平面向量的数量积
2．3.1 & 2.3.2 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律
预习课本P107～111，思考并完成以下问题
(1)两向量的夹角是如何定义？
(2)向量在轴上的正射影定义是什么？
(3)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(4)向量数量积的性质有哪些？
(5)向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的夹角与正射影 (1)向量的夹角. 定义 范围 ????????已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
垂直 规定 π当〈a，b〉＝时，我们说a与b垂直，记作a⊥b 2零向量与任意向量垂直 [点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
(2)向量在轴上的正射影． 已知向量a和轴l，如图．
????①正射影的概念：作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分
??????别为O1，A1，则向量O1A1 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)．
②正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或
????在轴l的方向上的数量．OA＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正
向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
[点睛] 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其数值可正、可负、可为零；当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
2．平面向量数量积(内积)的定义及性质
(1)定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.
[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． (2)性质．
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos〈a，e〉．
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b?a·b＝0.(a，b均不为零向量)
③a·a＝|a|2，即|a|＝a·a. a·b④cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
|a||b|
⑤对任意两个向量a，b有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．
[点睛] 对于性质②，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( ) (3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.( ) (4)若a·b＝0，则a⊥b.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为( ) A．60° 答案：B
B．30° C．120° D．150°
?1b?＝－36，则a与b的夹角为( ) 3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·?5?
A．60° B．120° C．135° 答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝________； (2)若a∥b，则a·b＝________； (3)若a⊥b，则a·b＝________. 答案：(1)－32 (2)6或－6 (3)0
向量数量积的运算
[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．
D．150°
????????????(2)如图，正三角形ABC的边长为2，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°， ∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用]
1．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2； (3)(2a－b)·(a＋3b)．
1
－?＝－6. 解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×??2?(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2
1
－?－3×42＝－60. ＝2×32＋5×3×4×??2?????????????2．在△ABC中，已知|AB|＝5，|BC|＝4，|AC|＝3，求： ????????(1)AB·BC ????????(2)AC在AB方向上的正射影的数量．
????????????解：因为|AB|＝5，|BC|＝4，|AC|＝3，所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.所以
AC3BC4cos A＝AB＝，cos B＝AB＝. 55
????????????????4
(1)AB·BC＝－BA·BC＝－5×4×5＝－16.
????????5×3×3
????????????59AC·AB(2)|AC|·cos〈AC，AB〉＝????＝＝.
55|AB|
与向量的模有关的问题
1
[典例] (1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1
2
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. [解析] (1)令e1与e2的夹角为θ， 1
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.
2又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°， ∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1， 从而|b|＝
123
＝. cos 30°3
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|2a－b|2＝4－4×
2
|b|， 2
2
|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32. 2
23
[答案] (1) (2)32
3
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|. 解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos 60° 1
＝50＋2×5×5×＝75，
2∴|a＋b|＝53. ∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b) ＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝25， ∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b) ＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175， ∴|2a＋b|＝57.
两个向量的夹角和垂直 题点一：求两向量的夹角 1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( ) A.π
B.π32 C.2π3
D.5π6
解析：选C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0， ∴cos〈a，b〉＝－12π2，∴〈a，b〉＝3.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． 证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2， ∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( A．－3
2 B.32 C．±32
D．1
解析：选B ∵3a＋2b与ka－b互相垂直， ∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0. ∵a⊥b，∴a·b＝0，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
)
又|a|＝2，|b|＝3， 3
∴12k－18＝0，k＝.
2
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θa·b＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． |a||b|
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
层级一 学业水平达标
????????1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为( )
A．30° C．120°
B．60° D．150°
????????解析：选D 如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( ) πA. 6πC. 3
πB. 4πD. 2
π
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝. 33．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 C．3
解析：选B ∵c·d＝0， ∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0， ∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0， ∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝( ) A．37
B．13
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
B．6 D．－3
C.37
D.13
解析：选C |a＋b|＝?a＋b?2＝a2＋2a·b＋b2 ＝42＋2×4×3cos 60°＋32＝37.
