三、课后练习
（一）一元积分学的几何应用 1（A）、曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围成图形的面积可表为（C）
212?（C）??x(x?1)(2?x)dx??（A）?01x(x?1)(2?x)dx （B）?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
01201x(x?1)(2?x)dx （D）?x(x?1)(2?x)dx
022（A）、设f(x)?g(x)?m在区间[a,b]上连续，则曲线f(x),g(x)夹在[a,b]之间的平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体体积为（B）
???[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx C??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx D??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx 3（A）、如图，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分?xf'(x)dx等于（C）
Aabb?[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx Bbabaaa0（A）曲边梯形ABOD面积 （B） 梯形ABOD面积 （C）曲边三角形ACD面积 （D）三角形ACD面积 4（A）、由曲线y?4x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为4ln2．
(0?x?1)，x轴和y轴所围成区域被曲线L2:y?ax5（A）、假设曲线L1:y?1?x 分为面积相等的两部分，a?0则a?3．
226（A）、过原点作y?lnx的切线，其与y?lnx及x轴所围区域为D，则D的面积为e2?1，
D绕x?e旋转一周所得的旋转体的体积为(5e2?12e?3)?6．
(a?0)与曲线y?ln7（A）、已知曲线y?ax 22x在点(x0,y0)处有公切线，求①常数
a及切点(x0,y0)；②两曲线与x轴所围平面区域的面积A；③该区域绕x轴旋转一周所得
旋转体体积Vx．[①a?1e,(e,1) ②A?e6?12 ③Vx??2]
8（A）、求曲线y?x?2x,y?0,x?1,x?3所围图形的面积A，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积Vy．（A?2,Vy?9?） 9（A）、设y?2x2?1， x?2及x轴所围成的平面区域为D，则D绕x轴旋转一周所成
的旋转体的体积为4?3，D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为2(33?1)?3． 10（A）、设有曲线y?x?1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图
形绕x轴一周所得到的旋转体的表面积[S?(115?1)?6]
11（A）、求y?sinx (0?x??),y?0围成的平面图形绕x轴旋转所得的曲面面积Sx，
2并求其绕y轴旋转所得的旋转体体积Vy．（2?[2?ln(1?2)]，2?）
12（A）、 设位于曲线y?1x(1?ln2x)(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为G,
2则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是?4．
13（A）、设L极坐标方程为r?cos3????6????6?，则L所围的区域面积为?12． 14（A）、设曲线的极坐标方程为??e (a?0)，则该曲线上相应于?从0边到2?的一段弧与极轴所围成的图形面积为(e15（A）、f(x)?4a?a??1)(4a)．
?1x3xdx与x轴、y轴围成图形的面积为1ln3．
216（B）、设f(x)??1x2edt，则其所示曲线与直线x?1及x轴，y轴围成的区域绕y轴
?t2旋转一周生成的旋转体体积V?2??10xf(x)dx?(1?e?1)?2．
17（A）、求摆线x?1?cost，y?t?sint一拱(0?t?2?)的弧长S?8．
?x?t1?udu?0?18（A）、设曲线L由?确定，则该曲线对应于0?t?1的弧长为2．
t2?y??01?udu?19（B）、求心形线r?a(1?cos?)的全长，其中a?0 ． （S?8a）
20（A）、已知曲线的斜率为cosx，则该曲线在[0,?2]中的弧长为2． 21（A）、求曲线y?2x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0,x?2所围成图形面积最小．（l:y?(x?1)2）
(a?0,x?0)与y?1?ax交于点A，过坐标原点O和点A的22（A）、设曲线y?ax 直线与曲线y?ax围成一平面区域，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（a?4,Vmax?325?1875）
23（A）、设y?ax与抛物线y?x所围面积为S1，它们与x?1所围面积为S2, (a?1) ①试确定a，使达到最小S1?S2，并求出最小值;a?122222,Smin?(2?2)6
②求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx．[(2?1)?30]
??e2x,x?024（B）、设F(x)???2x，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t > 0，
?,x?0?eS1(t)表示矩形?t ? x ? t，0 ? y ? F(t)的面积. 求
(I) S(t) = S ?S1(t)的表达式；S(t)?1?2te(II) S(t)的最小值．[S()?1??2t，t ? (0 , +?).
11是最小值]
2e25（B）、设D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}及l:x?y?t(t?0) ，若S(t)表示D位于直
?x360?x?1x?线l左下方部分的面积，则?S(t)dt(x?0)???x36?x2?x?131?x?2 ．
0?x?1x?2?x?x26（B）、曲线y?(e?e)2与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x?t处的底面积为F(t), ①求S(t)V(t) ； ②计算lim[S(t)F(t)]．（① 2 ② 1）
t???，y?4t?t(t?0) 27（B）、已知曲线L的方程x?t?1（I）讨论L的凹凸性；（凸的）（II）过点(?1,0)引L的切线，求切线的方程；（y?x?1） （III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．（73）
22（二）二重积分计算
1（A）、设f(x,y)连续，则2（A）、设f连续，则
2??2?2dx?1sinxf(x,y)dy可换序为?dy?01???arcsinyf(x,y)dx.
2x11x?112dy?21yf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx可换序为?dx?f(x,y)dy.
1y22223（B）、设D 由x?y?a,x?y?ax,y??x所围，如图所示，将化为极坐标系下的二次积分.
y??xy2??f(x,y)d?（a>0）
Dx2?y2?a2?a0I???20d??aacos?f(rcos?,rsin?)rdr???3?42d??f(rcos?,rsin?)rdr.
0a?a2a2a22(x?)?y?24ax4（A）、设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则（A）（C）
?22???f(xy)dxdy等于（D）
D??1dx??1?x11?x22f(xy)dy （B）2?dy?022y?y20f(xy)dx.
?02?d??2sin?0f(r2sin?cos?)dr （D）?d??0?2sin?0f(r2sin?cos?)rdr
5（A）、设函数f(t)连续，则二次积分（A）（C）
?2?20d??22cos?f(r2)rdr=（B）
24?x22x?x2?dx?04?x22x?x4?x222x?yf(x?y)dy （B）?dx?0222f(x2?y2)dy
2?20dx?1?2x?xx?yf(x?y)dy（D）?dx?0D222224?x21?2x?xf(x2?y2)dy
26（A）、设I1?中D?222222cosx?yd?,I?cosx?yd?,I?cosx?y????d?，其23??????D2??x,y?xD?y2?1，则按从大到小的排列次序为I3?I2?I1.
?D7（A）、设D是xoy面上以(1,1),(?1,1),(?1,?1)为顶点的?区域，D1是D在第一象限的部分，则
??(xy?siny?cosx)d??（A）
??siny?cosxd? （B）2??xyd? （C）4??(xy?siny?cosx)d? （D）0
D1D1D11?k?4（A）28（A）、如图，正方形D:|x|?1,|y|?1被其对角线划分为四个区域Dk(k?1,2,3,4)， 设Ik?2ytanxdxdy，则max{Ik}? (A) ??Dk(A)I1 (B)I2
(C)I3 (D)I4
9（A）、(1)
?21（2）、求?dy?dx?xlnxdy?12；
001y1yysinxdx?1?cos1. x?x210（A）、计算11（B）、计算
??21dx?sin(?x2y)dy??dx?sin(?x2y)dy?4??3(??2).
x2x22x4x0e?y2dy?e0y?x2dx??122e?y2dy?1?y20（极坐标） e?xdx?(1?e?1)?8．
212（A）、设D由y?x,y?2x及x??2所围，若
??DAcos(2x?y)d??1，则A??3.
13（A）、设D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域，则14（A）、设D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，则15（A）、设区域D?{(x,y)|x?x?y?2x,y?0}，则
?(x2216（B）、设D?{(x,y)x?y??}, I???eD2??Dy2?xyd?=29．
??Dx2dxdy=4163．
22??Dxydxdy=154.
?y2??)sin(x2?y2)d?=(1?e?)?2.
