2.1初边值问题的求解
?ut?a2uxx?0(t?0,0?x?l).........(2.1)?.........................(2.2)?t?0:u??(x).........初边值问题?
.........................(2.3)?x?0:u?0..........?.................(2.4)?x?l:ux?hu?0..........其中h为正常数。
用分离变量求解。令u(x,t)?X(x)T(t)，这里X(x)和T(t)分别表示仅与x有关和仅与t有
T,即关的函数。把它代入方程，得到XT??aX??才成立。令此常数为-?，则有
2T?X???.这等式只在两边均等于常数时2aTXT???a2T?0................(2.5)
X????X?0.................(2.6)先考虑（2.6）.根据边界条件（2.3）、（2.4），X(x)应当满足边界条件
X(0)?0,X?(l)?hX(l)?0...........(2.7)
对于边值问题（2.6）、（2、7），分类进行讨论。 ①当??0时，只有平凡解X?0; ②当??0时， X(x)?Acos?x?Bsin?x.........(2.8)
利用边界条件X?0??0，得A?0.于是（2.7）的第二个边界条件得到
?2.9? B(?cos?l?hsin?l)?0.................为使X(x)为非平凡解，?应满足
?cos?l?hsin?l?0..........(2.10)
即?应是下述超越方程的正解：
tan?l??令 v??h..........(2.11)
?l.................(2.12)
v.........(2.13) lh则（2.11）式变为 tanv??利用图解法或数值求解法可得出这个方程的根。方程（2.13）有可列无穷多个正根
1（k?）??vk?k?.因此，特征值问题（2.6）、（2.7）存在着无穷vk?0(k?1,2,....),满足
2多个固有值
?k?(vk2)(k?1,2......)...........(2.14) lvkx(k?1,2,.....)........(2.15) l及相应的固有函数
Xk?x??Bksin?kx?Bksin把???k代入方程（2.5），可得 Tk(t)?Cke?a2?kt(k?1,2,......).........(2.16)
于是得到一列可分离变量的特解 uk(x,t)?Ake?a2?ktsin?kx(k?1,2,...).........(2.17)
由于方程（2.1）及边界条件（2.3）、（2.4）都是齐次的，故可以利用叠加原理构造级数形式的解
u?x,t???Ake?a?ktsin?kx...............(2.18)
2?k?1以下来决定常数Ak，使（2.18）满足初始条件（2.2） 由（2.2），为使在t?0时u(x,t)取到初值??x?,应成立
??x???Aksin?kx...............(2.19)
k?1?为确定系数Ak，须先证明固有函数系?Xk??sin??kx在?0，l?上正交。
?设固有函数Xn和Xm分别对应不同的固有值?n和?m，即
????nXn?0,Xm??mXm?0. Xn以Xm和Xn分别乘上面第一式和第二式，得到
????nXmXn?0，XmXn
??XnXm??mXnXm?0.两式相减后在?0，l?上积分，有
?（X0lm??-Xm??Xn）dx?(?n??m)?XnXmdx?0. Xn0l再利用Xm和Xn都满足边界条件（2.3）（2.4），就得到
?-XmXn?）(?n??m)?XnXmdx?（XnXm?0 00ll由于?n??m，故得固有函数系的正交性：
?l0XnXmdx??sin?nxsin?mx?0,m?n........(2.20)
0lMk??sin0l2?kxdx??记?lsin2?kll??? 2222?k1?tan?kl4?klh?...........(2.21)222(h??k)1?cos2?kxdx02tan?kl1l?于是，在（2.19）两边乘以sin?kx，在进行积分，利用正交性（2.20）即可得
1Ak?Mk?????sin0L?n?d?.......(2.22)
将它代入（2.18）式，就得到初边值问题（2.1）-（2.4）的形式解为
u?x,t???1L?a2?kt????sin??d??esin?kx......(2.23) k?0k?1Mk?a2?kt?下面证明分离变量法得到的形式解是初值问题（2.1）-（2.4）的经典解。 表达式（2.23）中含有因子e?2k，因此对任意??0,当t??时，对任意p?0级数
