889、
2xy???dV，其中?为由平面z?0、x?y?z?0、x?y?z?0及x?1围成的区域 ?890、计算三重积分I?围成的区域 891、892、893、
???ycos(x?z)dxdydz，其中?为由平面y?x、z?0、y?0、x?z???2所
???e??|x|dV，其中?：x2?y2?z2?1
23xy???zdV，其中?是由马鞍面z?xy与平面y?x、x?1、z?0所包围的空间区域 22222?，其中是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的区域 (x?y)dV?????y2?2z894、计算I????(x?y)dV，其中?为平面曲线?，绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z?8?x?0?22所围成的区域 895、
22222?，其中是由球面与抛物面x?y?z?4x?y?3z所围成 zdV????896、计算
22222?z?a?x?y,x?0,y?0,z?0所围成的区域 2x?ydV，是????2222?x?y?z?R?897、计算???z2dxdydz，其中区域?是由?2所确定 222??x?y?(z?R)?R?898、将三重积分
22222?化为球面坐标系下的三次积分，其中：x?y?z?1，x?0，f(x?y)dV????y?0，则???f(x2?y2)dV=（ ）
?899、计算900、计算901、计算902、
????sinx2?y2?z2x2?y2?z2dV，??{(x,y,z)|x2?y2?z2?1,x?0,y?0,z?0}
22222?0?a?x?y?z?A,z?0所确定的空间闭区域 ，是由不等式(x?y)dV????222222?z?x?yz?R?x?y，其中是由锥面与球面所围的空间区域 xdV????222，??{(x,y,z)|x?y?z?1,x,y,z?0} xyzdV????x2?y2?z2903、
???xe?a2dV，??{(x,y,z)|x2?y2?z2?a2,x,y,z?0}
2904、计算
???(x??y2?z2)dV，其中?是x2?y2?z2?R2的球体
222[z?f(x?y)]dV，求????222905、设函数f(x)连续，?：0?z?h,x?y?t，F(t)?dF(t)、dtt?0lim?F(t) 2t
906、设f(x)连续，f(0)?a，函数F(t)?其中，?：0?z?222[z?f(x?y?z)]dV， ????t2?x2?y2，及z?x2?y2，求limt?0F(t) t3907、设f(u)具有连续导数，求lim1t?0?t4x2?y2?z2?t2???f(x2?y2?z2)dxdydz
908、由曲线y?lnx与两直线y?(e?1)?x及y?0所围成的平面图形的面积是（ ） 909、求闭曲线(x2?y2)3?a2(x4?y4)所围图形的面积（a?0）
910、求曲面z?x2?y2?1上点M0(1,?1,3)处的切平面与曲面z?x2?y2所围空间区域的体积 911、求球面x2?y2?z2?4a2和柱面x2?y2?2ax所包围的且在柱面内部的体积 912、求曲面x2?y2?az将球面x2?y2?z2?4az分成两部分的体积之比（a?0 ） 913、曲面x2?y2?z2?2z与x2?y2?z2所围成并包含点(0,0,1)的立体体积等于（ ） （1）1（2）?（3）
4?（4）2? 3914、计算由曲面(x2?y2?z2)2?a3z所围成的立体体积（其中常数a?0）
915、一半径为2的球体，其密度与点到球心的距离成正比，已知球面上各点的密度等于2，试求该球体的质量
916、设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k?0），求球体的重心位置
917、求面密度为常量?，半径为R的匀质圆形薄片，位于x2?y2?R2，z?0上，求该薄片对于z轴上点M0(0,0,a)(a?0)处单位质量的质点的引力
2(x2?y2)918、设有一高度为h(t)(t为时间）的雪锥在融化过程中，其侧面满足方程z?h(t)?（设长度
h(t)单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪锥全部融化需要多少时间？ 919、求limn???2n4??i2sini?1j?1nnj? 2n22920、设闭区域D:x?y?y,x?0。f(x,y)为D上的连续函数，且
f(x,y)?1?x2?y2?8???f(u,v)dudv，求f(x,y)
D
921、求
??(Dx2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的平面区域
22|x?y?1|d?，其中D??(x,y)|0?x?1,0?y?1? ??D922、计算二重积分
923、设D?(x,y)|x2?y2?算二重积分
?2,x?0,y?0，[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数，计
???xy[xD????2?y2?1]dxdy
924、设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设925、计算
?10f(x)dx?A，求?dx?f(x)f(y)dy
0x11??????min{x,y}e?(x2?y2)dxdy
926、设函数f(x,y)、g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)?0，试证：必存在点(?,?)?D，使得
??f(x,y)g(x,y)d??f(?,?)??g(x,y)d?
DD13201xf?927、设f(x)为[0,1]上的单调增加的连续函数，证明：
?xf0(x)dx??(x)dx?101f3(x)dxf(x)dx2
0928、假设f(x)在区间[0,1]上连续，证明：929、设F(t)??dx?dy?0x11yx11f(x)f(y)f(z)dz?(?f(t)dt)3
3!0?dx?dy?00txy0f(z)dz，其中f(z)连续，试把F(t)化成对z的定积分，并求F???(t)
???f(x930、设函数f(x)连续且恒大于零，F(t)??(t)D(t)2?y2?z2)dV2??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x?t?t2?y2)d?
2f(r)dx其中?(t)?(x,y,z)|x2?y2?z2?t2，D(t)?(x,y)|x2?y2?t2 （1）讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性，（2）证明当t?0时，F(t)?
第十一章 无穷级数
1028、判断级数
????2?G(t)
111??????是否收敛，若收敛，求其和。 1?22?3n(n?1)111??????是否收敛？ 1?66?11(5n?4)(5n?1)1029、用定义判断
1030、讨论级数1?111??????的敛散性。若收敛，求其和 1?21?2?31?2???n1031、级数
?(n?1?n?2?2n?1?n)???
1032、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性：sin??sin2?n????sin?? 66?1033、用定义验证级数
?1n?1n(n?1)(n?2)是否收敛 ?1034、用定义验证级数
?ln(1?1n2)是否收敛 n?2?1035、设级数
?un收敛，则必收敛的级数为（ ）
n?1?（1）?(?1)nun?（2）n?1n?u2??n（3）?(u2n?1?u2n)（4）?(un?un?1)
n?1n?1n?1?1036、若级数?u的部分和序列为s2n?nn?n?1n?1，则un???，?un=（ n?1??(ln3)n1037、级数的和为（ n?02n） 1038、求下列级数的和：12?13?111122?32???2n?3n?? 1039、判断级数的敛散性：1?13?12?19???112n?1?3n??
