平面向量中“三点共线定理”妙用
???????对平面内任意的两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是：存在唯一的实数?，使a??b
由该定理可以得到平面内三点共线定理：
三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得： OP?xOA?yOB且x?y?1。特别地有：当点P在线段AB上时，x?0,y?0 当点P在线段AB之外时，xy?0
笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点
共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若
，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（ ） OB?a?a1OA200OCA．100
B．101
C．200
D．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴S200?200(a1?a200)?100,故选A。
2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P是?ABC的边BC上的任一点，且满足AP?xAB?yAC,x.y?R，则 的最小值是
解：点P落在ABC的边BC上 ?B，P,C三点共线
14? xyAP?x?AB y?x?y?1 且x>0,y>0
141414yx4yx4 ???(??)?1?(?x)?y( ??)?1????4 5xyxyxyxyxyx>0,y>0?y4xy4xy4x?0,?0 由基本不等式可知：??2??4，取等号时xyxyxy 1
y4x??y2?4x2?y??2xxyx?0,y?0?y?2x12x?y?1?x?,y?，符合
33所以
14?的最小值为9 xy点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.
例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中，
AN?12NC，点P是BC上的一点，若AP?mAB?AC，则实数m的311图2 值为（ ） A．
解：B,P,N三点共线，又
?m?AP?mAB?228AC?mAB??4AN?mAB?AN 1111119532 B. C. D. 1111111183?1 ?m?，故选C 1111例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝ mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为 ．
解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：?AO?1(AB?AC) 2图3 AB＝mAM，AC?nAN
1(mAM?nAN) 2mn?AO?AM?AN
22?AO?又M,O,N三点共线，
mn?由平面内三点共线定理可得：??1 ?m?n?2
22例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线． 设OP?xOA，OQ?y OB，证明：
图4 11?是定值； xy 2
证明：因为G是OAB的重心，
211?OG??(OA?OB)?(OA?OB)
323OP?xOA?OA?1OP OQ?yOBx图5 ?OB?1OQ y1111?OG?(OA?OB)?(OP?OQ)33xy?OG?11OP?OQ 3x3y又P,G,Q三点共线，?
111111??1 ???3 ??为定值3 3x3yxyxy例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD中，AE?11AB,AF?AD,CE与BF相交于G34点，记AB?a，AD?b，则AG?_______
图6 21233142A．a?b B. a?b C. a?b D. a?b
77777777分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。 解：E,G,C三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得
?AG?xAE?(1?x)AC , AE?11AB?a,AC?a?b 3312x?AG?x?a?(1?x)(a?b)?(1?)a?(1?x)b???????①
33又F,G,B三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数?使得
?AG??AB?(1??)AF AF?11AD?b，， 441?AG??a?(1??)b??????????? ②
462x??
x???1?????7 ?AG?3a?1b 3由①②两式可得：???77?1???1?x???3??7?4?点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），
C
3
N A M P B
利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与
????CM相交于点P，且AB?a，AC?b，试用a、b表示AP 解：
N,P,B三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y图7 使得AP?xAB?yAN,x?y?1 ,
yy1?x11?b??① AN﹕AC=1﹕4, AN?AC?b?AP?xAB?AC?xa?b?xa?44444又C,P,M三点共线，?由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数?,?使得
?AP??AM??AC,????1 ∵AM﹕AB=1﹕3 ∴AM??AP?11?AB?a，， 33?3a??b?1??a??b??????????? ② 38 113?1???x?x?????311 由①②两式可得：????1?x?????2???11?4?AP?32a?b 1111x?y?1,?y?例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知AB＝ mAM，AD＝nAN，则m＋n=
图8 解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点 ?AO?1(AB?AD) AB＝ mAM，AD＝nAN 21mn?AO?(mAM?nAN)?AM?AN 又M,O,N三点共线，
222mn?由平面内三点共线的向量式定理可得：??1 ?m?n?2
22定理的推广：
推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P. 点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y
图9 使得：OP?xOA?yOB且x?y?1。
4
推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：且x?y?1。 OP?xOA?yOB图10 例7 已知点P为ABC所在平面内一点，且AP?1AB?tAC(t?R),若点P落在3ABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（ ）
3213A．(0,) B. (,) C. (0,1) D. (0,)
4324解：点P落在ABC的内部 ?A,P两点在直线BC的同一侧，
图11 12 ?由推论2知：?t?1 ?t?，所以选D
33例8（06年湖南高考题文科） 如图12：OM∥AB，点P由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且
OP?xOA?yOB，则实数对（x,y）可以是（ ）
13(,) A．44132217 B. (?,) C. (?,) D. (?,)
443355M O B A
图12 解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以x?y?1，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有x?y?1,
2但当x??时，
35①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：y?
3②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：OP||AB，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得OP?tAB?t(OB?OA)??tOA?tOB，
?t?22,y? 33OP?xOA?yOB??t?x,t?y
25?y?，故B选不符合。 331531对选项C同理可知：当x??时，?y?，故y?符合，所以选C
4444例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运
又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以
5