实验二：人口发展模型
实验目的：
理解马尔萨斯模型和Logistic模型，利用中国人口数据，进行参数估计，并比较模型的优劣。
实验题目：
据统计，建国以来我国人口增长情况如表1：
表1 各年份中国总人口数（单位：千万） 年份 人口 年份 人口 年份 人口 年份 人口 年份 人口 年份 人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 114.333 1999 125.786 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1982 101.654 1991 115.823 2000 126.743 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1983 103.008 1992 117.171 2001 127.627 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1984 104.357 1993 118.517 2002 128.453 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1985 105.851 1994 119.850 2003 129.227 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 121.121 2004 129.988 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 122.389 2005 130.756 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1988 111.026 1997 123.626 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1989 112.704 1998 124.761 以马尔萨斯模型和Logistic模型来拟合表1数据，比较两种模型，哪种模型更适合人口的长期预测？并预测2006年至2015年各年人口总数。
马尔萨斯模型 即有
假设单位时间内人口增长量与当前时刻人口数成正比，
为时刻人口总量，易得
，其中，代表增长率，，这表明人口按指数变化规律增长。
Logistic模型 。
假设人口增长率是当时人口数量的线性递减函数
表示按自然资源和环境条件的最大人口容量；表示固有增长率，即人
时，
；当
，求解模型得
时，
。由此
.
口很少时的增长率；当建立Logistic模型
实验程序及注释
%马尔萨斯模型 T=1954:2005;
N=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
y=log(N); %计算对数值
p=polyfit(T,y,1); %线性拟合
Malthus=exp(polyval(p,T)); %求线性函数值
plot(T,N,'o',T,Malthus) %对原始数据和拟合后的值作图 RM=sum((N-Malthus).^2) %求残差平方和 %Logistic模型
b0=[ 241.9598, 0.02985]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*(t-1954)))','b','t'); b1=nlinfit(T,N,fun,b0);
Logistic=b1(1)./(1+( b1(1)/60.2-1).*exp( -b1(2).*(T-1954))); %非线性拟合的方程
plot(T,N,'*',T,Logistic) %对原始数据与曲线拟合后的值作图 RL=sum((N-Logistic).^2) %求残差平方和
实验数据结果及分析
150140130120110110100100909080706019508070601950140130120196019701980199020002010196019701980199020002010
马尔萨斯模型 Logistic模型
图1 实验结果
由上图可以看出，Logistic模型对人口的拟合更加确切，其误差130.8740较马尔萨斯模型的误差757.4464更小。利用Logistic模型预测2006年至2015年各年人口总数如下表所示。 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 134.14 135.30 136.44 137.56 138.66 139.74 140.80 141.84 142.87 143.87 由马尔萨斯模型可得，随着时间的推移，人口数量将会无限的
增大，这显然是不合理的，导致这一问题的一个明显原因就是，马尔萨斯原型没有考虑环境的承受能力这一限制。而Logistic模型
则
考虑了自然环境对人口数量以及增长率的限制，即随着时间的推移，人口数量会渐渐增大，但人口的增长率会慢慢减小，直至等于0，此时人口将会达到环境所能承受的最大值。
实验结论
相比于马尔萨斯模型，Logistic模型更适合长期的人口预测。