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《等差数列前n项和公式》教案
一、教材分析
“等差数列的前n项和”是人民教育出版社（A版）普通高中标准实验教科书数学必修5第二章第三节的内容，是上一节“等差数列”的后继内容。
n(a1?a2)?公式一:S?n?2 1、主要教学内容：等差数列前n项和?n(n?1)?公式二:Sn?na1?d2??? ?推导及运用。
?? 2、教材的地位与作用：“等差数列前n项和”是学习极限、常微分的基础，与数学课程的其它内容如：函数、三角、不等式等有着密切的联系，因此本节课既是本章的重点也是教材的重点。对本节的研究，为以后学习数列提供了一种很重要的数学思想——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。数列是培养学生数学能力的良好题材，学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
二、学情分析
1、知识基础：高一的学生已经学习了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已经了解特殊的数列求和。
2、能力基础：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，相对于初中学生来说已经相对成熟，能在教师的引导下独立的解决问题。 3、习惯情况：班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好的应用数形结合解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
三、教学重难点
1、重点：等差数列前n项和公式的理解、推导、应用。 （依据：公式是解题的工具。）
2、难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
（依据：公式探究过程中蕴含着重要的数学思想方法，由于学生认识水平的限制，第一次接触到这些公式，往往意识不到其作用，即使教师给予揭示，学生也多半拿着公式而无用武之地，因此我把它作为这一节的难点。）
四、教学目标
1、知识与技能：利用从特殊到一般的认识过程，通过类比研究，得到并掌握等差数列
前n项和公式及推导过程，并能利用求和公式解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，渗透倒叙相加求和的数学方法，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法，提高学生的思维水平。
3、情感与价值：培养学生主动探究、思考、合作学习，加强团队协作，感受探索乐趣和成功的喜悦；养成实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；激发学生的学习兴趣创新意识，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。
五、教学教法
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1、教法：根据以上对教材和学生的分析，在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程。老师不仅是知识的传授者而且也是知识的引导者、组织者、合作者。所以我采用“问题情景——探究——发现”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识更重要的是掌握在今后的发展中用这种手段去获得更多的知识技能，这是“教师传给寻找水的方法，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方法。
2、学法：引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探索、交流。新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”。因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：观察、思考的机会；操作、尝试、合作的机会；表达、交流的机会；体验成功的机会。
六、教具准备
1、常规媒体（黑板）。 2、印度泰姬陵实图与钻石图案结构图，贴在黑板上让学生自己算一算一共多少颗宝石。结构图二：构造平行四边形。
七、教学程序
【基础知识回顾：
1．等差数列的定义
2．等差数列?an?的通项公式：an?a1?(n?1)d。 3．等差中项的性质】
1、发现型教学程序设计：
①创设问题，引导探究
问题一：1+2+3+ ? +100=？（5050）（高斯求和故事p42）
高斯首尾配对法：1+2+3+?100=（1+100）+（2+99）+?（50+51）=101*50=5050
引导：通过高斯首尾配对原理，得到启示：a1?a2?a3?引出课题：7.2.3等差数列的前n项和。（p42）
?an=?
?an叫做数列{an}一、等差数列前n项和：设有等差数列{an}，我们就把a1?a2?a3?的前n项和，记作Sn．即Sn?a1?a2?a3??an。
问题二：（将印度泰姬陵的图片贴在黑板上），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？（学生回答：即求S21?1?2?3??21。）怎么求呢？
引导探究：根据高斯首尾配对原理，引导学生通过观察得出倒序相加法。
【图片演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。】
【启发学生思考：原三角形红宝石图案：S21?1?2?3?3
?21??①，
后添的三角形蓝宝石图案：S21?21?20?19??1??②，
平行四边形图案所有宝石数：①+②=2S21?(1?21)?21， 所以，S21?(1?21)?21?231。】
2【老师强调：这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙，那么同学们想一想刚才Sn=1+??+100是不是也可以用倒序相加法呢？
如：S= 1 + 2 + 3+ ? 100 ①
S=100+ 99+ 98+ ?1 ②
（1?100）*50?5050） 然后把两式相加，这样就得到了正确的结果（】
2 ②产生猜想指导论证
猜想：上面我们求了S100,S21，在这两个问题中，我们利用倒序相加，最后，和都
可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。而这种反序相加的原理就是高斯算法：第k项与他倒数第k项的和等于第一项与最后一项的和。那么是不是每一个等差数列都符合这样的规律呢？
二．等差数列的前n项和公式：设有等差数列{an}：a1,a2,a3,,an,公差为d，前
n项和为Sn，那么Sn?a1?a2?a3??an它等于什么呢？
学生探究：现在让我们一个人都来当一次数学家，利用高斯求和的原理以及倒序相加的方法共同来研究等差数列前n项和公式，大家互相讨论。（每个组派一个代表说一下你的证法。）
（同学一：Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?高斯算法的启示，把Sn反序写成：