1040、若级数
??(an?bn)收敛，则（ ）
n?1???（1）
?an、
bn均收敛（2）
n?1?n?1?an、
n?1??bn中至少有一个收敛
n?1???（3）
?an、
n不一定收敛（4）
n?bn|收敛
n?1?bn?1?|an?1?1041、若级数
?(u2n?1?u2n)收敛，则（ ）
n?1??（1）
?un必收敛（2）
n未必收敛（3）limn?1??un?1n??un?0（4）
?un发散n?1
6
）
1042、若
?un?1?n收敛，试证
?vn?1?n与
?(un?1?n?vn)同时收敛或同时发散
1043、若两个级数（1）一个收敛，一个发散（2）两个都发散，问和如何？ 1044、若级数
?an?1?n收敛，则级数（ ）
（1）
?|an|收敛（2）?(?1)an收敛（3）?anan?1收敛（4）?nn?1n?1n?1???an?an?1收敛 2n?1?1045、已知级数
?(?1)n?1?n?1an?2，?a2n?1?5，则级数?an???
n?1n?1??1046、判断级数
1111??3???n??的敛散性 22221047、判断级数
?n?1?1nnn的敛散性
1n1048、判断级数
??n?1n?1(n?)nn?的敛散性
1049、设un?0，且
??un收敛，试判断?n?11的敛散性 n?1un?1050、判断级数
?n?1?n?1的敛散性 nn21051、判断级数?的敛散性
1n?1(1?)nn(?1)n?11052、利用柯西准则判断级数?的收敛性
nn?1?1053、用比较审敛法考察下列级数的敛散性：
????2?(?1)n1?n2111（1）?sinn（2）?（3）（4）（5）（6）(a?0,b?o) ????n3n24nn?1na?bn?1n?1nnn?1n?1n?11?n???1054、用比较审敛法判断下列级数的敛散性 （1）
?(an?1?1n2?lnn1（4） (a?0)?1)(a?1)（2）?2?sinn（3）??4n31?an?1n?1n?1n3?n??
第七章 向量代数与空间解析几何
697、求旋转抛物面z?x2?y2与平面y?z?1的交线在xOy面上的投影方程
698、设一向量与三个坐标平面的夹角分别是?,?,?，试证：cos2??cos2??cos2??2
?x?5y?z?0?699、求经过直线?且与平面x?4y?8z?12?0交成角的平面方程
4?x?z?4?0700、已知两条直线的方程是L1:面方程是（ ）
701、点P(2,?1,?1)关于平面?的对称点为P)，求?的方程 1(?2,3,11x?1y?2z?3x?2y?1z????则过L1且平行于L2的平，L2:10?1211?x?2t?1?702、通过直线L1:?y?3t?2和L2?z?2t?3?703、设两直线L1:??x?2t?3?:?y?3t?1的平面方程是（ ） ?z?2t?1??x?3y?z?0xy?1z?2?，L2:?，（1）证明：L1和L2是异面直线（2）
134?2x?4y?z?1?0求L1和L2之间的距离（3）求过L1且平行于L2的平面方程 704、求直线L:??2x?y?z?1?0在平面?:x?2y?z?0上的投影直线方程
?x?y?z?1?0?x?y?z?1?0705、设直线L:?及平面?:x?y?z?0（1）求直线L在平面?上的投影直线L0方程
x?y?z?1?0?（2）求直线L0绕z轴旋转一周所成的曲面方程
706、求到点(a,0,0)与平面x??a距离相等的点的轨迹所满足的方程
1111??? a2b2c2P2yzzxxyxyz?的柱面 708、证明：f(?,?,?)?0（其中l,m,n不为0）表示母线平行于?mnnllmlmn707、设a,b,c为一平面在坐标轴上的截距，P为原点与该平面之间的距离，证明：
第八章 多元函数微分法及其应用
709、求函数z?arcsin(2x)?710、设z?4x?y2ln(1?x?y)22的定义域
y?f(x?1)，且当y?1时z?x，则f(y)?（ ）
（1）
y?1（2）y（3）y?2（4）y(y?2)
xxy，求f(xy,) 2yx?y711、f(x,y)?yex712、设f(x?y,lnx)?(1?)y，求f(x,y) xxelnxx2y2713、证明：lim?0
(x,y)?(0,0)x2?y2714、极限limxy是否存在？
x?0x2?y2y?0x3y715、极限lim6是否存在？
x?0x?y2y?0716、计算极限717、求
sinxy
(x,y)?(0,0)xlim(x,y)?(0,0)limxyxy?4?2
718、设f(x,y)?yy，x?0,y?0求 ?1?xyarctanxx?01?ysin?xg(x) （1）g(x)?limf(x,y)；（2）lim?y???1?22xsin?y?x2?y2?,(x,y)?(0,0)在点(0,0)的连续性 719、讨论f(x,y)??22x?y???0,(x,y)?(0,0)222222??(x?y)ln(x?y),x?y?0720、讨论f(x,y)??，在点(0,0)的连续性 22??0,x?y?0721、求函数f(x,y)?x?y?722、求下列函数的偏导数
x2?y2在(3,4)处的偏导数
xzxey（1）z?lnsin(x?2y)（2）z?2（3）u?()
yy723、设z?(xy?1)，则
x?z??? ?x724、设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处存在对x,y的偏导数，则fx?(x0,y0)???
（1）lim?x?0f(x0,y0)?f(x0??x,y0)f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)，（2）lim
?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)（4）lim
x?x0?xx?x0arctanyx（3）lim?x?0725、设f(x,y)?e?ln(x2?y2)，求fx?(1,0)
53726、设f(x,y)?3x?y，求fx?(0,0)
xy?,(x,y)?(0,0)?22727、设f(x,y)??x?y求偏导数fx?(x,y)、fy?(x,y)
?0,(x,y)?(0,0)??xy,(x,y)?(0,0)?728、二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处（ ）
?0,(x,y)?(0,0)?（1）连续、偏导数存在（2）连续、偏导数不存在（3）不连续、偏导数存在（4）不连续、偏导数不存在 729、二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的（ ）
（1）充分而非必要条件（2）必要而非充分条件（3）充分必要条件（4）既非充分条件又非必要条件 730、函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，是f(x,y)在该点处（ ） （1）连续的充分条件（2）连续的必要条件（3）可微的必要条件（4）可微的充分条件
??z?1?x2?y2731、求曲线?在点(1,1,3)处的切线与y轴的倾角
??x?1yx?2f2732、已知f(x,y)?xarctan?yarctan，求
xy?x?y21x?2u733、设u?esin，则在点(2,)处的值为（ ）
?y?x?y?x2?2z2?z734、验证函数z?sin(x?ay)满足波动方程2?a 2?y?x735、设f(x,y)??xy0x?2f?2fy?2fedt，求?2?2??2
y?x?x?yx?y?t2222???(2,0,1) ??(0,0,1)、fxz??(1,0,2)、fyz??(0,?1,0)及fzzx736、设f(x,y,z)?xy?yz?zx，求fxx?2r?2r?2r2737、证明r?x?y?z满足2?2?2?
r?x?y?z222
?x2?y2,(x,y)?0?xy?22??(0,0)?fyx??(0,0) f(x,y)?738、设，证明：fxyx?y??0,(x,y)?0?739、设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz740、设z?(x?y)e741、设u?arcsin22?arctanyx(1,0)???
