2.3.3直线与平面垂直的性质
教学目的：
1对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；
2 掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；
教学重点：直线与平面垂直的性质定理 教学难点：判定定理和性质定理的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1直线和平面的位置关系
观察空间直线和平面可知它们的位置关系有： （1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a???A，
a//? aaa??A?
2线面平行的判定
定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：l??,m??,l//m?l//? ?lm3线面平行的性质
定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ?推理模式：l//?,l??,????m?l//m 4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 讲解新课：
1．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
已知：如图，a??,b?? 求证：a//b 证明：（反证法）假定b不平行于a，则b与a相交或异面；
（1）若a与b相交，设a?b?A， ∵a??,b??
∴过点A有两条直线与平面?垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a与b不相交；
（2）若a与b异面，设b???O，过O作b?//a， ∵a?? ∴b??? 又∵b??且b?b??O，
∴过点O有直线b?和b垂直于?与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
∴b与a不异面，综上假设不成立， ∴a//b．
2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 二、讲解范例：
例1 已知直线l?平面?，垂足为A，直线AP?l，求证：AP在平面?内 证明：设AP与l确定的平面为?，
?lAPM?如果AP不在?内，则可设????AM， ∵l??，∴l?AM，又∵AP?l， 于是在平面?内过点A有两条直线垂直于l，
这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， 所以AP一定在平面?内 例2 已知一条直线l和一个平面?平行，求证直线l上各点到平面?的距离相等 证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面?的
垂线AA?,BB?,垂足分别为A?,B? ∵AA???,BB??? ∴AA?//BB? 设经过直线AA?,BB?的平面为?，????A?B? ∵l//? ∴ l//A?B? ∴四边形AA?B?B为平行四边形 ∴AA??BB? 由A、B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到这个平面距离相等 例3．已知：a，b是两条异面直线，a??，b??，?∩?=l，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B 求证：AB∥l 证明方法一：（利用线面垂直的性质定理） 过A作b?∥b，则a，b?可确定一平面γ ∵AB是异面垂线的公垂线， 即AB?a，AB?b ∴AB? b? ∴AB?γ
∵a?α，b?β，?∩?=l ∴l?a，l?b ∴l?b? ∴l?γ ∴AB∥l 证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行） ∵AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩?=m ∵a?? ∴a?m
l 又a?AB，AB?γ
b g ∴m∥AB γ B m a n
α A β 又过AB作平面g，g∩β=n 同理：n∥AB
∴m∥n，于是有m∥β 又?∩?=l ∴m∥l ∴AB∥l
三、课堂练习： 1．选择题 （1）直线l与平面?内的两条直线都垂直，则直线l与平面?的位置关系是 （A）平行 （B）垂直 （C）在平面?内 （D）无法确定
（2）对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d 那么这样的直线b有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条 答案：（1）D；（2）D
2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直 分析：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直 3．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米（b>a），求它们上端间的距离 分析：如图所示，ABC为直角三角形
|AB|?(b?a)2?c2
4．平行四边形ABCD所在平面?外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求
P证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO
垂直于AB、AD 分析：由条件知，PO分别为等腰三角形PAC、PBD
D底边上的高，所以PO与AC、BD都垂直，从而
OPO与平面?垂直由于AB、AD都在?内，所以PO?A垂直于AB、AD
5．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC
CB于M，GC垂直于ABCD所在平面． （1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理； 第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题． 解：（1）连结BD交AC于O，
G∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC．
D
CBEMA∵AC∩GC＝C， F∴EF⊥平面GMC．
（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG
6．求证：空间四边形的四个内角不可能全是直角 证明：（用反证法）假设空间四边形ABCD的四个内角都是直角 AD?DEA,DD?CBC,DC?BC,DE?过D作DE//AB，则A C设DE,DC确定的平面为?，则AD??,BC??,
D∴AD//BC，∴AD,BC共面，此与ABCD是空间
B?E四边形 矛盾 ∴空间四边形的四个内角不可能全是直角 四、小结 ：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题 五、课后作业：
1．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
C'DEFBCA（1）点C′到平面ABED的距离； （2）C′到边AB的距离； （3）C′到AD的距离． 参考答案：
（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，
则C′H⊥AB，C?G?AD,可算得BE=42cm，HB=2cm， ∴C?到平面ABED的距离为C?F?22cm ⑵C?到平面AB的距离为C?H?23cm ⑶C?到平面AD的距离为C?G?26cm 2．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点． 求证：BE不可能垂直于平面SCD．
参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．
S∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾． ∴ BE不可能垂直于平面SCD EDBCA
（1）点C′到平面ABED的距离； （2）C′到边AB的距离； （3）C′到AD的距离． 参考答案：
（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，
则C′H⊥AB，C?G?AD,可算得BE=42cm，HB=2cm， ∴C?到平面ABED的距离为C?F?22cm ⑵C?到平面AB的距离为C?H?23cm ⑶C?到平面AD的距离为C?G?26cm 2．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点． 求证：BE不可能垂直于平面SCD．
参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，
∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．
S∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾． ∴ BE不可能垂直于平面SCD EDBCA