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x2y2b2y2x2C1:2?2?1,C2:4?2?1,?a?b?0?。
abaa设直线l:x?t(|t|?a)分别和C1，C2联立，求得A?t,?a22??b22?a?t?,B?t,a?t?。
ba????当e?13时，b?a，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知 222|yB|b23|BC|:AD|=??.
2|yA|a24（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
b22a22a?ta?tab， ?tt?aab21?e2??2?a。 解得t??22a?be1?e22因为|t|?a，又0?e?1，所以2?1，解得?e?1。
e2所以当0?e?22时，不存在直线l，使得BO//AN；当?e?1时，存在直线l使得BO//AN。 2230.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）
设直线l1:y?k1x+1 ，l2:y=k2x?1，其中实数k1?k2满足k1k2+2?0，（I）证明l1与l2相交；
（II）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
【解析】：（1）（反证法）假设l1与l2不相交，则l1与l2必平行，?k1=k2 代入k1k2?2?0得
2k1?2?0，与k1是实数相矛盾。从而k1?k2，即l1与l2相交。
（2）（方法一）由??y?k1x?1得交点p的坐标（x,y）为
y?kx?1?2大家网，大家的！
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2?x??k2?k1?, ?k?k?y?21?k2?k1?22?2k1k2k12?k2?422k2?k128?(k2?k1)28?k12?k2而2x+y=2()?()????1 22222k2?k1k2?k1(k2?k1)k1?k2?2k1k2k1?k2?422所以l1与l2的交点p的（x,y）在椭圆2x2+y2=1上
?y?k1x?1（方法二）l1与l2的交点p的（x,y）满足：?，?x?0，从而
?y?k2x?1y?1?k??y?1y?1?1x??2?0，整理得 ，代入得kk?2?0?12xxy?1?k?2?x?2x2+y2=1
所以l1与l2的交点p的（x,y）在椭圆2x2+y2=1上
【解题指导】：两直线l1:y?k1x+b1，l2:y=k2x?b2的位置关系判定方法： （1）l1//l2?k1=k2,且b1?b2 （2）l1与l2相交?k1?k2
（3）l1与l2重合?k1?k2,且b1?b2 证明两数不等可采用反证法的思路。
点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。 31．(2011年高考广东卷文科21)（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，
l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线
上一点，且满足?MPO??AOP．
（1） 当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T(1,?1)．设H是E上动点，求|HO|?|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标； （3）过点T(1,?1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取
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值范围． 【解析】
（）设点1M(x,y),?M是线段OP的垂直平分线上的点?|MP|?|MO|??MPO??AOP?AO||MP??OAP?900??MPA?900?点M到点O的距离和点O到直线x??2的距离相等?点M的轨迹是抛物线，点O是焦点，直线x=-2是准线 ?x2?y2?|x?(?2)|?y2?4(x?1)?点M的轨迹E的方程为y2?4(x?1).(2）由(1）得点O是抛物线的焦点，过点H作直线l的垂线，垂足为F,|HO|+|HT|=|HF|+|HT|?当F,H,T三点在一条直线上时，|HF|+|HT|取最小值，此时HO|+|HT|最小=1-(-2)=3 此时H(x,-1)33?H（-，-1).44(3）设直线的方程为y+1=k(x-1)?1=4(x+1) ?x=-?y+1=k(x-1)??2消去y得k2x2?2(k2?k?2)x?k2?2k?3?0?y?4(x?1)当k?0时，显然没有两个交点当k?0时，?=4(k2?k?2)2-4k2(k2?2k?3)?0?2k2?k?1?0?k?R综合得斜率k的取值范围为k?R且k?0.
32．（2011年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e= （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
2，一条准线的方程是x?22 2?????????????1 （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM?2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为?，
2问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：x?210的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。
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c2a2解：（I）由e??,?22,
a2c解得a?2,c?准方程为
2,b2?a2?c2?2，
故椭圆的标
x2y2??1. 42 （II）设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，
则由
?????????????OP?OM?2ON得
(x,y)?(x1,y1)?2(x2,y2)?(x1?2x2,y1?2y2),即x?x1?2x2,y?y1?2y2.因为点M，N在椭圆x?2y?4上，所以
22x12?2y12?4,x2?2y2?4，
22
222故x2?2y2?(x1?4x2?4x1x2)?2(y12?4y2?4y1y2)
22?(x12?2y12)?4(x2?2y2)?4(x1x2?2y1y2)
?20?4(x1x2?2y1y2).