，求dz
z，则du??? x?yx2?y2，v?arctanv742、已知z?u，u?lny，求dz x(1,2)743、设函数f(u)可微，且f?(0)?1，则z?f(4x2?y2)在点（1，2）处的全微分dz2???
744、设z?f(x,y)是由方程z?y?x?xez?y?x?0所确定的二元函数，求dz 745、由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=（ ）
746、考虑二元函数f(x,y)的下面四条性质：
（1）f(x,y)在点(x0,y0)处连续（2）f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续 （3）f(x,y)在点(x0,y0)处可微（4）f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在 若用\P?Q\表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）
（1）(2)?(3)?(1) （2）(3)?(2)?(1)（3）(3)?(4)?(1)（4）(3)?(1)?(4)
xy?,x2?y2?0?22747、设f(x,y)??x?y，讨论f(x,y)在点(0,0)是否可微？
?22?0,x?y?01?2222(x?y)sin,x?y?0?22x?y748、讨论函数f(x,y)??在坐标原点处（1）是否连续（2）偏导数
?22?0,x?y?0是否存在（3）是否可微（4）偏导数是否连续 749、设z?e?x?f(x?2y)，且当y?0时，z?x2，则
yx?z??? ?x750、设z?xyf()，f(u)可导，则xzx?yzy???
1?2z751、设z?f(xy)?y?(x?y)，f,?具有二阶连续导数，则???
x?x?y
22yx2?g2?g752、设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x ?yxy?x2?y2753、设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?必有（ ）
?x?yx?y?(t)dt，其中函数?具有二阶导数，?具有一阶导数，则
?2u?2u?2u?2u?2u?2u?2u?2u（1）2??2（2）2?（3）（4） ???x?y?x2?x?y?y2?x?y2?x?y754、设函数z??x2?y20?2z tf(x?y?t)dt，其中函数f有连续的导数，求
?x?y222u755、设z?uv，x?ecosv，y?eusinv，求
?z?z, ?x?y756、设函数z?f(?zsinxy,)，其中f是可微函数，则???
?xylnx757、设z?f(xy,)?g()，其中f、g均可微，则
xyyx?z??? ?x758、利用变量替换u?x,v?y?z?z，一定可以把方程x?y?z化为新方程（ ） x?x?y（1）u?z?z?z?z?z（2）v?z（3）u?z（4）v?z ?u?v?v?u759、设f(x,y,z)是k次齐次函数，即f(tx,ty,tz)?tkf(x,y,z)，? 为某一常数，则结论正确的是（） （1）x?f?f?f?f?f?f?y?z?k?f(x,y,z)（2）x?y?z??kf(x,y,z) ?x?y?z?x?y?z?f?f?f?f?f?f?y?z?kf(x,y,z)（4）x?y?z?f(x,y,z) ?x?y?z?x?y?z22xy（3）x?z?z?2z760、设z?f(x?y,e)，其中f具有二阶连续偏导数，求 ,,?x?y?x?yy?z?2z?2z761、设z?xf(xy,)，f具有二阶连续偏导数，求 ,2,x?y?y?x?y312?2f?2f2g(x,y)?f[xy,(x?y)]，求 ??1762、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又222?u?v?2g?2g?2 2?x?y
xy?2z763、设z?f(xy,)?g()，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求
yx?x?y?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?0，求常数a 764、设变换?可把方程62??2?0化简为
?u?v?x?y?y?x?v?x?ay?2u765、设函数u?f(x,xy,xyz)具有连续的二阶偏导数，则???
?x?y766、设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
（1）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
（2）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) （3）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) （4）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和x?x(y,z) 767、设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定，则3?z?z???? ?x?y768、设z?z(x,y)是由方程
xz?z?ln所确定的函数，则??? zy?y?z?z, ?x?y769、设xcosy?ycosz?zcosx?1，求
770、设函数u?f(x,y,z)有连续偏导数，且z?z(x,y)由方程xex?yey?zez所确定，求du 771、设函数z(x,y)由方程F(x?zz?z?z,y?)?0给出，F,z都是可微函数，?y?z?xy 则有等式xyx?x?yz772、设u?f(x,y,z)有连续偏导数，y?y(x)和z?z(x)分别由方程exy?y?0和e?xz?0所确定，求
du dx773、设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下列两式确定：
e?xy?2和e??xyxx?z0sintdudt，求 tdx774、设y?y(x)，z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
dz dx
?x?t?2775、在曲线?y??t的所有切线中，与平面x?2y?z??4平行的切线（ ）
?z?t3?（1）只有一条（2）只有两条（3）至少有三条（4）不存在
?x?t?2776、曲线?y?t上点M处的切线平行于平面x?2y?z?4，则点M的坐标可以是（ ）
?z?t3?（1）(1,1,1)（2）(?,,?11391111)（3）(,,)（4）(?3,9,?27) 273927222??x?y?z?6777、求?在(?1,1,2)处的切线方程 22??z?x?yx2?y2平行于平面2x?2y?z?0的切平面方程 778、求曲面z?2779、试证：锥面z?x2?y2?3的所有切平面都通过锥面的顶点
780、曲面z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的且平面方程是（ ）
?3x2?2y2?12781、由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量
?z?0为（ ）
782、曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,2)的法线方程为（ ） 783、试证曲面
x?y?z?a(a?0)在任一点(x0,y0,z0)处（其中x0?0,y0?0,z0?0）的切
平面，在三个坐标轴上的截距之和为常数
x2y2z2784、在椭球面2?2?2?1上哪一点处的切平面在坐标轴上的三个截距相等？
abc785、设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且fx?(0,0)?3，fy?(0,0)?1，则 （1）dz(0,0)?3dx?dy（2）曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为?3,1,1?
（3）曲线??z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的切向量为?1,0,3?
?y?0?z?f(x,y)（4）曲线?在点(0,0,f(0,0))的切向量为?3,0,1?
y?0?786、试证曲面z?xf()上任一点处的切平面都过原点（其中f具有一阶连续导数）
yx
787、证明曲面f(x?az,y?bz)?0上任一点处的切平面均与直线
xy??z平行 ab788、曲面3x2?y2?z2?12上点M(?1,0,3)处的切平面与平面z?0的夹角（ ） （1）
????（2）（3）（4） 6432789、求球面x2?y2?z2?14与椭球面3x2?y2?z2?16在点P(?1,?2,3)处的交角（即交点处两个切平面的夹角） 790、函数u?ln(x?y2?z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,?2,2)点方向的方向导数为（ ）
226x2?8y2791、设n是曲面2x?3y?z?6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则u?在P点处沿nz2方向的方向导数为（ ）
?ux2y2z21??(1,1,1)，则792、设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n??n612183793、数量场u?xy?yz?zx在点P(1,2,3)处沿其向径方向的方向导数
(1,2,3)???
