y?y?x???0edx?ye,y?0, =? ??其他.?0,??0,
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得?c?214. (2) fX(x)??????f(x,y)dy
? ??1212?2124??x2xydy???4?8x(1?x),?1?x?1,?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?????y212?75?yxydx??y2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
46
题11图
【解】fX(x)??????f(x,y)dy
x??1dy?2x,0?x?1, ????x
?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,
y?其他.?0,??所以
?1f(x,y)?,|y|?x?1, fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x?1,
fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大
的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 6 101 11 ?C310522 ?C310533 ?C3105 47
2 0 11 ?3C5100 22 ?3C5103 101 10 3 0 11 ?2C5106 10P{Y?yi} 1 103 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立?
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表?
Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} (2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0, 其他.（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2
0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
48
题14图
(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是
2??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：
P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
?1000?,x?1000,f（x）=?x2
?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0
（2） 当0 X?z} YFZ(z)???y?xz1000）(如图a) z6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz?103106?z =?103?2?3?dy? zy?2z?y?? 49 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106y?x103dy?103x2y2dx z =????103106 ?1103??y2?zy3??dy?1?2z ??1?12z,z?1,?即 f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.???12z2,z?1,?故 f?1Z(z)??0?z?1, ?2,?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202）， 从而 P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}?P{X2?180} P{X3?180}?P{X4?180} ?[1?P{X1?180}?]?[1PX2{?1?80}?P][1X3?{?1?8P0}4X][1? ?[1?P{X??180?160??41?180}]4???1????20???? ?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 只， 50 {180}] 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1．略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：? （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；? （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.? 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC (7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.?略.见教材习题参考答案? 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.? 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？? 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， ?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.? 1 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) = 11113++?= 4431247.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352 8.?对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）= 15 1=（）（亦可用独立性求解，下同） 775（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 6565 P（A2）=5=() 77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A3）=1?P(A1)=1?( 15 ) 79.?略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的；? （3） n件是有放回逐件取出的.? n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种， 故 mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP（A）= CnN可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 2 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m 11.?略.见教材习题参考答案. 12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131224?2 ?【解】（1） p1?C5()() (2) p2?222325/325 3 16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? i?0322 C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3 =0.32076 17．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 41111C5C2CC2C2213【解】 p?1? ?4C102118.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.5?0.0520? 0.5?0.05?0.5?0.00252121.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 4 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示. 3021P?2? 60422.?从（0，1）中随机地取两个数，求： 6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率. 4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0 6. 514417 p1?1?255??0.68 1251(2) xy=<. 4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123.?设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) 5 x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1 8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意 X??1?1?N(0,1)， Y??2?2?N(0,1)，则 P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}， P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即 ?2??2}. P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}， 所以有 ?1?1?2，即?1??2. 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1???? 322280 1 8110 21C3????3/8 22211110 ??? 2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 1 2 3 41 0 0 0 22C3?C23 ?4C73521C3?C1?C1222 ?4C73522C3?C23 ?4C735C3C123?2 ?4C7351C3?C232 ?4C7351 0 12C1?C?C6322 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22?2/C7?1 35C1C2C163?2?2 ?4C7350 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22 ?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???ππ,?y?46π??内的概率. 3?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636 ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636 2?(3?1).4 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 ?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=? 其他.?0,求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 42 【解】（1） 由 ??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A12?1 得 A=12? （2） 由定义，有 F(x,y)??y?x????f(u,v)dudv ?yy?(3u?4v)dudv?(1?e?3x ????0?012e??)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他 (3) P{0?X?1,0?Y?2} ?P{0?X?1,0?Y?2} ??1) 0?2(3x?4y012e?dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他. （1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 ?????4?????f(x,y)dxdy??20?2k(6?x?y)dydx?8k?1, 故 R?18? （2） P{X?1,Y?3}??1?3????f(x,y)dydx ??1?31028k(6?x?y)dydx?38 (3) P{X?1.5}?f(x,y)dxdy如图ax???1.5??f(x,y)dxdy D1 ??1.5410dx?28(6?x?y)dy?2732. (4) P{X?Y?4}?f(x,y)dxdy如图bX???Y?4??f(x,y)dxdy D2 ??24?x10dx?28(6?x?y)dy?23. 43 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为 f??5e?5y,y?0,Y（y）=?0,其他. 求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题6图 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为 ?fx)??1?,0?x?0.2,X( ?0.2?0,其他.而 f)???5e?5y,y?0,Y(y ?0,其他.所以 f(x,yX)Y,独立fXx(?f)Yy( )?1?5y ????5e?25e?5y,0?x?0.2且y?0,?0.2?? ?0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图y???x??25e?5ydxdy D0.2 ??0dx?x25e-5ydy??0.20(?5e?5x0?5)dx =e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 44 x，y）=??