二次函数在实际生活中的应用
摘 要：介绍二次函数在实际生活中的应用，将数学与实际生活中的不同问题相联系起来。而二次函数的应用过程就是数学思想得到充分体现的过程，分类讨论、数形结合、规划与转化、函数与方程的思想都在二次函数中得到了充分的体现。所以，研究二次函数在实际生活中的应用问题同时也是在培养学生严谨的数学思维、培养学生的运算能力、分析能力和解决问题的能力。
关键词：二次函数；数形结合；最优化；转化思想
Abstract：Introduces the application of quadratic function in real life, different problems of mathematics and real life together. The application process of quadratic functions of the mathematics thought process is obtained fully reflected, fully reflected to discuss the classification, combination of number and shape, planning and transformation, function and equation thought in quadratic function. Therefore,research on the application of quadratic function in real life but also in the ability of mathematical thinking, rigorous training students operation ability, analysis and the ability of students to solve problems.
Key words：quadratic function;symbolic-graphic combination; optimization;transformation of ideas
二次函数在中学数学中占据重要的地位，同时也是进行数学研究的一个重要的工具，它贯穿整个中学数学的数与学。从最浅显的直观的利用图象解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不体现二次函数的重要性和它独特的魅力。在中考中，二次函数的实际应用同样是一个考察的重难点，而很多学生在考试中暴露出一个问题：用数学解决实际问题的能力不足。所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而培养学生解决实际问题的能力[1-8]。
一般地，我们把形如y?ax2?bx?c?a?0?的函数叫做二次函数，二次函数的图像是一条抛物线，且a决定函数图象的开口方向，a?0时，开口方向向上，a?0 第1页(共1页）
时，开口方向向下；a还可以决定开口大小，a越大开口就越小，a越小开口就越大。而抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x?-b。对称轴与抛物线唯一的交2a2?b4ac?b??点为抛物线的顶点P，其坐标为P??-,。一次项系数b和二次项系数a?4a??2a共同决定对称轴的位置，当a与b号时（即ab?0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab?0），对称轴在y轴右侧。抛物线与x轴交点个数由一元二次方程
ax2?bx?c?0根的个数决定，即由?的符号决定。当??b2?4ac?0时，抛物线
与x轴有2个交点；当??b2?4ac?0时，抛物线与x轴只有1个交点；当
??b2?4ac?0时，抛物线与x轴没有交点[1-2]。
1 在桥梁建筑方面的应用
抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示：
图1-1 图1-2
同时，在现实生活中也存在许多与建筑、设计有关的二次函数的数学问题。下面，我们用以下几个例子来进行说明。
例1.1[3] 一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图1-3所示的坐标系。 （1）求抛物线的解析式；
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（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道如图1-4所示，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
图1-3 图1-4 解 （1）由题意可知抛物线经过点
A?0,2?，P?4,6?，B?8,2?。
设抛物线的方程为y?ax2?bx?c，将A、P、D三点的坐标代入抛物线方程。解得抛物线方程为：
1y??x2?2x?2.
4 （2）令y?4，则有
1-x2?2x?2?4, 4解得
x1?4?22，x2?4?22,
而
x2?x1?42?2,
所以货车可以通过。
（3）由（2）可知
1x2?x1?22?2, 2所以货车可以通过。
例1.2[3] 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。
（1）在如图1-5所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h?m?时，桥下水面的宽度为d?m?，求
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出将d表示为h的函数表达式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行。
图1-5
解 （1）设抛物线的解析式为y?ax2，且过点?10,?4?， 所以
-4?a?102,a??故y??1， 2512x. 25?d?（2）设水位上升h?m?时，水面与抛物线交于点?,h?4?，
?2?则
1d2h?4???，
254所以d?104?h.
（3）当d?18时，有18?104-h, 解得h?0.76， 所以0.76?2?2.76.
故当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
在生活中，除了桥梁的建设上运用了二次函数的相关知识，还有大量其他的建筑如花坛、喷水池、隧道等等都有涉及到二次函数的地方。所以，由此可以看出二次函数是真的融入了我们的生活中[5-6]。
2 在经济生活中的应用
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二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。针对不同类型的问题，从保证最大利润为入手点，建立函数关系，运用二次函数的性质来解决实际问题[4-7]。 2.1 投资策略问题
在经济投资问题中，不同的投资方案会带来不同的风险，同时获得的利益也会相对的有所差别。那么针对不同的投资方案，选择正确的营销策略以求获得经营的最大利润就是我们必须要解决的问题。而在现实生活中，此类问题是层出不穷，如下列例题所示。
例2.1[3-5] 某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
表2-1转让价格与转让数量关系
数量 价格 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
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