?u?rp???
794、函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM???
795、问函数u?xy2z在点P(1,?1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求出此方向导数的最大值 796、求函数u?x2?y2?z2在点M1(1,0,1)、M2(0,1,0)的梯度之间的夹角 797、设数量场u?ln798、设r?x2?y2?z2，则div(gradu)???
x2?y2?z2，则div(gradr)(1,?2,2)???
799、设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是（ ） （1）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零（2）f(x0,y)在y?y0处的导数等于零 （3）f(x0,y)在y?y0处的导数小于零（4）f(x0,y)在y?y0处的导数不存在 800、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0y?0f(x,y)?xy?1，则（ ） 222(x?y)（1）点(0,0)不是f(x,y)的极值点（2）点(0,0)是f(x,y)的极大值点
（3）点(0,0)是f(x,y)的极小值点（4）根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
2x2801、设z?e(x?y?2y)，则点(,?1)是该函数的（ ）
12（1）驻点，但不是极值点（2）驻点且是极小值点（3）驻点且是极大值点（4）驻点，偏导数不存在的点
802、函数z?xy(1?x?y)的极值点是（ ） （1）(0,0)（2）(0,1)（3）(1,0)（4）(,) 803、求函数z?3axy?x3?y3(a?0)的极值
804、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3??x??y)x和(4??x?2?y)y(????0)，求使产鱼总量最大的放养数
805、设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和极值 806、设z?z(x,y)是由x2?y2?z2?2x?4y?6z?11?0确定的函数，求该函数的极值
1133?(x,y)均为可微函数，807、设f(x,y)、且??已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0y(x,y)?0，
下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）
（1）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0（2）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0 （3）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0（4）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0
808、求二元函数z?f(x,y)?x2y(4?x?y)在由直线x?y?6、x轴和y轴所围成闭区域D上的极值、最大值与最小值
809、求表面面积为a的最大长方体的体积
810、设x,y,z为实数，且满足关系式ex?y2?|z|?3，试证：exy2|z|?1
2??y22?1?上的最大值和最小值 811、求f(x,y)?x?y?2在椭圆域D??(x,y)x?4??22812、已知函数z?f(x,y)的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1)?2，求f(x,y)在椭圆域
??y22D??(x,y)x??1?上的最大值和最小值
4??813、在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短 814、求抛物线y?x和直线x?y?2?0之间的最短距离
2x2y2z2815、在已给的椭球面2?2?2?1内一切的内接长方体（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最
abc大者
1?x?y)的三阶麦克劳林公式 816、求函数f(x,y)?ln(
817、求函数f(x,y)?exln(1?y)的三阶麦克劳林公式
818、求函数f(x,y)?2x2?xy?y2?6x?3y?5在点(1,?2)的泰勒公式 819、求函数f(x,y)?sinxsiny在点(??,)的二阶泰勒公式，并写出余项R2 44?2f820、设函数z?f(x,y)，有?2，且f(x,0)?1，fy?(x,0)?x，则f(x,y)???
?y2（1）1?xy?y2（2）1?xy?y2（3）1?x2y?y2（4）1?x2y?y2
2yey821、设z(x,y)?(1?y)f(y?2x)，且已知f?(y)?，，则f(0)?1z(1,y)dy??? ?20(1?y)2（1）-1（2）-2（3）1（4）2
822、设函数z?f(x,y)在点（1，1）处可微，且f(1,1)?1，
?f?x(1,1)?2，
?f?y(1,1)?3，
?(x)?f(x,f(x,x))，求
d3?(x)dxx?1
?2u?2u?u?u823、已知函数u?u(x,y)满足方程??a(?)?0（1）试选择参数?,?，利用变换
?x?y?x2?y2u(x,y)?v(x,y)e?x??y将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项（2）再令??x?y,??x?y使
新方程变换形式。
?2f??? 824、函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)?0，则
?u?v825、设函数z?f(u)，方程u??(u)?连续，且??(u)?1，求p(y)?xy??(u)其中f(u),?(u)可微；p(t)，p(t)dt确定u是x,y的函数，
?z?z?p(x) ?x?y?0确定的隐函数，则826、设函数f(x,y,z)?exyz2，其中z?z(x,y)是由x?y?z?xyzfx?(0,1,?1)???
xyz827、设函数u?f(x,y,z)有连续偏导数，且z?z(x,y)由方程xe?ye?ze所确定，求du
d2z828、设x?y?z?e，xe?tant，y?cost，求2dtzxt?0
2y829、设u?f(x,y,z)，?(x,e,z)?0，y?sinx，其中f,?都具有一阶连续偏导数，且
???0，?z
求
du dxx?2z?2z830、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z?f(esiny)满足方程2?2?e2xz，求f(u)
?x?y?2z?2z831、设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f(x?y)满足等式2?2?0
?x?y22（1）验证f??(u)?832、设直线L:?的值
f?(u)?0（2）若f(1)?0，f?(1)?1，求函数f(u)的表达式。 u?x?y?b?0在平面?上，而平面?鱼曲面z?x2?y2相切于点（1，-2，5），求a,b?x?ay?z?3?0?x?y?z?0833、作一平面与直线L:?垂直，且与球面x2?y2?z2?4相切
?2x?y?3z?2?0834、设函数z?f(x,y)?x3?mx2?2pay?ny2?2n?1(px?ny)(n?0)，试证：当mn?p2时，函数
z?f(x,y)有且只有一个极值；又若m?0时，这个极值必为极大值
835、设在部分球面x2?y2?z2?5R2,x?0,y?0,z?0上函数f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz有极大值，试求此极大值，并利用上述结果证明对任意正数a,b,c总满足abc?27(3a?b?c5) 5836、在第一卦限内作球面x2?y2?z2?1的切平面，使得切平面与三个坐标面所围的四面体的体积最小，求切点坐标
837、设曲线?的方程为?(x,y)?0，其中?(x,y)具有一阶连续偏导数，点P为?外一点，PQ为点P到曲线?的最短距离（Q点在?上），试证明：PQ必位于曲线?在点Q处的法线上
838、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为
D?(x,y)x2?y2?xy?75，小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy
（1）设M(x0,y0)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式；（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线x?y?xy?75上找出使（1）中的g(x,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
22??