????????????????5．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 C．直角梯形
B．菱形 D．等腰梯形
????????????????解析：选B ∵AB＝DC，即一组对边平行且相等，AC·BD＝0，即对角线互相
垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0； ②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0； ③a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________. 9解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e2e2－2e2－2＝－. 1＋7e1·2＝－6＋7×cos 60°29答案：－ 2
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________． 解析：∵c⊥a，∴c·a＝0， ∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0， 1∴cos〈a，b〉＝－.
2
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1， 1所以e1·e2＝1×1×cos 60°＝，
2
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7， 172且a·b＝－6e2e2＝－6＋2＋＝－， 1＋2e2＋e1·227
2a·b1
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
|a|·|b|27×7
－
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解：(1)∵|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1. 1
∴cos θ＝－，
2∴θ＝
2π. 3
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直， ∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 4∴λ＝.
7
层级二 应试能力达标
π
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
3A．2 C．6
B．23 D．12
1
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝23.
2
????????2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于( )
A．－16 C．8
B．－8 D．16
????2????????????????AC
解析：选D 法一：因为cos A＝AB，故AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝|AC|＝16，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
故选D.
????????????????????????????????法二：AB在 AC上的投影为|AB|cos A＝|AC|，故AB·AC＝|AC||AB|cos A＝????2
|AC|＝16，故选D.
3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( ) πA. 62πC. 3
πB. 35πD. 6
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝3|a|，?a－b?·b－|b|23|a|23设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，
2|a－b||b|2|a|·3|a|23|a|25π
π]，所以θ＝.
6
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，
????????BD＝( ) 则AE·
A．－3 C．－1
B．0 D．1
????1??????????????????????BD＝?AB＋2AD ?·解析：选C AE·(AD－AB) ????21????2
1????????＝AB·AD－|AB|＋|AD| 22
11＝×2×2×cos 60°－22＋×22＝－1. 22
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b. 又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2. 则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
????????法二：如图，作AB＝BD＝a， ????????BC＝b，则CA＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
????????????又∵a－b＝BD－BC＝CD，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA， 所以△ABC是等腰直角三角形， ∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：4
1?(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，??2a＋b?·在a方向上的正射影的数量等于________．
11222
a＋b?·解析：?(2a－3b)＝a＋a·b－3b＝12，即3|b|－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍?2?2负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝2×
答案：2 1
11
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
22(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|. 1解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
21
∴a2－b2＝，
21
即|a|2－|b|2＝.
2又|a|＝1， ∴|b|＝2. 2
2＝1. 2
1
∵a·b＝，
21
∴|a|·|b|cos θ＝，
2∴cos θ＝
2， 2
∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|2＝(a－b)2 1＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
2∴|a－b|＝
2. 2
8．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝7. (1)求a与b夹角的大小． (2)求a＋b与b夹角的大小．
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
(3)求
|3a＋b|
的值． |3a－b|
解：(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 1又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，
211
所以|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
22π
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
3(2)设a＋b与b的夹角为α， 13
因为(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋＝，
22|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝3，|b|＝1， 3
?a＋b?·b23
所以cos α＝＝＝，
|a＋b||b|32π
又α∈[0，π]，所以a＋b与b的夹角为. 6(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13， (3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，所以
2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
预习课本P112～114，思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
[新知初探]
1．向量数量积及向量垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2) (1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2. |3a＋b|1391
＝＝. 7|3a－b|7
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
(2)若a，b为非零向量，a⊥b?a1b1＋a2b2＝0. [点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”． 2．三个重要公式
2(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a1＋a22.
????(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 答案：D
3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( ) A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6} 答案：C
4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________. 答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
a1b1＋a2b22a1＋a22
2b21＋b2
. ????(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，????????????－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝( )
A．5 C．3
[解析] (1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
B．4 D．2
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
????????????????????(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝
5.
[答案] (1)C (2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)， 所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)． (2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b·c)·a＝0·a＝0.
向量的模的问题 [典例] (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.5 C．25
B.10 D．10
????????(2)已知点A(1，－2)，若向量AB与a＝(2,3)同向，|AB|＝213，则点B的坐标是
________．
????a⊥c，?2x－4＝0，?x＝2，??[解析] (1)由??? ?b∥c????2y＋4＝0?y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝10.