设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
kOM?kON?2y1y21??,因此x1x2?2y1y2?0, x1x222所以x?2y?20. 所以P点是椭圆
x2(25)2?y2(10)2?1上的点，该椭圆的右焦点为F(10,0，)离心率
e?2,直线l:x?210是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(10,0)，使2得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。 【2010年高考试题】
（2010陕西文数）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为
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2
2
2
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[C]
（C）2
（D）4
（A）
1 2（B）1
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x??2
p22
，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y＝16相切，所以3?2
p?4,p?2 22
2
2
法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以?
（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一
条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C）p??1,p?2 23?15?1 （D） 22x2y2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2?2?1(a?0,b?0)，
ab则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：bbbb，直线FB的斜率为：?，??(?)??1，?b2?ac acacc2?a2?ac?0，解得e?c5?1. ?a22（2010辽宁文数）（7）设抛物线y?8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA?l，A为
垂足，如果直线AF斜率为?3，那么PF?
（A）43 （B） 8 （C） 83 （D） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证?PAF为正三角形，则|PF|?4?8 ?sin30x2y23（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C：2?2?1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为
ab2????????k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若AF?3FB。则k =
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
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备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线
一、选择题
x2y23a1.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上
2ab?一点，?F2PF是底角为的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 301 (A)12? (B) (C) 23?(D)? ?2.【2012高
考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）
2(A)2 (B) 22 (C)? (D)?
x2y23.【2012高考山东文11】已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线C2:x2?2py(p?0)ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
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2 / 87 128777373.doc TopSage.com (A) x2?83163y (B) x2?y (C)x2?8y (D)x2?16y 334.【2012高
考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为
x2y2x2y2??1 （B）??1 （A）
1612128x2y2x2y2??1 （D）??1 （C）841245.【2012高
22P在C上，|PF1|?2|PF2|，则考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:x?y?2的左、右焦点，点
cos?F1PF2?
（A）
1334 （B） （C） （D） 4545 【答案】C
x2y2??1，所以a?b?2,c?2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线【解析】双曲线的方程为22的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根据余弦定理得
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cosF1PF2?(22)2?(42)2?142?22?42?3,选C. 46.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3 B.2 C. 3 D. 2 7.【2012高
考四川文9】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）
A、22 B、23 C、4 D、25 8.【2012高
考四川文11】方程ay?bx?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B
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4 / 87 128777373.doc TopSage.com
9.【2012高
考上海文16】对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx2?ny2?1的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B.
【解析】∵mn＞0，∴??m?0,?m?0,或?。
?n?0,?n?0,?m?0,故“mn＞0”是“方程mx2?ny2=1表示的
?n?0,方程mx2?ny2=1表示的曲线是椭圆，则一定有?是椭圆”的必要不充分条件。
x2y210.【2012高考江西文8】椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，
abF2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.
115 B. C. D. 5-2 42511.【2012
x2y2高考湖南文6】已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程
ab为
x2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]
20520805208020大家网，大家的！
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x2y212.【2102高考福建文5】已知双曲线2-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 5aA
3431432 B C D
23144【答案】C.
2【解析】根据焦点坐标(3,0)知c?3，由双曲线的简单几何性质知a?5?9，所以a?2，因此e?3.2故选C. 二 、填空题
x2y2?1(a为定值，且a?5)的的左焦点为F，直线x?m与椭13.【2012高考四川文15】椭圆2?a5圆相交于点A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x ? y =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1
2
2
⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】23 【解析】由双曲线的方程可知a?1,c?2,?PF1?PF2?2a?2,
?PF1?2PF1PF2?PF2?4
22?PF1?PF2,?PF1?PF2?(2c)2?8,?2PF1PF2?4,?(PF1?PF2)?8?4?12,?PF1?PF2?23222
x2y2??1的离心率为5，则15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
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x2y2 当m??1时，曲线C的方程为2??1，C是焦点在y轴上的椭圆； 2a?ma 当m??1时，曲线C的方程为x2?y2?a2，C是圆心在原点的圆；
x2y2 当?1?m?0时，曲线C 的方程为2??1，C是焦点在x轴上的椭圆；
a?ma2x2y2 当m?0时，曲线C的方程为1??1，C是焦点在x轴上的双曲线. 2a?ma（2）由（1）知，当m??1时，C1的方程为x2?y2?a2；
当m?(?1,0)?(0,??)时，C2的两个焦点分别为F1(?a1?m,0),F2(a1?m,0).
对于给定的m?(?1,0)?(0,??)，C1上存在点N(x0,y0)(y0?0)使得S?|m|a2的充要条件是
22?x0?y0?a2,y0?0 ① ? ?1 2?2a1?m|y|?|m|a.② ?0?2 由①得0?|y0|?a，由②得|y0|?|m|a1?m.
当0?|m|a1?m?a,即1?51?5?m?0，或0?m?时. 22 存在点N, 使S?|m|a2;
|m|a1?m
1?51?5，或m?时， 22 当?a,即?1?m? 不存在满足条件的点N.
1?51?5,0)?(0,]时， 当m?[22?????????? 由NF1?(?a1?m?x0,?y0),NF2?(a1?m?x0,?y0)，
??????????22 可得NF1?NF2?x0?(1?m)a2?y0??ma2. ?????????? 令|NF1|?r1, |NF2|?r2, ?F1NF2=?
??????????ma22 则由NF1?NF2?rr， 12cos???ma,可得r1r2?cos?1ma2sin?1 从而S?rr??ma2tan?,于是由S?|m|a2. 12sin???22cos?212|m| 可得?ma2tan??|m|a2，即tan???.
2m 综上可得：
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42 / 87 128777373.doc TopSage.com 1?5,0)时，在C1上，存在点N，使得S?|m|a2，且tanF1NF2?2; 当m?[2 当m?(0,1?5]时，在C1上，存在点N，使得S?|m|a2，且tanF1NF2??2;； 21?51?5)?(,??)时，在C1上，不存在满足条件的点N. 22 当m?(?1,
26．（2011年高考浙江卷文科22)（本题满分15分）如图，设P是线C1:x2?y上动点。圆C2:x2?(y?3)2?1的圆心为点M，过点做圆C2的两条切线，交直线l：y??3于A,B两点。（Ⅰ）求C2的
抛物
P圆心
M到抛物线 C1准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处得切线平若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】：（Ⅰ）由x2?y得准线方程为y??准线的距离为?分，
1，由x2?(y?3)2?1得M(0,3)，圆心M到抛物线c1的4111?(?3)? 44（Ⅱ）设点P的坐标为(x0,x02)抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D，再设A,B,D横坐标分别为
xA,xB,xD，过点P(x0,x02)的抛物线C1的切线方程为y?x02?2x0(x?x0)（1）
当x0?1时，过点P(1,1)与圆C2的切线PA为y?1?1517(x?1)可得xA?,xB?1,xD??1，81515xA?xB?2xD；当x0??1时，过点P(?1,1)与圆C2的切线PA为y?1??(x?1)可得
817xA??1,xB?,xD??1，xA?xB?2xD，所以x02?1?0。设切线PA，PB的斜率为k1,k2则PA：
15y?x02?k1(x?x0)（2）PB：y?x02?k2(x?x0)大家网，大家的！
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27.
(2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|?|F1F2|.
ab（Ⅰ）求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x?1)2?(y?3)2?16相交于M,N两点,且|MN|=
5|AB|,求椭圆的方程. 8(a?c)2?b2?2c，整理【解析】（Ⅰ）设F1(?c,0)，F2(c,0)（c?0），因为|PF2|?|F1F2|，所以得
cc12()2??1?0，即2e2?e?1?0，解得e?. aa2(Ⅱ)由（Ⅰ）知a?2c,b?3c,可得椭圆方程为3x?4y?12c,直线PF2的方程为y?3(x?c),
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44 / 87 128777373.doc TopSage.com
222?8c?3x?4y?12c2A,B两点坐标满足方程组?,消y整理得5x?8cx?0,解得x?0或,所以
5??y?3(x?c)A,B两点坐标为(16c8c33, ,c),(0,?3c),所以由两点间距离公式得|AB|=555于是|MN|=
53|2?c||AB|=2c,圆心(?1,3)到直线PF2的距离d?, 82|MN|23x2y2222)?4,所以(2?c)?c?16,解得c?2,所以椭圆方程为??1. 因为d?(2416122【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.
x2y2??1的顶点，28. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆42过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为（1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
【解析】（1）因为M(?2,0)、N(0,2),
d； 中P在第连接AC，k
所以MN的中点坐标为(-1,
2),又因为直线PA平分线段MN， 2所以k的值为?2. 2?y?2x2424?(2)因为k=2,所以直线AP的方程为y?2x,由?x2y2得交点P(,)、A(?,?),
3333?1???42因为PC⊥x轴，所以C（
22,0)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为y?x?，所以 33242??|333=22. 点P到直线AB的距离d=32大家网，大家的！ http://www.topsage.com
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（3）法一：由题意设P(x0,y0),A(?x0,?y0),B(x1,y1),则C(x0,0)，
?A、C、B三点共线，?yy?yy1?0?10,又因为点P、B在椭圆上，
x1?x02x0x1?x0x02y02x?xx12y12???1,??1，两式相减得：kPB??01
42422(y0?y1)?kPAkPB?y0x?x(y?y)(x?x)[?01]??1001??1 x02(y0?y1)(x1?x0)(y0?y1)?PA?PB
法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B中点N(x0,y0),则P(-x1,?y1),C(-x1,0),
?A、C、B三点共线，?y2y?yy?21?1?kAB,又因为点A、B在椭圆上,
x2?x1x2?x12x1yx22y22x12y121???1,??1,两式相减得：0??,
4242x02kAB?kONkPA?y0y11???2kAB??1,?ON?PB,?PA?PB. x0x12kAB29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分) 如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
（I）设e=
1，求|BC|与|AD|的比值； 2（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由. 解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
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PF1：F1F2：PF2= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于
132
B. 或2 223123C. 或2 D. 或
232A. 或【答案】A
【解析】由PF1：F1F2：PF2= 4:3:2，可设PF1?4k,F1F2?3k,PF2?2k,若圆锥曲线为椭圆,则
2a?6k,2c?3k,e?13;若圆锥曲线为双曲线,则2a?2k,2c?3k,e?,故选A. 222
9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆5x?5y?36相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
2210. （2011
年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是 （A）y??8x （B） y??4x (C) y?8x (D) y?4x 【答案】C
【解析】：设抛物线方程为y?ax，则准线方程为x??22222aa于是???2?a?8故选C 44大家网，大家的！
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x2y2?1(a?0)的渐近线方程为3x?2y?0,则a的值为11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2?a9（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y??3x，故可知a?2。 a12．（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线y2?2px(p?0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为
n，则 A.n?0 答案：C
B.n?1
C.n?2
D.n?3
P解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F(,0)，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设
2222y0y0y0PA(,y0) (y0?0)，则B(,?y0)，则|AB|?2y0，故由抛物线定义可得|AF|??，则由2P2P2P22|AB|?|AF|，解得y0?4Py0?P2?0，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.
13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线y?x 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 (A)
2357 (B)1 (C) (D) 444答案： C
解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得AF?BF?3=m+
1115+n+= m+n+=3，故m+n=，4422m?n55?，故线段AB的中点到y轴的距离为。 244二、填空题：
x2y2x2y2?=1有相同的焦14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)和椭圆
ab169点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
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16.
x2y2??1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，（2011年高考四川卷文科14)双曲线那么点P到左准6436线的距离是 . 答案：16
解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得
2010?，解得d?16. d8x2y217.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M
279的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .
x2y2已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2279∠的平分线．则|AF2| = . 【答案】6
【解析】：?F1(?6,0),F2(6,0)，由角平分线的性质得又AF1?AF2?2?3?6 ?AF2?6
18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点，左焦点在以AB为直
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AF1AF2?F1MMF2?8?2 4http://www.TopSage.com
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径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
A．(0,2)
B．(1,2)
C． (2,1) 2D．(2，??)
【答案】B
[来源:Z+xx+k.Com]三、解答题：
18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
分）
x2C:?y2?1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原
3l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射
椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m).
（Ⅰ）求m2?k2的最小值；
（Ⅱ）若OG?OD?OE，（i）求证：直线l过定点；
2点的直线线OE交
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时?ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.
（Ⅱ）（i）
m?y??x?m?3证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,所以由?2得交点G的纵坐标为
3?x?y2?1??3大家网，大家的！
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nm2nm22OG?ODy??m?,又因为,,且?，所以,又由y?myG?OEED1?3k2m2?31?3k2m2?3（Ⅰ）知: m?1,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k,即有l:y?k(x?1),令x??1k得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).
（ii）假设点B，G关于x轴对称,则有?ABG的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上, 由（i）知点G((?3m?32,mm?32),所以点B((?3m?32,?mm?32),又因为直线l过定点(-1,0),所
?m以直线l的斜率为m2?3?k，又因为m?1，所以解得m2?1或6，又因为3?m2?0,所以?3k?1m2?3?311,)，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为(?,0)，442m2?6舍去,即n2?1，此时k=1，m=1，E(G((?3112552,),圆半径为，圆的方程为(x?)?y?.综上所述, 点B，G关于x轴对称,此时2224215?ABG的外接圆的方程为(x?)2?y2?.
2419. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分） 2已知过抛物线y?2px?p?0?的焦点，斜率为22的直
线交抛物线于A?x1,y2?,B?x2,y2?（x1?x2）两点，且AB?9． （1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC?OA??OB，求?的值．
py?22(x?),与y2?2px联立，从而有4x2?5px?p2?0,【解析】（1）直线AB的方程是 25p，由抛物线定义得：AB?x1?x2?p?9，所以p=4， 42所以：x1?x2?抛物线方程为：y?8x
2（2）由p=4，4x?5px?p?0,化简得x?5x?4?0，从而x1?1,x2?4,y1??22,y2?42,
22从而A:(1,?22),B(4,42)
设OC?(x3,y3)?(1,?22)??(4,42)=(1?4?,?22?42?)，又y3?8x3，即22?2??1??8
2???2更多精品在大家！
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（4??1），即(2??1)2?4??1，解得??0,或??2. 20. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x=4y相切于点A。 （1） 求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
2
?y?x?b2【解析】（I）由?2得x?4x?4b?0
?x?4y因为直线l与抛物线
C
相切,所以
(?)
??(?42)?4?b(?4,解得)?b0??1.
（II）由（I）可知b??1,故方程(?)即为
2x2?4x?4?0,解得x?2,将其代入x?4y,得
y=1,故
点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r, 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x?2)?(y?1)?4.
【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.
21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交
22????????于点D,E，求AD?EB的最小值．
22解析：（I）设动点P的坐标为(x,y)，由题意为(x?1)?y?|x|?1.
化简得y?2x?2|x|,
当x?0时,y?4x;当x?0时,y=0.、
所以动点P的轨迹C的方程为,y?4x(x?0)和y=0(x?0).
（II）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y?k(x?1)．
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?y?k(x?1)2222，得kx?(2k?4)x?k?0. 2?y?4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是
4,x1x2?1． 2k1因为l1?l2，所以l2的斜率为?．
k x1?x2?2?设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得x3?x4?2?4k2,x3x4?1
????????????????????????AD?EB?(AF?FD)?(EF?FB)?????????????????????????????????AF?EF?AF?FB?FD?EF?FD?FB?????????????????|AF|?|FB|?|FD|?|EF|故?(x1?1)(x2?1)?(x3?1)(x4?1)
?1?(2?42)?1?1?(2?4k)?12k121)?8?4?2k?2?16k2k????????12当且仅当k?2即k??1时，AD?EB取最小值16．
k?8?4(k2?x2y222. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 2?2?1?a?b?0?过点（0，4），
ab离心率为
34（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 5516c3169a2?b291???解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得2?1 ∴b=4又e?? 得即， 22a5a25ba25x2y2??1 ∴a?5 ∴C的方程为
2516（ Ⅱ）过点?3,0?且斜率为
44的直线方程为y??x?3?， 554?x?3?代入Ｃ的方程， 5设直线与Ｃ的交点为Ａ?x1,y1?，Ｂ?x2,y2?，将直线方程y?23?413?41x2?x?3?得，x2?， ??1，即x2?3x?8?0，解得x1?222525? AB的中点坐标x?x1?x23y?y226?36??， y?1??x1?x2?6???，即中点为?,??。 22255?25?注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。
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23. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）
x2y23过点C(0,1)的椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A?a,0?、
ab2B(?a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
????????（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OP?OQ为定值.