17（B）、设极标域D：0?r?sec?,0????4，则
??Dr2sin?1?r2cos2?drd?=
1??. 316.
18（A）、设D由x?1?y2与x?2y?0及x?2y?0围成，则19（A）、设D:x?y?1,x?0， 则
223415(x?y)d?=1??D1?xy??D1?x2?y2d?= ?ln22.（对称奇偶性）
20（A）、设D?{(x,y)x2?y2?1}，则
??(xD2?y)dxdy??2.（轮换性与对称奇偶性）
21（B）、设D由r?1?cos??0?????与极轴围成，则
222??xyd?=45.（对称奇偶性）
D222（B）、设D是由x?y?4和?x?1??y?1所围，求
??D(x2?y2?y)d?.
提示：16(3??2)9，注意对称奇偶性与分块性. 23（B）、设f(x)连续，求I???1?1Dy[1?xf(x2?y2)]d?，D由y?x,y??1与x?1所围.
1x提示：?23，注意对称奇偶性与分块性. 24（B）、设f(x,y)连续，则
?（对称奇偶性） dx?[f(x,y)?f(?x,y)?1]dy?1．
??26（B）、??25（A）、
x2?y2?1(x?y)d?=83.（轮换性与对称奇偶性）
0?y?min{x,2?x2}|x?1|d?=1??4.（分块性）
27（A）、设D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}，则28（B）、设D:0?x??,0?y??，计算29（B）、设f(x)连续，求证：
??Dxy?1dxdy?32?ln2．（分块性）
??2Dcos(x?y)d??3??2.（分块性）
?10dy?f?x2?2x?1?dx?0y11（换序与换元） f?x?dx．?0230（B）、设f'(x)连续，求证：31（B）、设f(x)连续,并设
?20dy?4?yy（极标） f'(x2?y2)dx?[f(4)?f(0)]?8．
110x?102f(x)dx?A,则?dx?f(x)f(y)dy=A22．（轮换性）
12?x2?y2?1
32（A）、若f(x,y)?(x?y)???f(x,y)d?.则
x2?y2?1??f(x,y)d?=?16．
（三）三重积分计算(仅数一打印)
1（A）、锥面z?（A）4dx0x2?y2与平面z?1围成?，f(x,y,z)连续，则???f(x,y,z)dv?（B）
???011?y20dy?z01x2?y2f(x,y,z)dz
??（C）?d??d??（B）
021dz?d??f(?cos?,?sin?,z)?d?
110?402012?0f(?cos?,?sin?,z)?dz
（D）
?2?0d??d??f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d?
022222222（A）、设?1:x?y?z?R,z?0，?2:x?y?z?R,x?0,y?0,z?0，则有(C) （A） (C)
???xdv?4???xdv (B) ???ydv?4???ydv
?1?2?1?2???zdv?4???zdv (D) ???xyzdv?4???xyzdv
?1?2?1?23（A）、若?为平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的四面体， 则
?3(1?x?y?z)dv?ln22?516． ????224（A）、设?是由曲面x?y?2z及平面z?2所围成的区域，则5（A）、设?是由曲面z?222???(x?y)dv? ?16 ?．3x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域，则???zdv=
?22?． 126（A）、设??{(x,y,z)|x?y?z?1}，则
2z???dxdydz??4?． 15x2y2z27（A）、设?：2?2?2?1，则
abc8（A）、设?：x?y?z?R，则
2222???dv???4?abc． 3165?R． 32(x?2y?3z)dv????22229（A）、设?:(x?y)3?z?1?x?y，计算I?2(x????y)dv??24． ?10（A）、设??(x,y,z)|x?y?(z?1)?1,x?0,y?0，则
22211（A）、设?由x?y?z?2z?z?1?,z??222?????dvx2?y2?z2??． 3333x2?y2所围，则????x?y?z?dv=?31?． 960?x2?2z12（B）、记曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围的立体区域为?，
y?0?14dv?求???2． 3?ln22x?y?z3?13（B）、
由
面上的区域
=
．
绕
轴旋转一周而成
的空间区域， 则