????(2)由题意可设AB＝λa(λ＞0)，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
????????∴AB＝(2λ，3λ)．又|AB|＝213， ????∴AB＝(4,6)．又A(1，－2)，∴B(5,4)．
[答案] (1)B (2)(5,4)
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.
[活学活用]
1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________． 解析：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a－b|＝?2cos θ－3?2＋?2sin θ?2 ＝4cos2θ－43cos θ＋3＋4sin2θ ＝7－43cos θ，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋3. 答案：2＋3
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，
∴|c|＝82＋?－8?2＝82. 答案：82
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.
π
(2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的
4值为________．
[解析] (1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
∴a＋λb＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a＋λb)⊥b， ∴(a＋λb)·b＝0，
即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 1解得λ＝－.
5
(2)c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)， ?2－k?×1＋?1－k?×0π22
由cos ＝得＝，
42?2－k?2＋?1－k?2·12＋0223
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.
213
[答案] (1)－ (2)
52
解决向量夹角问题的方法及注意事项
a·b
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝
|a||b|求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝
a1b1＋a2b2
2
a21＋a2
2
b1＋b22
直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求
角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝
a·b
来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ|a||b|
是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小． 解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m，n的夹角为θ， 则cos θ＝
－3×7＋?－4?×1m·n＝ |m||n|?－3?2＋?－4?272＋12版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
＝
－252
＝－.
2252
3π
， 4
∵θ∈[0，π]，∴θ＝即m，n的夹角为
3π. 4
求解平面向量的数量积 ????????????????????????????[典例] 已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，求AB·BC＋BC·CA????????＋CA·AB的值．
[解] [法一 定义法]
π34
如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
255
????????????????????????∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB ????????????????＝BC·CA＋CA·AB
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A 43＝－20×－15×
55＝－25.
[法二 坐标法]
如图，建立平面直角坐标系， 则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
????????????∴AB＝(－3,0)，BC＝(0,4)，CA＝(3，－4)． ????????∴AB·BC＝－3×0＋0×4＝0， ????????BC·CA＝0×3＋4×(－4)＝－16， ????????CA·AB＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
????????????????????????BC＋BC·CA＋CA·AB＝0－16－9＝－25. ∴AB·
[法三 转化法]
????????????∵|AB|＝3，|BC|＝4，|AC|＝5，
????????BC＝0， ∴AB⊥BC，∴AB·
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
????????????????????????????????∴AB·(AB＋BC) BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA·????????????2＝CA·AC＝－|AC|＝－25.
求平面向量数量积常用的三个方法 (1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b＝a1b1＋a2b2解题； (3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算． [活学活用]
如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y
????1
1，?，轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD＝??2?????1
?OE＝??2，1?.
????????1×1＋1×1
22OD·OE4?????＝故cos∠DOE＝???＝.
555|OD|·|OE|×
2
2
????????????????1????法二：∵OD＝OA＋AD＝OA＋OC，
2????????????????1????OE＝OC＋CE＝OC＋2OA， ?????5???5∴|OD|＝，|OE|＝，
22
????????1????21????2
OD·OE＝2OA＋2OC＝1， ????????OD·OE?????＝4. ∴cos∠DOE＝???|OD||OE|5
4
答案：
5
层级一 学业水平达标
1．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( )
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
A.3 C．－3
B．3 D．－3
a·b－6
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
|b|22．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( ) A.5 C．25
解析：选B 由a⊥b得a·b＝0， ∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2， ∴a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝32＋?－1?2＝10.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( ) A．－12 C．6
B．－6 D．12 B.10 D．10
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( ) 8A. 6516C. 65
8B．－
65 D．－
16 65
??8＋x＝3，
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以?解得
?6＋y＝18，??x＝－5，?a·b16
?故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝. |a||b|65?y＝12，?
5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( ) A．直角三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．等边三角形
????????????????????解析：选A 由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2,4)，BC＝(－6,8)，∴AB·AC＝2×8
????????＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC.
∴∠BAC＝90°， 故△ABC是直角三角形．
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. 解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
1
－，则a＝(1，－1)，故|a|＝2. 2
答案：2
7．已知向量a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)， ∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2， a·?2a＋b?1∴cos θ＝＝，
|a||2a＋b|2π∴θ＝.