解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是c33，所以?,又a2?b2?c2，故
a22x2a?2,c?3，椭圆方程为?y2?1.
4?x2?832?y?1,x?,??x?4?7或?x?0,则?y?1，由?当直线l过椭圆右焦点时，直线l的方程为得??x31?y?1.??y?1,?y??,??7??3?83?C?0,1?,D??7,?1??,故|CD|???（Ⅱ）直线CA的方程为
?83??1?216??1??. ??7????7???7?2xx?y?1 ①.设点P?x0,0?(x0??2)，则直线AP的方程为?y?1 ②. 2x0?8x0x02?4?8x0把②代入椭圆方程，得xD?，从而可求D?. ,22?4?x02?4?x04?x0?因为B(-2,0),所以直线BD的方程为y?x0?2?x?2? ③，
2?x0?2?由①③可得xQ??42?4，从而求得Q?,1??.
x0?x0?x0?????????42?OP?OQ?x0??0??1???4，
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????????所以OP?OQ为定值.
24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．
y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为?2的直线l与C已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22交与A、B两点，点P满足???OA?????OB?????OP??0.(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析】(Ⅰ)证明：由x2?y22?1得F(0,1)，l:y??2x?1， ?由?y?1?2x?2得4x2?2y?22x?1?0 ?x?2?1设
A(x1,y1),B(x2?8?4?4?(?1)2?61,y1),则x1?22?4?4 x2?8?4?4?(?1)2?62?632?22?4?4，y2?4?1??11??2， y2?61?32??2?4?1?2????OA?????OB?????OP??2?0.???xp??(x1?x2)???2 ?yp??(y1?y2)??12x2yp2212p?2?(?2)?2?1故点P在C上
（Ⅱ）法一：点P(?22,?1)，?P关于点O的对称点为Q，?Q(22,1)， 2(3?1KK?1?y)2?112??1?y1?y1?1AQAP?22?x2??1，即?PAQ?90?211?2?x1x1?2?6212(4)?2KPBKBQ??1即?PBQ?90?，? ?PAQ??PBQ?180? A、P、B、Q四点在同一圆上.
法二：由已知有Q??2??,?则PQ的中垂线为：y??2x设A、B的中点为D?21??2?x3,y3? 更多精品在大家！
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，
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?x1?x22x????324??y?y1?y2??2x1?1??2x1?1?13∴?222 ??????21??则AB的中垂线为：y?2x?1 D,∴??42?24???21?311''?,?则PQ的中垂线与AB的中垂线的交点为O??∴ |PO|?|QO|??888??'?2?1????|2??21?8??8?1|33 ?到直线AB的距离为O'??,?88???d????83|AB|??x1?x2???y1?y2?222?3?x1?x2??232
?4x1x2?2?311?|AB|?2∴|AO'|?|BO'|??即|AO'|?|BO'|?|PO'|?|QO'| ??d?8?2?∴A、P、B、Q四点在同一圆上。
25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分） 平面内与两定点A1(?a,0),A2(a,0)(a?0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；
(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的m?(?1,0)?(0,??)，对应的曲线为C2， 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积S?ma2，若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.
解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.
yyy2 当x??a时，由条件可得km1?km2????m,
x?ax?ax2?a2即mx2?y2?ma2(x??a).又A1(?a,0),A2(a,0)的坐标满足mx2?y2?ma2. 故依题意，曲线C的方程为mx2?y2?ma2.
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