第九章 重积分
839、设I1?2222222cosx?yd?， ，I?cos(x?y)d?I?cos(x?y)d?，其中22??????DDDD?(x,y)x2?y2?1，则（ ）
（1）I3?I2?I1（2 I1?I2?I3（3）I2?I1?I3（4）I3?I1?I2 840、设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy?则f(x,y)=（ ） （1）xy（2）2xy（3）xy?841、计算lim????Df(u,v)dudv，其中D是由y?0，y?x2，x?1所围区域，
1（4）xy?1 81r?0?r2xe??D2?y2cos(x?y)dxdy，其中D为x2?y2?r2
842、设f(x,y)是连续函数，则（1）
?a0dx?f(x,y)dy???
0x?dy?0ay0f(x,y)dx（2）?dy?f(x,y)dx（3）?dy?f(x,y)dx（4）?dy?f(x,y)dx
0y0a00aaayaa843、将二重积分
??f(x,y)dxdy??dx?D1elnx0f(x,y)dy化为先对x，后对y的二次积分，则
??f(x,y)dxdy???
D844、交换积分次序
?140dy?yyf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx???
121412y845、交换二次积分的积分次序
?0?1dy?1?y2f(x,y)dx???
ty846、设f(x)为连续函数，F(t)??t1dy?f(x)dx，则F?(2)???
（1）2f(2)（2）f(2)（3）?f(2)（4）0 847、计算848、计算
??xyd?，其中D是由直线y?1、x?2、y?x所围成的区域
D??xyd?，其中D是由曲线yD2?x与直线y?x?2所围成的区域
849、设区域D由y轴与曲线x?cosy（其中?850、计算二重积分
?2?y??2）所围成，则二重积分
223xsinydxdy??? ??D222D，其中是由双曲线x?y?1及直线y?0、y?1所围成的平面区域 xydxdy??D
x2x851、设平面区域D由曲线y?与直线y?x所围成，求??2dxdy 22x?yD852、计算二重积分
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x、y?1、x?0所围成的平面区域
853、设D是以点O(0,0)、A(1,2)和B(2,1)为顶点的三角形区域，求854、计算
2|y?x|dxdy，其中D：0?x?1,0?y?1 ??D??xdxdy
D?x2y,1?x?2,0?y?x22855、设f(x,y)??，求??f(x,y)dxdy,其中D?(x,y)x?y?2x
?0,其他D???a,0?x?1856、设a?0,f(x)?g(x)??，而D表示全平面，则I????f(x)g(y?x)dxdy???
?0,其他D857、计算二重积分858、积分
max?xe??D2,y2?dxdy，其中D??(x,y)0?x?1,0?y?1?
?dx?e0x22?y2dy???
859、计算
siny2D，其中是由抛物线d?y?x与直线y?x所围成的区域 ??yD860、计算
?dy?1214y12edx??1dy?edx
2yyx1yyx861、计算机二重积分
??021dx?sinxx?x2ydy??dx?sin2x42?x2ydy
862、累次积分（1）
?20d??cos?f(rcos?,rsin?)rdr可以写成（ ）
11?y2001?dy?01y?y20f(x,y)dx（2）?dy??f(x,y)dx（3）?dx?f(x,y)dy（4）?dx?00111x?x200f(x,y)dy
863、设f(x,y)是连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr=（ ）
0（1）
?0220dx?1?x2xf(x,y)dy（2）
?220dx?1?x20f(x,y)dy（3）
?220dy?1?y2yf(x,y)dx（4）
?220dy?1?y2f(x,y)dx
22864、设函数f(u)连续，区域D?(x,y)x?y?2y，则
?2???f(xy)dxdy???
D（1）（4）
?1?1dx?1?x22?1?xf(xy)dy（2）2?dy?02y?y20f(xy)dx（3）?d??0?2sin?0f(r2sin?cos?)dr
??0d??2sin?0f(r2sin?cos?)rdr
865、计算：
??D1?x2?y2d?，其中：D:x2?y2?1 221?x?y866、计算积分
??Dx2?y2dxdy，其中D由y?x、x?a、y?0围成
22867、设D?(x,y)x?y?x，求
????Dxdxdy
x2y2868、设区域D:x?y?R，则??(2?2)dxdy???
bDa222869、计算二重积分
22D?(x,y)x?y?x?y?1 ，其中(x?y)dxdy????D22870、设区域D?(x,y)x?y?1,x?0，计算二重积分
??1?xydxdy 22??D1?x?y871、计算二重积分成的区域。 872、计算积分
??Dx2?y24a2?x2?y2d?，其中D是由曲线y??a?a2?x2(a?0)和直线y??x围
??Dx2?y2dxdy，其中D?(x,y)0?y?x,x2?y2?2x
?(xe??D2?873、计算二重积分I?874、计算二重积分的平面区域
?y2??)sin(x2?y2?)dxdy，其中积分区域D??(x,y)x2?y2??
?2Dx??2y?yx??2y?0y?2，其中是由直线、、以及曲线所围成ydxdy??D875、设D是xOy平面上以点(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一卦限的部分，则
??(xy?cosxsiny)dxdy???
D（1）2??cosxsinydxdy（2）2??xydxdyD1D1（3）4??(xy?cosxsiny)dxdy（4）0
D1876、下列四个等式中不成立的是（） （1）
2222221?x?ydxdy?41?x?ydxdy （2）xln(x?y)d??0??????DDD1（3）
??|xy|dxdy?4??xydxdy（4）??xydxdyDD1D?4??xydxdy
D1其中D:x?y?1，D1:x?y?1,x?0,y?0 877、计算函数
878、求二重积分
322D，其中是由、y?1、x??1围成的区域，f是D上的连续y?xx[1?yf(x?y)]d???2222D??y[1?xeDx2?y22]dxdy的值，其中D是由y?x、y??1、x?1围成的区域
22879、设区域D?(x,y)x?y?4,x?0,y?0，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则
????Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d????
（1）ab?（2）
aba?b?（3）(a?b)?（4）? 22222880、设g(x)?0为已知连续函数，在圆域D?(x,y)x?y?a(a?0)上计算二重积分
??I???D?g(x)??g(y)g(x)?g(y)dxdy，其中?,?为正常数
881、设有闭区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0；?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0，则（） （1）
???xdV?1?4???xdV（2）???ydV?4???ydV（3）???zdV?4???zdV（4）???xyzdV?4???xyzdV
?2?1?2?1?2?1?2882、有界闭区域?由平面x?y?z?1?0、x?y?z?2?0及三个坐标面围成，设
I1????[ln(x?y?z?3)]3dxdydz，I2????(x?y?z?3)2dxdydz，不计算I1,I2的具体值，利用三
??重积分的性质可知（ ）
（1）I1?I2（2）I1?I2（3）I1,I2的大小不具体计算不能进行比较（4）I1,I2的值计算不出来，故无法比较它们的大小。
883、设?是由曲面x2?y2?1,z?1,z?0所围成的闭区域，则（1）0（2）3?（3）?（4）3 884、设?为x?y?(z?1)?1，则885、设I?222z23[etan(xy)?3]dV??? ???3?2(x?xyz?3)dV??? ????????f(x2?y2?z2)dV，?是由|x|?a,|y|?a,|z|?a所围成的正方体，则I???
aaaaaa（1）
????f(3x2)dV（2）3???f(x2)dV（3）3?dx?dy?f(x2)dz（4）8?dx?dy?f(x2?y2?z2)dz
?00000022886、设?由z?x?y与z?1所围区域在第一卦限的部分，则
???f(x,y,z)dV???