3π
答案： 3
8．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则向量b的坐标为________．
??x＋y＝1，解析：设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有?解得?3?3x＋y＝3，
y＝?2，22
1x＝，2
3??1
故b＝，?22?.
?13?
答案：，?22?
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝25. 综上，|a－b|＝2或25.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
????????????????(1)求AB·AC及|AB＋AC|；
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
????????????(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．
????????解：(1)∵AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)， ????????∴AB·AC＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ????????∵AB＋AC＝(－2，－6)， ????????∴|AB＋AC|＝4＋36＝210.
????????????????????????(2)∵AB－tOC＝(－3－2t，－1＋t)，OC＝(2，－1)，且(AB－tOC)⊥OC，
????????????∴(AB－tOC)·OC＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0， ∴t＝－1.
层级二 应试能力达标
11?1．设向量a＝(1,0)，b＝??2，2?，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．a－b与b垂直
解析：选C 由题意知|a|＝12＋02＝1，|b|＝11(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，
22
故a－b与b垂直．
B．a·b＝ D．a∥b
111?1?2＋?1?2＝2，a·b＝1×＋0×＝，?2??2?2222
2
2
????????????????BP有最小值，则2．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·
点P的坐标是( )
A．(－3,0) C．(3,0)
B．(2,0) D．(4,0)
????????解析：选C 设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)， ????????BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴AP·
????????BP最小，此时点P的坐标为(3,0)． 故当x＝3时，AP·
3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( ) 10－∞，? A.?3??
10
，＋∞? C.??3?
10－∞，? B.?3??
10
，＋∞? D.??3?
106
解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞
35
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
10. 3
????????????????????????4．已知OA＝(－3,1)，OB＝(0,5)，且AC∥OB，BC⊥AB (O为坐标原点)，则
点C的坐标是( )
29
－3，－? A.?4??293，? C.?4??
29
－3，? B.?4??293，－? D.?4??
????解析：选B 设C(x，y)，则OC＝(x，y)． ????又OA＝(－3,1)， ????????????∴AC＝OC－OA＝(x＋3，y－1)． ????????∵AC∥OB，
∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0， ∴x＝－3.
????∵OB＝(0,5)， ????????????????????????∴BC＝OC－OB＝(x，y－5)，AB＝OB－OA＝(3,4)． ????????29∵BC⊥AB，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝，
4
29－3，?. ∴C点的坐标是?4??
5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：因为向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
5m＋88m＋20c·acc·ba·cb·
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，
|c|·|a||c|·|b||a||b|525解得m＝2. 答案：2
????????6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为______；????????DE·DC的最大值为______．
解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示． 则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)， 设E(1，a)(0≤a≤1)．
????????所以DE·(1,0)＝1， CB＝(1，a)·????????DE·DC＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
????????故DE·DC的最大值为1.
答案：1 1
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝
5
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 2
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25， ∴x2＋y2＝20. 由c∥a和|c|＝25，
?y－2·x＝0，?1·?可得22 ?x＋y＝20，????x＝2，?x＝－2，解得?或?
??y＝4，y＝－4.??
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0，
55∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
42a·b
∴cos θ＝＝－1.
|a||b|又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
????????????????????2
8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB (λ≠λ)．
????????????????(1)求OA·OB及OA在OB上的射影的数量；
????????(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；
????(3)求|OC|的最小值．
????????????????解：(1)OA·OB＝8，设OA与OB的夹角为θ，
????????OA·OB?????＝8＝1， 则cos θ＝???|OA||OB|4×42
????????????1∴OA在OB上的射影的数量为|OA|cos θ＝4×＝2.
2
????????????????????????????????OA－(1－λ)OB＝(λ－(2)AB＝OB－OA＝(－2,23)，BC＝OC－OB＝(1－λ)·
????1)AB，所以A，B，C三点共线．
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
????????当AB＝BC时，λ－1＝1，所以λ＝2.
?????????2????????2?????22
(3)|OC|＝(1－λ)OA＋2λ(1－λ)OA·OB＋λOB2
1
λ－?2＋12， ＝16λ2－16λ＋16＝16??2?
????1
∴当λ＝时，|OC|取到最小值，为23.
2
版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn