
sinA??A的对边?斜边cosA??A的邻边.
斜边若把?A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，
ab，cosA?。 cc2、当?A为锐角时， 0?sinA?1，0?cosA?1（?A为锐角）。
则sinA?特殊角的正弦值与余弦值：
sin30??231??， sin45?， sin60?．
222321??， cos45?， cos60?． 22200cos30??增减性：当0???90时，
sin?随角度?的增大而增大；cos?随角度?的增大而减小。
【例题巧解点拨】
例1：求出如下图所示的Rt?ABC中的sinA、cosB和cosA、cosB的值.
例2：求下列各式的值：
（1）sin30?cos30； （2）2sin45?
???1cos60?． 2第 28 页 共 101 页 28
★暑期初二升初三学案
sin30? （3）． (4) sin30??cos45??cos30??sin45?
cos30?
例3：（1）若sinA?1，则锐角?A?_____； 2（2）若cosA?2，则锐角?A?_____. 23，则锐角?A?____． 23，则锐角?A?_____ 2（3）若sinA?（4）若cosB?（5）已知?ABC中，?C?90?，AB?3BC，cosB=__________
【同步达纲练习】 A组
一、填空题：
1. cos30??sin30??___________，
1?sin ?cos 。 213、若sin??，且0????90?，则?=_______，
22. 已知sin??3，则锐角?=__________。 2??4．在Rt?ABC中,?C?90,?A?60,,则cosB?_________ 5．在?ABC，?C?90,AC?3,AB?5,则cosB?_________ 6．Rt?ABC中,?C?90,BC?3,AB?5,则sinA?_________
7．在Rt?ABC中，?C?90?，3a?3b，则?A=_________，sinA=_________ 8．如图，已知在Rt?ABC中,?C?90,AB?5,sinA?二、选择题：
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???3,则BC?_________ 5★暑期初二升初三学案
9．2sin30的值是（ ）
?A．
31 B．1 C． D．3
22?10．cos30的值是（ ）
A．
321 B． C． D．3 22211．在?ABC，?C?90?，AC=6，BC=8，则sinA?（ ）
4334 （B） （C） （D） 554312．在?ABC中，?C?90?，AC?5，AB?13，则cosB等于（ ）
125510A． B． C． D．
13131213（A）
13．在Rt?ABC中，?C?90?，AC?1，AB? A．30?
B．45?
2，则?B为（ ）
C．60? D．90?
14．在Rt?PMN中，?P?Rt?，则sinM?( A．
)
PNPMPNPM B． C． D． PMPNMNMN15．在Rt?ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值（ ）
A 都没有变化 B 都扩大2倍 C 都缩小2倍
2D 不能确定
??16．在?ABC中，若sinA?2??3?cosB??0，?A，?B都是锐角，则?C的度数
?2??2?是（ ）
A 75? B 90? 三、求下列各式的值：
C 105? D 120?
17．1?2sin30?cos30? 18．
12sin60??sin45??sin30??cos30?。 2219．(2sin30??2sin45?)(cos30??sin45?)(sin60??cos45?)
四、解答题：
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★暑期初二升初三学案
1．如图，?ABC中，?C是锐角；BC?a,AC?b,证明?ABC的面积S?
2．已知：如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?,sinB?1absinC. 2A B C
3,D是BC边上一点，且5A ?ADC?45?，DC = 6 。求?BAD的正切值.。
B C D
3.（昆明）如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
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★暑期初二升初三学案
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2，tanA+tanB=
2
2
10，∠A＞∠B，点P在斜边AB3上移动，连接PC， （1）求∠A的度数；
2
（2）设AP为x，CP为y，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围； （3）求证：AP=1时，CP⊥AB．
6、思考题：已知17cosA?13cosB?17,17sinA?13sinB，且A、B都是锐角，求
1?A??B的值。 2
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★暑期初二升初三学案
第十讲 解直角三角形
【基础知识精讲】
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：
两个独立的已知条件 解直角三角形的典型过程 （1）?B?90???A； 已知a和?A a)； tanAab（3）c?(或c?) sinAsinB（1）?B?90???A； （2）a?csinA； （3）b?ccosA（或b?csinB）。 （2）b?acotA(或b?已知c和?A 已知a,b。 ab），求出?A（或?B）； ba（2）?B?90???A（或?A?90???B）； a22（3）c?a?b（或c?。 ,?）sinA（1）tanA?（或tanB?aa（或cosB?）求出?A（或?B）； cc（2）?B?90???A（或?A?90???B）； （1）sinA?已知c,a。
【例题巧解点拨】
例1:已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2,∠B=∠D=90°,?求BC的长.
（3）b?c2?a2（或b?csinB）。
例2:如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝∠BDC＝45，DC＝6，求AB的长。
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0
0
2，D为AC上一点，5★暑期初二升初三学案
变式：如图，在△ABC中，∠B＝90，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝45，∠ACB＝60，求AB的长。
例3:如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若
（2）求sin∠ENB的值。
。（1）求△ANE的面积；
000
例4:如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，（1）求sin??cos?的值；
S?AFD?9，∠BAE＝?。 S?EFB（2）若S?AEB?S?ADE，AF＝6时，求cot∠BAD的值。
【同步达纲练习】 A组
一、选择（填空）题：
1．如图(1)所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ） A．1 B．2 C．
2 D．22 2
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★暑期初二升初三学案
(1) (2) (3)
4，那么sinα的值是（ ） 5943 A． B． C． D．22 55252．如果α是锐角，且cosα=
3．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ） A．
513B.1213C.1013D.5 124．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中正确的是（ ） A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=cosB
3，AB=4，则AD的长为5161620201616（ ） A．3 B． C DC..D..
3333555．如图(2),在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=
6．如图(3),某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮
以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元 7．已知α为锐角，tan（90°-α）=3，则α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75° 8．在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且AD=BD=5,CD=3,则sinA=_____
9．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x－22x?1?0的两个根，
2
则∠A=______，∠B=________.
22
10.若tanα+cotα=3, α为锐角,则tanα+cotα=_______. 二、解答题：
11．如图，△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点且BD=100，∠ADC=60°，sinB=的长
12．等腰三角形的面积为2, 腰长AB为5, 底角为α, 求tanα的值。
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2，求AC2ABDCＡ
Ｂ 50 Ｃ