2013江苏省数学奥林匹克夏令营讲义——平面几何
江苏省扬州中学 唐一良
?(不含点C) 、BC? (不含点A) 上分别取例1.1在△ABC 的外接圆的AB
KBRLI1I2点K、L ,使得直线KL 与直线AC 平行. 证明: △ABK 和△CBL 的内心?(包含点B) 的中点的距离相等. 到AC
例1.2已知⊙O、⊙I分别是?ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O
上的任意一点D，都可以作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是?DEF的外接圆和内切圆．
ACDAFOBAIC
例1.3在△ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆O?，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证：线段PQ的中点恰为△ABC内切圆的圆心。（IMO-20试题推广）
例1.4.如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外
?、AC?的中点．过点C作PC∥MN交圆?于P点，I接圆?上弧BC
为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．
⑴求证：MP?MT?NP?NT；
?（不含点C）⑵在弧AB上任取一点Q（Q≠A，T，B），记?AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
EOIPBO'QCPNCMITBAPQ
?的中点，Q为P例1.5如图，设△ABC内接于⊙O，P为弧BAC
A的对径点，I为△ABC的内心，PI与边BC交于点D，△AID的外接圆与PA的延长线交于点F，点E在线段PD上，满足DE＝DQ，记△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R,r，若∠AEF2r
＝∠APE，证明：sin2∠BAC＝(2013年国家队测试题)
R
BOEFIDCQ例2.1 已知△ABC的∠C内的旁切圆与边AB切于点C?，设Z为由点C引出的△ABC的高的中点，证明：△ABC的内心在直线C?Z上。（2002-2003年匈牙利数学奥林匹克）
例2.2△ABC的内切圆O切三边BC，CA，AB于 D，E，F，且DD’，EE’，FF’是圆O的直径，求证：AD’，BE’，CF’三线共点。
BFE'ODAD'EF'C
例2.3锐角△ABC中，已知AB＞AC，设△ABC的内心为I，边AC、AB的中点分别为M、N，点D、E分别在线段AC、AB上，且满足BD//IM，CE//IN，过内心I作DE的平行线与直线BC交于点P，点P在直线AI上的投影为Q，证明：点Q在△ABC的外接圆上。(2010年国家队测试题)
例2.4设△ABC的内心是I，外接圆为?，直线 AI 交圆?于
PPBQEINADMCA?上的一点,F 是边BC上的一点，使得∠BAF另一点D，设E是弧BDC
1
＝∠CAE＜∠BAC．设G是线段IF 的中点．证明：直线DG 与EI 的
2交点在圆?上．(2010年IMO试题)
IGBFDCE A
例3.1.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点，过点H的直P线分别交边AB，AC于F，E，使得AE＝AF，射线DH与△ABC的
E外接圆交于点P，求证：P，A，E，F四点共圆。 FH
CBD
TBC例3.2在平行四边形ABCD（∠A＜90o）的边BC上取点T使得△ATD是锐角三角形。令O1，O2和O3分别为△ABT、△DAT
O3和△CDT的外心。求证：三角形O1O2O3的垂心位于直线AD上。 O1 O2A HDA
E例3.3已知H是一个非等腰锐角三角形△ABC的垂心，E是AH中点，C'OB'三角形ABC的内切圆与边AB和AC分别切于C’和B’，F是E关于I直线B’C’的对称点，求证：F与△ABC的内心和外心共线。 FH CB
例4.1(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．(1992年江苏省数学竞赛)
例4.2设点P是⊙O外一点，PAB，PCD是两条割线，AD，BC交于点Q，延长BD，AC交于点R，求证：PQ=P的幂+Q的幂；PR2=P的幂+R的幂.