(1?e?4x)(1?e?2yF（),x?0,y?0,?0,其他. 求（X，Y）的联合分布密度. 【解】f(x,y)??2F(x,y)??x?y??8e?(4x?2y),x?0,y?0,?0,其他. 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他. 求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy ? =???xy(2?x)dy??2.4x204.8(2?x),0?x?1, ???0,?0,其他. f??Y(y)????f(x,y)d x?1 =???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0??0,?y?1,??0,其他. 题8图 题9图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??e?y,0?x?y,, ?0其他.求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy ????y?x =???xedy??e,x?0, ???0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx 45 故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0 当1 ??lny0dx?lny 当y≥e时FY(y)?P(eX?y)?1 即分布函数 ?0,y?1F?Y(y)??lny,1?y?e ??1,y?e故Y的密度函数为 ?1f(y)???y,1?y?eY ??0,其他（2） 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z) ?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1e?z/2dx?1?e?z/2 即分布函数 F)???0,z?0Z(z?1-e-z/2,z?0 故Z的密度函数为 ?f(z)??1?2e?z/2,z?0Z ??0,z?032.设随机变量X的密度函数为 ?f(x)=?2x?π2,0?x?π, ??0,其他. 31 试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 当0 ?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) π2x2xdx??0π2?π?arcsinyπ2dx 1122?2（arcsiny）?1-2（π-arcsiny） ππ2 ?arcsiny π ?arcsiny当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为 1?2?,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下： ?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limF(x)?1知②填1。 x??x?(1)x?, (3).F(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 由右连续性lim+x?x0从而③亦为0。即 ?1,x?0? F(x)??1?x2?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)= 抛掷出现6点}。则 1.且A1与A2相互独立。再设C={每次6P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 32 111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 36 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) 0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9 即 (0.9)n?0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 ??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?, 21x?.2则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型. 【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0 x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。 但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C） 37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b] 等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0,【解】在[0,]上sinx≥0，且 在[0,π]上在[?3π]. 2π2?π/20sinxdx?1.故f(x)是密度函数。 ?π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。 π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当π?x?π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。 22故选（A）。 33 38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?) ??()??()令g(?) 1??利用微积分中求极值的方法，有 g?(?)?(?3?311??)?()??() 22????? 3?212??1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2??1/2??8/2?e[1?3e]?02令 得?0?242,则 ?0? ln3ln3又 g??(?0)?0 故?0?2为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物 品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. e???m,m?0,1,2,? 【解】P(X?m)?m!设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即 km?kP(Y?k|X?m)?Ck,k?0,1,?,m mp(1?p)由全概率公式有 P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m) m?k? 34 e???mkk???Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k [?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,?k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为 ?2e?2x,x?0 fX(x)??x?0?0,由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1 当0 1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为 1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为 ?1?3,0?x?1,??2f(x)=?,3?x?6, ?9其他.?0,??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）= 21知P（X 35 1k1dx??033?3 1 当k=1时P（X 311k1若1≤k≤3时P（X 031311k2211若3 0339933若0≤k≤1,P(X k若k>6,则P（X 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为 2. 3x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)=? ?0.8,1?x?3,?x?3.?1,求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 X~b(3,p) 由P（X≥1）=故p= 198知P（X=0）=（1?p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】 ?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2 P{X<0}= . 【解】0.3?P(2?X?4)?P(4 52?2??X?2??4?2?) 22??()??(0)??()?0.5 ?? 36 故 ?(2?)?0.8 X?2因此 P(X?0)?P(?2?0?2?)??(?2?) ?1??()?0.2 ?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β； （3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则 A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂} 由题意知B=A∪AB，且 P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故 ??P(X?n)?(0.94)nn?2??P(X?n?2)?C2(0.06)2 n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2） 24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知 从而X~N（72，12） 故 P(60?X?84)?P?2 24?)?0.977 24??2,即σ=12 ?60?72X?7284?72???? 1212??12 37 ??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知 P(A1)?P(X?200) ?X?220200?220??P??? 25?25???(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240) ?200?220X?220240?220??P???? 252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212 由全概率公式有 ??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642 i?13由贝叶斯公式有 ??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009 P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】fX(x)???1,1?x?2 ?0,其他因为P（1 1lny) 2 ? ?dx?1lny?1 238 当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1 ?0,y?e2??1即 F??24Y(y)2lny?1,e?y?e ???1,y?e4?故 f?1,e2?y?e4Y(y)??2y ??0,其他50.设随机变量X的密度函数为 f(x)=??e?x,x?0,X0,x?0. ?求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1 当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0 当y>1时，FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny) ??lnyx0e?dx?1?1y ?即 F?1?1y,y>1Y(y)?? ??0,y?1?1故 f)???y2,y>1Y(y ??0,y?151.设随机变量X的密度函数为 f1X(x)= π(1?x2), 求Y=1?3x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)3) (1995研考) 39 ?? 11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2? 3(1?y)2故 fY(y)? π1?(1?y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993 研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t ?1?e??t,t?0即 FT(t)?? t?0?0,即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 e?16??8?（2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1 件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x 由题知P(?1?X?1)?1?115?? 848x?1 2当?1 ?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1) ?x?15151???(x?1)?2881681 8当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数 40