?（1）
?dz?01z01dx?z?x201f(x,y,z)dy（2）?dx?011?x201dy?0x2?y201?x2f(x,y,z)dz
1?（3）887、
?20d??dr?2f(rcos?,rsin?,z)rdz（4）?dx?0r0dy?2x?y2f(x,y,z)dz
???(x?y?z)dV，其中?为由平面x?y?z?1与三个坐标面围成的区域
?888、
1dV，其中?为由平面x?y?z?1与三个坐标面围成的区域 3???(1?x?y?z)?
1055、设un?0，
?un收敛，证明当a?1时?n?1??n?1un也收敛 an?1056、若limnun?a?0，且un?0，证明级数
n???un?1n发散
1057、给定两个正项级数相同的敛散性？ （1）??0（2）???un及?vn，已知limn?1n?1??un??，问?为何值时，不能判断这两个正项级数有
n??vn1（3）??1（4）??2 21058、设级数
?an?1n?n与
?bn?1?n收敛，且an?cn?bn(n?1,2,?)，试证级数
?cn?1?n也收敛
1059、设
?an?1?为正项级数，下列结论中正确的是（ ）
??（1）若limnan?0，则级数
n???an?12n收敛（2）若存在非零常数?，使得limnan??，则级数
n???an?1n发散
（3）若级数
?an?1??n收敛，则limnan?0（4）若级数
n???an?1?n发散，则存在非零常数?，使得limnan??
n??1060、下述各项正确的是（ ） （1）若级数
?un?1nn2n和
?vn?1?2n都收敛，则
???(un?1?n?vn)2收敛
（2）若
?|uvn?1?2都收敛 |收敛，则?u和?vn2nn?1n?1（3）若正项级数
?un发散，则un?n?1n?1 n（4）若级数
?un?1??收敛，且un?vn(n?1,2,?)，则级数
??vn?1?n也收敛
1061、证明若
?un?1?n2收敛，反之不真，举例说明 (un?0)收敛，则?unn?1?1062、证明若
?u和?v收敛，则?|unvn|、?(un?vn)、?2n2n2n?1n?1n?1n?1??un都收敛 nn?1?1063、设a为常数，则级数
?[n?1?sin(na)1?]（ ） 2nn
（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）收敛性与a的取值有关。 1064、判断级数敛散性：
?1）?n2?2n??（n(n?1)!n?13n（2）?n?12n?1（3）?（4）n?1n!?n?1nn?1 ???1065、判断下列级数的敛散性：（1）?(2n?1)!!2n?n!(n!)2n?13n?n!（2）?n?1nn（3）?n)! n?1(2?1066、判断级数
?1111n!?1!?2!???n!??的敛散性，并估计部分和sn代替s产生的误差
n?1?1067、证明
?1收敛 n?1nn?1068、判断级数的敛散性：
?(bna)，其中，an?a(n??)，an,b,a均为正数
n?1n?1069、判断级数的敛散性：
?1n?1(lnn)lnn 1070、级数
?(?1)n(1?cosan)（常数a?0） （1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）收敛性与a的取值有关。 ?1071、求证级数
?sinnx(s?1)绝对收敛 n?1ns??1072、判断级数
1n?n?1n2sin2的敛散性 ?1073、设常数??0，且级数
?a2?收敛，则级数?(?1)n|an|n（ ）
n?1n?1n2??（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛（4）收敛性与?有关 1074、设an?0(n?1,2,?)，且
??a???n收敛，常数??(0,),则级数n?12?(?1)n(ntan)n?1na2n（（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）敛散性与?有关 1075、设0?a1n?n(n?1,2,?)，则下列级数中肯定收敛的是（ ） ???（1）
??an（2）
n?1?(?1)naa2n（3）?an（4）?(?1)nn n?1n?1n?1?31076、判断级数
?(?1)n?1nn?13n是否收敛？如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？
）
1077、判断下列级数的敛散性：
?n?1?n!2nsinnnn?5
1078、若
1n绝对收敛，则a(1?)an也绝对收敛 ??nnn?1n?1ncosn? ?21?nn?1???1079、判断级数的敛散性：
1080、级数
?(?1)nn?2?lnn的敛散性为（ ） n?(?1)n1081、判断级数的敛散性：?
n?lnnn?21082、设un???n(n?1)??sinxdx，证明级数?un收敛 xn?1?1083、判断级数的敛散性：
?(?1)n?1n?11
ln(n?1)1084、判断级数
?(?1)n?1??nlnn?1的敛散性 n1085、判断级数
?(?1)nn?1?n?21的敛散性 ?n?1n11086、判断级数
?sin(n??lnn)的敛散性
n?2n1?1087、设un?(?1)ln(??1n)，则级数（ ）
??（1）
?un?1?n与
?un?12n都收敛（2）
??un?1?n与
?un?12n都发散
?（3）
?un?1n收敛、
?un?12n发散（4）
??un?1n发散
?un?12n收敛
1088、判断级数的敛散性：
?(?1)nn?11nn
21089、判断级数的敛散性：
?(?1)n?1?n?12n n!
?1090、若级数?(?1)n?a收敛，则a的取值范围是（ ）
n?1n??1091、若级数
?u2n收敛，则级数
n?1?un是（ ）
n?1（1）绝对收敛（2）条件收敛（3）发散（4）可能收敛，也可能发散
?1092、若级数?uvn?n收敛，且lim?1，则可否断定级数n?1n??u?vn收敛？
nn?1??1093、设已知两发散级数
?un及
各项不为负数，问下列级数收敛性如何？
n?1?vnn?1??（1）
?min{un,vn}（2）n?1?max{un,vn}
n?11094、设u?1,2,3?)，且limn??u?1，则级数n?(?1)n?1(1?1n?0(n)（ ）
n?n?1unun?1（1）发散（2）绝对收敛（3）条件收敛（4）收敛性根据所给条件不能确定 ??1095、设an?1n?0,n?1,2,3?，若级数
?an发散，
?1)an收敛，则下列结论正确的是（n?1?(n?1??
??
（1）
?a2n?1收敛，
）
n?1?a
2n
发散（2n?1
?a2n?1发散，
2n
收敛
n?1?a
n?1
??（3）
?(a2n?1?a2n)收敛（4）n?1?(a2n?1?a2n)收敛
n?1?1096、级数
?(lnx)n的收敛域是（ ）
n?1?1097、若
?ann(x?1)在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）
n?1（1）条件收敛（2）绝对收敛（3）发散（4）敛散性不变 ?1098、若
?an?nx在x?3处发散，则级数?a1nn(x?)在x??3处（ ） n?1n?12（1）条件收敛（2）绝对收敛（3）发散（4）敛散性不变
??xn1099、幂级数的收敛域为（ ）n?1n
1100、已知级数
??n2(?1)n?1xxn?1n?x?2?x33??求收敛半径及收敛域
）
?1101、幂级数
?n2n?13)的收敛半径R??n?12n?(?nx? ?1102、求?x2n?1?x2?x4???x2n??的收敛区间n?0(2n)!2!4!(2n)!
?1103、
?an(x?x0)n，求其收敛半径
n?0?1104、设级数
?an?n?1nx的收敛半径为3，则幂级数n(x?1)的收敛区间为（ ）
n?0?nan?1?1105、设有级数
?ax?1n()n，若lim|an1n?02|?，则该级数的收敛半径为（ ）
n??an?13?n?、若级数?aanxn1106nx的收敛域为(?8,8]，则n?1?的收敛半径为（ n?2n(n?1)）
??1107、设幂级数?axn?与?bn51a2nnnnx的收敛半径分别为和，则幂级数n?1n?133?b2x的收敛半径是n?1n（1）5（2）
53（3）113（4）5
??1xn1108、求幂级数n?13n?(?2)nn的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性 ?1109、设p为正数，试对p的不同值，讨论幂级数?xnn?1(n?1)p的收敛域 ?1110、求幂级数?xnn的收敛域，其中a,b均为大于零的常数 n?1a?bn?1111、求
?nxn?1的收敛域及和函数，并求级数
??n的和S n?1n?12n?1112、求幂级数
?1xn?1的收敛域，并求和函数 n?1n?2n??1113、求幂级数
1?1)xn的收敛域，并求和函数 n?1n(n?、求幂级数?xn?11141n?2n2?1的和函数，并求级数?(n2?1)2的和S n?2n
） （
1115、求幂级数
?(n?1??1?1)x2n在区间(?1,1)内的和函数 2n?11)x2n的收敛区间与和函数f(x)
n(2n?1)1116、求幂级数
?(?1)n?1(1?n?1x2n1117、求幂级数1??(?1)(|x|?1)的和函数f(x)及其极值
2nn?1?n(?1)n?1x2n?11118、求幂级数?的收敛域及和函数S(x)
n?1n(2n?1)?1119、利用逐项求导，逐项微分求下面级数在其收敛区间上的和函数：
2n?12n?2，|x|?2，并求x?n2n?1??2n?1 n2n?12n?22n?1的收敛域，并求其和函数 x?n!n?1??1120、求幂级数
1121、
1n?1n()??? ?2n?1??(?1)n(n2?n?1)1122、求级数? n2n?0?1123、设In??40sinxcosxdx,n?0,1,2,?，求?In
n?n?01124、将函数f(x)?ex展开成x的幂级数 1125、将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数 1126、将函数f(x)?11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数 41?x2?1?x2?(?1)narctanx,x?0?1127、设f(x)??x，试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数? 2n?11?4n?1,x?0?1128、将函数f(x)?xractanx?ln1?x2展开成x的幂级数
?1?2x(?1)n1129、将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和
1?2x2n?1n?0
1130、将函数f(x)??x0ln(1?x)dx展开成x的幂级数 x1131、试将f(x)?cosx展开成x的幂级数
?dex?1n()为x的幂级数，并求?1132、展开的和 dxxn?1(n?1)!1133、将f(x)?e?x展开成x的幂级数 1134、将f(x)?1135、将f(x)?2x展开成x?5的幂级数 2x?5x?61展开成x?2的幂级数
x(x?1)1展开成x?1的幂级数，并证明
x2?3x?21136、将f(x)???11111n?11（1）?(n?n)?（2）?(?1)(n?n)?
122233n?1n?121137、将f(x)?x展开成x的幂级数 22?x?x1138、将函数y?ln(1?x?2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间 1139、将函数f(x)?x展开成x的幂级数 21?x1140、将函数f(x)?sinx在点x0??4展开成幂级数
2x2(6)1141、设f(x)?，求f(0) 21?xa0?1142、设函数f(x)??x?x(???x??)的傅立叶级数展开式为??(ancosnx?bnsinnx)，则其
2n?12系数b3??? 1143、设x?3?an?0?ncosnx(???x??)，则a2???
1144、设f(x)是以2?为周期函数，且其傅立叶系数为an,bn，试求f(x?h)(h为实数）的傅立叶系数
????,bn???? an1145、设f(x)是可积函数，且在[??,?]上恒有f(x??)?f(x)，则a2n?1???,b2n?1???
?x??,???x?05?1146、设f(x)??为T?2?的周期函数，则其傅立叶级数在x?处收敛于（ ）
2x??,0?x???a0??x,???x?01147、已知f(x)??的傅立叶级数为??(ancosnx?bnsinnx)，其和函数为S(x)，
2n?1?1?x,0?x??则S(1)???,S(0)???,S(?)??? 1148、设f(x)?x,0?x?1，而S(x)?2?bnsinn?x，其中bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,?，则
n?1?101S(?)???
2??1,???x?01149、设f(x)??，则其以2?为周期的傅立叶级数在点x??收敛于（ ） 2?1?x,0?x??1150、设函数f(x)是以2?为周期的周期函数，且在闭区间[??,?]有f(x)??的傅立叶级数在点x??收敛于（ ） （1）1??（2）1??（3）1（4）0
?1?x,???x?0，则f(x)?1?x,0?x???0,???x?01151、将函数f(x)??展开成傅立叶级数
x,0?x???1152、将函数f(x)?|sinx|(???x??)展开成傅立叶级数 1153、将函数f(x)?cosx在区间[0,?]上展开成正弦级数 1154、将f(x)?x在区间(0,?)上展开成余弦级数，并求级数
21的和 ?2n?1(2n?1)?1155、把函数f(x)?（1）??4在[0,?]上展开成正弦级数，并由他推导出
111?11111??????（2）1???????? 35745711131731?x,0?x??a0??21156、设f(x)??，S(x)???ancosn?x,???x???，其中
2n?1?2?2x,1?x?1?2?15an?2?f(x)cosn?xdx(n?0,1,2?)，则S(?)???
