广东省深圳市2016-2017学年高一上学期期末
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m?α，n?β，α⊥β，则m⊥n 3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（ ） A．4
B．﹣4 C． D．﹣
4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2
），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（ ）
B．45°
C．60°
D．90°
A．30°
5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（ ） A．
x﹣y+
+2=0
B．
x+y+
+2=0 C．
x﹣y+
﹣2=0 D．
x﹣y﹣
+2=0
6．已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3 ），则（ ）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
7．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（ ） A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] 8．已知函数f（x）=（ ）
A．（﹣∞，0） B．[1，2） C．（﹣1，5]
D．[4，6]
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是
9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48
10．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（ ） A．1125
π B．3375
π C．450π D．900π
11．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
12．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（ ） A．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为 ．
14．已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a= ． 15．若函数f（x）== ． 16．方程
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．
=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）
B． C．3
D．4
）的所有x的和为（ ）
（1）求BC边上的高所在的直线方程； （2）设AC中点为D，求△DBC的面积．
18．已知函数f（x）=（1）求f（x）的定义域A；
（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．
19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点． （1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．
+
．
20．已知f（x）=3x+m?3﹣x为奇函数． （1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；
（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面
ABCD所成角为45°
（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE； （2）若CD=
，求点B到平面PCD的距离．
22．已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．
（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；
（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．
广东省深圳市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出运算结果即可． 【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}， B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}， 则A∩B={0，1，2}． 故选：A．
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m?α，n?β，α⊥β，则m⊥n 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误； 若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误； 根据线面垂直的性质定理，可得C正确；
若m?α，n?β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误． 故选C．
3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（ ） A．4
B．﹣4 C． D．﹣
【考点】两条直线的交点坐标．
【分析】联立y=3x，x+y=4，解得（x，y），由于三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一
点，把点代入ax+y+1=0，即可解得a的值． 【解答】解：联立y=3x，x+y=4，
，
解得
，
∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点， ∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0， 解得a=﹣4． 故选：B．
4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2
），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（ ）
B．45°
C．60°
D．90°
A．30°
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】设C在平面xoy上的射影为D，则可得OA⊥平面ACD，故∠CAD为所求二面角的平面角．
【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD， 则CD=2
，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，
∴OA⊥平面ACD，
∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角， ∵tan∠CAD=
=
=
，
∴∠CAD=60°． 故选C．
5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（ ） A．
x﹣y+
+2=0
B．
x+y+
+2=0 C．
x﹣y+
﹣2=0 D．
x﹣y﹣
+2=0
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】倾斜角60°的直线方程，设为y=
x+b，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．
x+b．
【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=
圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）． 因为直线平分圆，圆心在直线y=故所求直线方程为故选C．
6．已知函数f（x）=
，若a=f（log3），b=f（2
），c=f（3
），则（ ）
x+b上，所以﹣2=﹣+b，解得b=﹣2，
x﹣y+﹣2=0．
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【考点】分段函数的应用．
【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出a＞1，运用指数函数的单调性，判断0＜c＜b＜1，进而得到a，b，c的大小． 【解答】解：函数f（x）=
，
则a=f（log3）=1﹣log3=1+log32＞1， b=f（2c=f（3
）=f（）=2
）=2
∈（0，1），
∈（0，1），
由y=2x在R上递增， ﹣
＜﹣
，可得2
＜2
，
则c＜b＜a， 故选：D．
7．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（ ） A．（﹣1，1） B．[﹣1，1]
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设=k，求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案．
【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率． 所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围． 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切， 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值． 易得|OC|=2，|CE|=
，可由勾股定理求得|OE|=
，
于是可得到k=1，即为的最大值． 同理，的最小值为﹣1， 故选B．
8．已知函数f（x）=（ ）
A．（﹣∞，0） B．[1，2） C．（﹣1，5] 【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据f（x）在区间（0，1]上是减函数，对a进行讨论，依次考查各选项即可得结论．
（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是
D．[4，6]
【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C． 当a＜0时，函数y=上是减函数，故A对． 当1≤a＜2时，函数y=1]上是增函数，故B不对．
（a∈A），
在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]
在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，
当4≤a≤6时，函数y=故选A．
在（0，1]上可能没有意义．故D不对．
9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算体积可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体， 半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：
=8π，
四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16， 故组合体的体积V=8π+16， 故选：B
10．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（ ） A．1125
π B．3375
π C．450π D．900π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=
，由此能求出该几何体的外接球的体积．
【解答】解：该几何体的直观图如图所示， 这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，
ABCD是正方形，边长为15， ∴BO=
=
，EO=
，
=
，
∴该几何体的外接球的半径R=∴该几何体的外接球的体积： V=故选：A．
=1125
．
11．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】确定f（x）在（2，+∞）上递增，函数关于x=2对称，利用f（2﹣x）=f（可得2﹣x=结论．
【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0， ∴f（x）在（2，+∞）上递增， 又∵f（x）=f（4﹣x）， ∴f（2﹣x）=f（2+x）， 即函数关于x=2对称， ∵f（2﹣x）=f（∴2﹣x=
），
=4，
，或2﹣x+
），
）的所有x的和为（ ）
=4，即x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，利用韦达定理，即可得出
，或2﹣x+
∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0， ∴满足f（2﹣x）=f（故选C．
12．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（ ） A．2
B． C．3
D．4
）的所有x的和为﹣8，
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），由此可得|PF|﹣|PE|的最大值．
【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），
∵F（3，﹣1），
∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4， 故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为 （2，+∞） ． 【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】根据指数函数的定义和性质，把不等式化为2（2x﹣1）＞x+4，求出解集即可． 【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为 22（2x﹣1）＞2x+4， 即2（2x﹣1）＞x+4， 解得x＞2，
所以实数x的取值范围是（2，+∞）． 故选：（2，+∞）．
14．已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a= ﹣2 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】利用直线平行的性质求解．
【解答】解：∵直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0， ∴
，
解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）． 故答案为：﹣2．
15．若函数f（x）== 7 ．
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（x）+f（﹣x）=2，由此能求出f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）的值． 【解答】解：∵函数f（x）=
，
，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）
∴f（x）+f（﹣x）=+=+=2，
∴f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（） =2×3+
=7．
故答案为：7． 16．方程
=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 [0，
） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】设f（x）=
，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