【典型模型】：⊙O(r)的内接四边形ABCD中，AB，DC延长后交于点E，AD，BC延长后交于点F，AC，BD交于点P（不与O重合），证明：OP⊥EF，并讨论四边形ABCD是圆外切四边形的情形。
例4.3 如图，圆O1和圆O2相交于A，B两点，过点B的一条直线分别交圆O1和圆O2于点C,D，过点B 的另一条直线分别交圆O1和圆O2于点E，F ，直线CF 分别交圆O1和圆O2于点P，Q．设M，N分别是弧PB，弧QB的中点．求证：若CD = EF ，则C，F，M，N四点共圆．（2010年CMO试题）
例4.4.已知：D是?ABC边BC上一点，⊙O?DAC??ABD，过点B，D，分别交AB，AD 于点E，F，直线BF交DE于点G，M是AG的中点，求证：CM?AO（2009年国家集训队选拔考试题）
例4.5.已知三角形 ABC 中, ∠BAC=90°, D 是过顶点 C 的高的垂足. 设 X 是线段 CD 内部一点. K是线段 AX 上一点, 使得 BK=BC. L 是线段 BX 上一点, 使得 AL=AC. 设 M 是 AL 与 BK 的交点. 证明: MK=ML（.2012年IMO国际数学奥林匹克试题第五题）
例4.6设P是△ABC内部的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆ω的另一个交点分别为K、L、M，圆ω在点C处的切线与直线AB相交于点S，假设SC＝SP，证明：MK＝ML(2010年IMO)
例5.1 四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．（1990年全国高中数学联赛）
例5.2在锐角?ABC中，AB>AC，M是边BC的中点，P是
AAMPCQNAPMEP2ACQDRBAOBPCDFEFAEMOGBDFDCBCKAXMDCLBLKBSDO3O4OO1CPO2O1OBMPABO2C?AMC内一点，使得?MAB=?PAC，设?ABC，?ABP，?ACP的外心分别为O，
O1，O2，证明：直线AO平分线段O1O2（2010年国家集训队选拔考试题）
B例5.3设⊙O1与⊙O2相交，P是其中一个交点，它们的一条外公切线切⊙O1与⊙O2于A，B，过A垂直于BP的直线交O1O2于C，求证：AP?PC（2011年国家集训队选拔考试题）
例5.4如图，在圆内接△ABC中，?A为最大角，不含点A的?上两点D、E分别为弧ABC?、ACB?的中点。记过点A、弧BC
O2CO1PAB且与AC相切的圆为⊙O1，过点A、E且与AD相切的圆为⊙O2，⊙O1与⊙O2交于点A、P。证明：AP平分?ABC。
（2012年CMO）
例6.1过圆ω外一点O引ω的切线OA、OB（A、B是切点），C?上得一点，且AC≠BC，I是圆ω的圆心，直线AC和OB是劣弧AB
交于点D，直线BC和OA交于点E，求证：△ACE，△BCD，△OCI的外心共线。（2010年俄罗斯数学奥林匹克九年级）
例6.2如图，设凸四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，△BEC的外接圆与△CFD的外接圆交于点C、P两点，求证：∠BAP＝∠CAD的充要条件是：BD//EF（2010国家队测试题）
例6.3在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，设M为其密克点，当AD⊥BC，且M在直线AD上时，点E，F与△BDF，△DCE的外心O1，O2四点共圆的充要条件是：M为△ABC的垂心。
例6.4设A1，C1分别是?ABCD的边AB、BC上的点，线段AC1
A1BPC1CBEO1MO2DCAEDCBOIADCEPABFFAQD与CA1交于点P，△AA1P和△CC1P的外接圆的第二个交点Q位于△ACD内部，证明：∠PDA＝∠QBA（第35届俄罗斯数学奥林匹克）
例7.1如图，设凸四边形的两组对边所在直线分别交于E，F两点，两对角线的交点为P，过点P作PO?EF于O，求证：
A?BOC??AOD(2002年国家队选拔赛题)
例7.2如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC. (1999年全国高中联赛试题)
例7.3已知H是△ABC的垂心，A在BC上的垂足为点D，以AH为直径的圆交过点B，C的圆于X，Y，过D作DK垂直XY于点K，求证：DK平分∠BKC (2013年日本数学奥林匹克)
例7.4如图，凸四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC交于点E，延长BC，AD交于点F，AC，BD交于点P，直线OP交EF于点G，求证：?AGB??CGD
例8.1如图，在完全四边形ABCDEF中，若ABCD四点共圆于圆O，AC交BD于G，则过E，F，G三点中任意两点的直线，分别是另一点关于圆O的极线，且E，F，G，O构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心）。
例8.2如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，
MBBPCOADEFDFGCEAXKHBDCYAOPCBDEGFAOGBECDFABOKDNCC四点共圆．（2010年全国高中数学联赛）
例9.1.如图，△ABC内切圆I分别切BC、AB于D、F，AD、CF分别交I于G、H。求证：DF?GH?3(2010年东南数学奥林匹克)
FG?DHFIBDAG
例9.2如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若?BPA??DPA，证明：?AQB??CQB．（2011年全国高中数学联赛）
AB例9.3如图，设ABCD是一个圆的内接四边形，∠ADC是锐角，且BCDA
＝，过A，D两点的圆?于直线AB相切，E是圆?在四边形CDABCD内的弧上一点，求证：AE⊥EC的充要条件是
例10.1设P是△ABC内任一点，在形内作射线AL，BM，CN，使得∠CAL＝∠PAB，∠MBC＝∠PBA，∠NCA＝∠PCB，求证：AL、BM、CN三线共点。
?的中点，例10.2△ABC是一个非等腰三角形。N是其外接圆圆弧BAC
M是BC边中点，I1和I2分别是△ABM和△ACM的内心，求证：I1，I2，A，N四点共圆。（2011俄罗斯数学奥林匹克）
I1BDHCECAEED - ＝1 ABAD
ABANFBDNPLEMCAI2MC