021157、将函数f(x)???k,?2?x?0（常数k?0)展开成傅立叶级数
?0,0?x?2
1158、将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦级数
1159、将函数f(x)?2?|x|(?1?x?1)展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求级数
?nn?1?12的和
(?1)n1160、将函数y?x,x?[?1,1]，展开成以2周期的傅立叶级数，并由此求数项级数?的和 2n?1n2?1161、若级数
?an?1?n收敛，则（ ）
（1）
?(an?1??n?an?1)收敛（2）?a2n收敛（3）?anan?1收敛（4）?(?1)nan收敛
n?1n?1n?1???1162、设有以下命题： ①若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1?②若
?un?1n收敛，则
?un?1?n?1000收敛
?un?1③若lim?1，则?un发散
n??un?1n???④若
?(un?1n?vn)收敛，则?un、?vn都收敛
n?1n?1则以上命题中正确的是（ ） （1）①②（2）②③（3）③④（4）④① 1163、设pn??an?|an||a|?an，qn?n，n?1,2,3,?则下列命题正确的是（ ） 22（1）若
?an?1?n条件收敛，则
?pn?1??n与
?qn?1??n都收敛（2）若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n都收敛
（3）若
?an?1?n条件收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n的敛散性不定
（4）若
?an?1n绝对收敛，则
?pn?1n与
?qn?1n的敛散性不定
?1164、已知an??x012(1?x)dx，（n?1,2,3,?）证明：?an收敛，并求其和
nn?121165、设有两条抛物线y?nx?
112和y?(n?1)x?，记它们交点的横坐标的绝对值为an。 nn?1
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；（2）求级数
Sn的和 ?n?1an?21166、从点P1(1,0)作x轴的垂线，交抛物线y?x于点Q1(1,1)，再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于
P2，然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线y?x2于点Q2，依次重复上述过程得到一系列的点
P1,Q1,P2,Q2?Pn,Qn,?求
（1）求OP的长（2）求级数Q1P1?Q2P2???QnPn??的和 1167、判断级数
?arctann?1?1的敛散性，若此级数收敛，则求其和 22n?11?21168、已知?2?，求级数?的和 26(2n?1)nn?1n?1?(?1)n1169、判断级数?的敛散性 pn?1n?(?1)n1170、判断级数?(p?o)的敛散性，并说明是绝对收敛、条件收敛还是发散？ np[n?(?1)]n?1?5nn!1171、计算lim???
n??(2n)n1172、设a1?2，an?1??a11（1）liman存在，（2）?(n?1)发散 ?(an?)，n?1,2,3,?，证明：
n??2ann?1an?11173、设an?敛
1174、若级数
?40tann?an1xdx，（1）求?(an?an?2)的值（2）试证：对任意的常数??0，级数??收
nn?1n?an?1?n及
?bn?1?n都发散，则
???（1）
?(an?1?n22?bn)必发散（2）?anbn必发散（3）?(|an|?|bn|)必发散（4）?(an?bn)必发散
n?1n?1n?11175、设正项数列?an?单调减少，且
?(?1)an发散，试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛？并说明理由 an?1n1176、设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数，证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当a?1时，
级数
?xn?1?an收敛
1177、判断级数
1n?1(?ln)的敛散性，并证明：lim?n??nnn?1?1?11???2n?1 lnn1178、设偶函数f(x)的二阶导数f??(x)在x?0的某邻域内连续，且f(0)?1，f??(0)?2，试证明级数
1[f()?1]绝对收敛 ?nn?11179、设级数
??(un?1?n（1）存在正数M，使|un|?M，?un?1)收敛，而?vn是收敛的正项级数，证明：
n?1??n?1,2,3?（2）级数?unvn绝对收敛
n?11180、已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?x?n?1x?ee(n为正整数）且fn(1)?，求函数项级数?fn(x)之和
nn?1?1181、设In??40sinxcosxdx，n?1,2,3?，求?In
nn?0x3x6x3n1182、（1）验证函数?y(x)?1???????(???x???)满足微分方程
3!6!(3n)!x3n（2）利用（1）的结果求幂级数?的和函数 y???y??y?e：
(3n)!n?0x?1183、设f(x)是以2?为周期的连续函数，并且其傅立叶级数系数为a0,an,bn（n?1,2,3?） （1）试求G(x)?f(t)f(x?t)dt的傅立叶系数A,A,B（n?1,2,3?） ????1?0nn（2）利用上述结果证明：
1?????2?a022f(x)dx???(an?bn)
2n?12第十二章 微分方程
1184、求关于给定的原始式所满足的微分方程 （1）y?Ax?Bx?c，其中A,B,C为任意常数
2
（2）y?Acosax?Bsinax，其中A,B为任意常数，a为一固定常数 1185、求以y?C1ex?C2e?x?x为通解的微风方程，C1,C2为任意常数 1186、写出由下列确定的曲线所满足的微分方程
（1）曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方
（2）曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分 1187、指出下列各题中的函数是否为所给方程的解：
（1）y???y?0，y?3sinx?4cosx，（2）y???2y??y?0，y?x2ex
exdx?C)是否为方程xy??y?xex的通解 1188、判断y?x(?x1189、方程y????1的通解是（ ） 3x21111（1）lnC1x?C2（2）lnC1x?C2x（3）2x?lnC1x3?C2（4）lnC1x?2xC2
3331190、在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）x2?y2?C，yx?0（2）y?(C1?C2x)e2x，y?5，
x?0?0，y?x?0?1
1191、设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(?1,0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。 1192、已知曲线y?f(x)过点(0,?)，且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln( 1?x2)，则f(x)???。1193、微分方程y??12y(1?x)的通解是（ ） x1194、微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解是（ ） 1195、求方程(x?1)y??1?2e?y的通解 1196、若连续函数f(x)满足关系式f(x)?（1）eln2（2）ex2x?2x0tf()dt?ln2，则f(x)???。 2ln2（3）ex?ln2（4）e2x?ln2
21197、求微分方程y??xy??a(y?y?)的通解 1198、求secxtanydx?secytanxdy?0的通解 1199、求解微分方程：(ex?y22?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0
y?x??，且当?x?0时，?是?x的高阶无穷小，21?x1200、已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?
y(0)??，则y(1)??? （1）2?（2）?（3）e（4）?e4
1201、求下列初值问题的解：(1?x2)y??arctanx，y1202、求解微分方程的初值问题：
x?0?4??0
dy?(1?y2)tanx，y(0)?2 dx1203、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度vt?0?v0，已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问
t为多少时此质点的速度为
v0？并求到此时刻该质点所经过的路程 31204、在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术 的人进行的，设该人群的总数为N，在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)（将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k?0，求x(t)
1205、有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)（y?0），绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2米，根据设计要求，当以3m/min的速率向容器中注入液体时，液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体） （1）根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系 （2）求曲线方程x??(y)
1206、设曲线L的极坐标方程为r?r(?)，M(r,?)为L上任一点，M0(2,0)为L上一定点，若极径OM0、
32OM与曲线L所围的曲边扇形面积值等于L上M0、M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。
1207、求微分方程(3x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0的通解