【以a1为首项】 ?[a1?(n?1)d]??①
Sn?an?(an?d)?(an?2d)??[an?(n?1)d]??②【以an为首项】
将两式分别相加，得：2Sn?n(a1?an)，
指导论证：由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn?(a1?an)n 2（说明：这里一共有4个量，已知3个量就可以求出第4个量。） 老师继续引导学生探究：（还有没有不同的做法）
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（同学二：Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)??[a1?(n?1)d]??①
Sn?[a1?(n?1)d]?[a1?(n?2)d]?[a1?(n?3)d]???a1??② 将两式相加，（过程）得：2Sn?2na1?n（n?1）d
n(n?1)d 【与之前不同的是都把a1作为首项相加】 最终得：Sn?na1?2（同学三：
Sn?a1?a2???anSn?an?an?1???a12Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?a1)等差中项推出：(a1?an)?(a2?an?1)??得：Sn?n(a1?an)2
）
【老师总结探究结果以及引导学生思考：以上用了三种方法来推导等差数列前n项和的公式，那么这三种方法的共同点是什么呢？（都是受高斯求和的启发，类比高斯算法再反序相加中通过适当的变型有的利用了通项公式，有的利用了一些等差数列的性质通过适当的变型，使得相加中等差数列中第k项与倒数第k项的和，最后都得到了等差数列前n项和公式，那么在这个推导过程中体现了转换的
(a?a)n数学思想，那么在这个Sn?1n中我们可以看到等差数列的首项，尾项还
2有项数n就可以求出前n项和，那如果我们只知道首项、项数和公差能求出前n项和吗？（能）能是吧，其实刚刚同学二已经给了我们启发，他得到
n(n?1)Sn?na1?d，那如果我们不用刚刚那个同学的方法，在公式一的基础上
2能不能推出这个公式呢（能），因为an?a1?(n?1)d，我们只需要将它带入第一个公式就可以得到。于是就得到两个公式：
(a?a)n Sn?1n??（公式一）
2n(n?1)d??（公示二） Sn?na1?2他们都能推出等差数列的前n项和，所不同的就是，公式一：已知a1、an、n， 公示二：已知a1、d、n。】
③运用结论，多方练习
1、基础反馈练习，巩固所学知识 例1．计算：1?3?5??(2n?1)? 。（n2）
例2：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的前n项和。
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(1)a1?5,an?101,n?10,Sn??（Sn?530）(2)a1?88,d??2,n?50,Sn??（Sn?1950）(3)a1?7,d?3,an?52,Sn??（n?16Sn?472）
【设计意图:巩固与熟悉等差数列前n项和公式及简单变形，使学生对公式形成较深的印象。通过此例题，也让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。】
2、引申变式探究，总结理解提升
1[引申]：例（3p44）：已知数列前n项和为Sn?n2?n，求这个数列的通项公式。这2个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sn?a1?a2???an?1?an与Sn?1?a1?a2???an?1(n?1),可知，当n?1时，an?Sn?Sn?111?n2?n?[(n?1)2?(n?1)]221?2n?.2131当n?1时，a1?S1?12??1?,也满足an?2n?.2223所以数列{an}是一个首项为，公差为2的等差数列.21[变式]：若Sn?n2?n?1，求通项公式。（方法相同）
2[探究]：这个数列是等差数列吗？（小组讨论）
[进一步探究]：一般的，如果一个数列{an}的前n项和为Sn?pn2?qn?r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【设计意图：在这里我设置了变式与变式的探究，其目的是形成比较，让学生体会等差数列前n项和公式是关于n的不含常数的二次函数形式。】
244、3?的前n项和为Sn，求使得Sn最练习巩固：例4（p45）：已知等差数列5、77大的序号n的值。
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【分析：等差数列的前n项和公式可以写成Sn?函数y?d2dn?(a1?)n,所以Sn可以看成22d2dx?(a1?)x(x?N*)当x?n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n22的图像是一条抛物线上的一些点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.】245解：由题意可知，等差数列5，4，3?的公差为-，所以777n5Sn?[2?5?(n?1)(?)]
2775n?5n2?145151125??(n?)2?1425615于是，当n取与最接近的整数即7或8，Sn取最大值.2同学们可以画出Sn的图像，验证上述结论。④归纳小结，发展深化：
1．等差数列前n项和Sn公式的推导--倒序相加法； 2．等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
(a?a)nSn?1n（公式一）；
2n(n?1)Sn?na1?d（公式二）；
2dd Sn?n2?(a1?)n（公式二变型二次函数）。
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八、板书设计
2.2.3等差数列的前n项和公式 基础知识回顾： 例 一、等差数列前n项和定义 二、等差数列前n项和公式 证 明 题 及 解 答 1、等差数列的定义 2、等差数列?an?的 通项公式 3、等差中项的性质 问题一：1+2+3+ ? +100=？（5050） 7
(a?a)nSn?1n公式一 2n(n?1)Sn?na1?d（公式二） 2问题二：（将印度泰姬陵的图片贴在黑板上） 九、教学设计反思
1、本节课如果直接介绍“倒序相加求和法”，生搬硬套学生的探究能力不能提高，，所以我采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。并借助图片展示“印度泰姬陵”的图片，引发学生的兴趣，使问题简单化，教学内容也更生动形象。
2、本节课的教学试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中互相配合、动手实践来完成公式的推导，通过“顺用公式”，“变用公式”，“活用公式”三个层次来促进学生新的认知结构的形成，并引导学生自己学会对学习的反思。
印度泰姬陵 传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？ 印度泰姬陵寝宫中钻石结构图
泰姬陵陵寝中三角形图案宝石结构图 8
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