p?a?t??ke均是一致收敛的。若?为有界函数及（2.21）式，可得 k?1?????sin?k?d??Ml及0l12?........(2.24) Mkl因而，由（2.23）表示的级数，当t?0时，关于x和t是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换。由于级数的每一项都满足方程（2.1）及边界条件（2.3）、（2.4），从而（2.23）式表示的级数在t?0时确实满足方程及边界条件。为了保证当t?0时，对任意的x?[0,l]，由（2.23）式给出的级数趋于初值??x?，还需要对??x?加上进一步的条件。例如在
??x??C2,??0??0,???l??h??l??0时，可以证明，由（2.23）式给出的级数确实是初边值
问题（2.1）-（2.4）的经典解。 2.1柯西问题 ⑴傅里叶变换及其性质
-?，?）上的函数，它在[?l,l]上有一阶连续导数，则在设f(x)是定义在（ (?l,l)中f(x)可以展开为傅里叶级数a0?n?n?f(x)???(ancosx?bnsinx)..........(2.25)
2n?1ll并且
1ln?1ln?an??f(?)cos?d?,bn??f(?)sin?d?(n?0,1,2...).....(2.26)
l?lll?ll若
函
数
?f(x)在（??,?）???上绝对可积，则有
f(x)???10d??f???cos?(x??)d?........(2.27)
积分表达式（2.27）称为f(x)的傅里叶积分。
（2.27）式也可以写成复数形式。由于cos?(x??)是?的偶函数，sin?(x??)是?奇函数，可以将（2.27）式写成
?1?f(x)?d?f(?)[cos?(x??)?isin?(x??)]d?2???????
?1??d??f???ei?(x??)d?..................(2.28)?2?????若令g????就有f?x??称
??..(2.29) ?f???ed?..........i???12?????g???ei?xd?.........(2.30)
g(?)为f(x)的傅里叶变换，记为F[f];称f(x)为g(?)的傅里叶逆变换，记为F?1[g].当
f(x)在(??,?)上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且其逆变换等于f(x).傅里叶变换的性质
① 傅里叶变
换
是
线
性
变
换
，
即
对
于 任
意
复
数
?，?以及函数f1,f2,成立F[?f1??f2]??F[f1]??F[f2]........(2.31)于f1(x)和f2(x)的傅里叶变换的乘积，②f1(x)和f2(x)的卷积的傅里叶变换等即 F[f1?f2]?F[f1]?F[f2].........(2.32)
③f1(x)和f2(x)乘积的傅里叶变换等于f1(x)和f2(x)的傅里叶变换的卷积乘以1，即 2?F[f1?f2]?1F[f1]?F[f2].........(2.33) 2?④如果f(x),f?(x)都是可以进行傅里叶变换的，而且当x??时，f(x)?0,则成立
F[f?(x)]?i?F[f(x)]................(2.34)
⑤如果f(x)及xf(x)都可以进行傅里叶变换，那么
F[?ixf(x)]?dF[f]..............(2.35) d?（2）齐次热传导方程柯西问题的求解
2??u2?u??a.................(2.36) ??t?x2?.........(2.37)?u(x,0)??(x).........关于x进行傅里叶变换，记
~(?,t),F[u(x,t)]?u~(?). F[?(x)]??在（2.36）两边关于x进行傅里叶变换，利用性质④，就得到
~du~..........??a2?2u....(2.38)
dt类似，由（2.37）式可得
~(?).........~(?,0)??u.....(2.39)
（2.28）、（2.29）是带参数?的常微分方程的柯西问题，它的解为
~(?)e?a2?2t..........~(?,t)??u...(2.40)
函数e?a2?2t的傅里叶变换为
F?1[e?a?t]??12?2212?????e?(a?t?i?x)d??x24a2t22????e?a2t(??ix2)2a2t
d??e利用复变函数的积分计算知
????e?a2t(??ix2)2a2td???e?at?d????22?1at????e?ydy?2?at
.?x24a2t所以F?1[e?a22?t]?12a?te,