第一讲 生活中的轴对称
【知识重点】
第一、知识网络图示
第二、基本知识提炼整理 （一）基本概念 1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形. (二) 主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
1
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. (三)有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【经典例题】一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如图14－102所示. 求证：BC=
1AB. 2
证明：如图14－103所示. 作出△ABC关于AC对称的△AB′C. ∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°. ∴AB=BB′=AB′ 又∵AC⊥B′B， ∴B′C=BC=即BC=
11BB′=AB. 221AB. 21AB. 4例2 如图14－104所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=
1AB，∠B=60°. 21BC. 23
又∵CD⊥BA，
∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=
111·AB=AB. 2241即BD=AB.
4∴BD=
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图14－105所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.
（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.
解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α， ∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）. 在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α， 由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，
180?180?，∴∠A=. 77180?∴∠A的度数为.
7∴α=
例4 如图14－106所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.
4
解：∵AD=BD，AB=AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA. 设∠B=∠C=∠BAD=α，
则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α. 在△ABC中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α， ∴3α+α+α=180°，
∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°. ∴∠BAC的度数是108°. 三、作辅助线解决问题
例5 如图14－107所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.
证明：连接AE.
∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED. ∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.
5
∴∠C=45°.∴∠DEC=45°. ∴∠C=∠DEC=∠45°. ∴DE=DC，∴BE=DC.
例6 如图14－108所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M， ∴∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F. 又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EMB，∴EB=EM. 又∵BE=CF，∴EM=FC. 在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG（AAS）. ∴EG=FG.
例7 如图14-109所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形.
（分析）欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°即可. 证明：取AB的中点D，连接CD. ∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2. ∴∠BCD=∠BDC.
6
又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°. ∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA. 又∵∠BDC是△DCA的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°. ∴∠A=30°，
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°. ∴△ABC是直角三角形.
三、典型考题
【考题1】（2004、惶中，3分）图1－7－1是四幅美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：C 点拨：图1是轴对称图形，有4条对称轴，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；同样，图⑶、⑷也符合要求；而图⑵是轴对称图形，但不是中心对称图形．
【考题2】（2004、北碚，3分）图1－7－2中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
解：C 点拨：在解此题时，要认真理解轴对称图形和中心对称图形的概念． 【考题1－3】（2004、上海，3分）正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．
7
解：6 点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴． 【考题3】（2004、郸县，3分）某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区 A、B到主干线l的距离分别为AA1 =2千米，BB1 =1千米，且A1B1=4千米． （1）居民小区A、B在主干线L的两旁如图1―7―7⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最
短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图1―7―7⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最
短？此时分支点M与A1距离多少千米？
解： （1）连结AB，AB与l的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路最短，如图1-7―8，
=
10510 + =5，所以分支点M在线段A1B1上距A点 千米处，最短线段的333
长度为5千米；
（2）图1―7―9，作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点8
M，此处即为分支点，由图1―7―8可知，A1M的长度为 千米．
3
点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2.
【考题4】（2004、宁波，3分）仔细观察下列图案（图1－7－10），并按规律在横线上画出合适的图 形．
解： 点拨：此题是轴对称图形的具体应用，关键是认真分析所给图形的特征、发现
8
均是轴对称图形．
【方法点拔】一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 如图所示，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是( )
第2题 第1题
2.从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是几点？( ) A.3点25分 B.3点30分 C.3点35分 D.3点45分 3. 国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ） A.加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士 4. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个.
①角；②线段；③等腰三角形；④等边三角形；⑤三角形 . A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
5.如右图，在桌面上竖直放置两块镜面相对的平面镜，在两
镜之间放一个小皮球，那么在两镜中小皮球的像共有（ ）个. A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个
题
6.等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为（ ） A.100° B.40° C.100°或40° D.不能确定
7.如图，直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
9
A 1处 B 2处
C 3处 D 4处
l27题
l1l38、小亮运动衣上的实际号码是( )
A.901
B.109 C.601
D.106
第8题
9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.角 B.等边三角形 C.线段 D.不等边三角形
10. 如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（ ） 上折 右折 右下方折 沿虚线剪开
A D C B
二.填空题：(每小题4分，共24分)
11. 如图，∠A=200，∠C=400，∠ADB=800，则∠ABD=＿＿＿， ∠DBC=＿＿＿， A A E
D B C D B C
第11题 第12题
12. 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm， 则ΔABD的周长为 cm。
13.小明衣服上的号码在镜子中如图，则小明衣服上的实际号码为 . 14.我国传统的土木结构房屋中，窗子常用各种图案装饰，如图所示是一种常见的装饰图
· 方案,这个图案共有 条对称轴.
· · 14题
· ·
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名师堂丹秋精品教育中心九里堤分部 15.一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是 ， 则这辆汽车的牌照号码应为 .
16. 美丽的汉字中有些汉字可以看成是轴对称图形（如：日），请写出不少于2个这样的汉字 . 三、操作与解答题（共46分）
17. (6分)某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点
加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．
B · A · L
18.(8分) 下面两个轴对称图形分别只画出一半。请画出它的另一半。（直线L为对称轴）
19. (6分)用若干根火柴可以摆出一些优美的图案，下图是用火柴棒摆成L 的一个图案，此图案的含义是
L 天平（或公平），
请你用5根或5
根以上的火柴棒摆成一个轴对称图案，并说明你画出的图案的含义 . 图案：
含义：
20. (8分) 今天是2003年9月1日，小明拿起一盒牛奶刚要喝，妈妈说：“儿子，牛奶保质期过了，别喝了”，小明从镜子里看到保质期的数字是，牛奶真的过期了吗？为什么？
21.(8分) 如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm,△BCE的周长为15 cm,求BC的长.
总校地址：一环路西三段抚琴东巷3号 电话： 66009977网址：www.mstxx.com 九里堤分部地址：二环路北二段269号太阳门2楼 电话：87619616
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名师堂丹秋精品教育中心九里堤分部 22.（10分）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D， （1）∠PCD=∠PDC吗？ 为什么？
（2）OP是CD的垂直平分线吗？ 为什么？ A
C
P
O D
B
【课后思考】
已知等腰三角形的两边a，b，满足2a?3b?5+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长是多少？
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