住房分配问题
摘要：
本文中住房分配是个决策问题,主要根据50个人的职称、工龄、学历、教学和科研这5个因素对综合情况排序的影响程度，分别用层次分析法和模糊综合评价法，对50个人的综合情况有一个由大到小的权重排序，即确定为住房分配的顺序,从而将30套住房分配给顺序排名前30名的教师,而分配顺序后20名的教师将无法获得住房。
层次分析法是一种定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法。首先构造一个层次结构图，包括目标层（综合排序）、准则层（5个影响因素）、方案层（50个待排序的人）。然后从第二层开始根据1-9的尺度，利用5个因素对排序的影响程度的比较和50个人对于同一因素的比较，构造每一层中各因素对上一层的成对矩阵，对每个成对矩阵可计算其最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标（CI），随机一致性指标（RI），一致性比率（CR）作一致性检验，若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若检验通过，可求权向量（特征向量归一化后）。最后计算最下层对最上层总排序的权向量，进行一致性检验。 若CR?0.1，则可按照总排序的权向量进行排序，则按权重由大到小排序的结果为： P1 P2 P3 P4 P5 P6 P8 P7 P23 P15 P9 P14 P16 P24 P10 P22 P12 P21 P19 P18 P11 P13 P20 P17 P25 P48 P26 P28 P30 P38 这30名教师，其余的20名教师将分不到住房。
关键字：层次分析法；主成分分析法；归一化；matlab；最大特征值
一、 问题重述
某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学、科研。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。
下面给出的是50 名满足分房条件的人员情况见表1 ,请用你的方案给出排队次序,并分析说明你的方案较原方案的合理性。 表1 科科人员 职称 工龄 学历 教学 人员 职称 工龄 学历 教学 研 研 1 3 P1 1 30 3 1 P26 3 8 2 1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 21 20 19 15 14 16 13 8 10 9 8 12 13 11 10 7 8 9 10 11 13 10 2 2 3 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 3 2 1 2 1 2 3 1 2 2 2 3 3 3 1 1 P27 P28 P29 P30 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 P40 P41 P24 P43 P44 P45 P46 P47 P48 P49 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 9 5 6 4 3 2 5 4 6 8 5 3 4 1 5 2 3 6 4 2 6 3 2 2 2 1 2 2 4 2 2 3 3 2 2 2 4 2 2 4 1 4 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 1 2 3 3 1 1 2 3 2 P25 2 8 3 3 P50 3 1 4 2 说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级； 2、学历中的1，2，3，4分别表示博士毕业、硕士毕业、本科毕业、专科
毕业；
3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。 4、科研中的1，2，3分别表示好，一般，差。
二、模型假设
1）假设30个人能分到住房（每人一套）,20人分不到住房。 2）只考虑职称，工龄，学历，教学、科研这五个影响因素。
3）考虑问题时总是按照职称，工龄，学历，教学、科研的顺序（与j=1，2，3，4,5相对应）。
4）问题中的讨论计算都是按照某一特定的截止日期来计算的，即不考虑近期这五个因素的变化，以表一中给定的数据为依据。
三、符号说明
aij：表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果；
?： 矩阵的特征值；
W??w1,w2?,wn?：矩阵的特征向量；
bnj：第n个人对第j个因素的影响程度的权重，（n=1，2，……，40，j=1，2，……
8）；
aj：第j个影响因素的权重；
bn ：第n个人的综合情况的权重；
rj : 第j个因素对上一层的隶属度；
四、模型分析
首先我们需要对5个因素进行量化：
（1）职称的量化：通过赋值对职级进行量化，50个人有1级、2级、3级这三个级别， 并且1级比2级高，2级比3级高，所以将1级的赋值为3，而2级的赋值为2,而3级的赋值为1 ；（2）对工龄的数据进行量化时，按照表一中年数来计算；即工龄为几年，在这一项的得分即为几分；（3）学历的量化；对学历中的博士毕业、硕士毕业、本科毕业、专科毕业分别附值为4,3,2,1；（4）教学的量化，对教学中的好、一般、差分别赋值为3,2,1；（5）科研的量化，分别对科研中的好、一般、差分别赋值为3,2,1
然后利用量化的数据分别采用层次分析法和模糊综合评价法求得50个人的权重总排序即可。
五、模型的建立及求解
一、层次分析法
层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。它是T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出的一种能有效的处理方案决策的实用方法。
本问题中，我们要做的就是把50个教师的综合情况进行综合排。 4.1、首先对该问题建立一个层次结构模型
综合情况 目标层Z 准则职 称 工龄 学历 教学 科研 层A 4.2、构造成对比较矩阵： 50个人 方案层B 准则层有5个影响综合排名的因素，X=（x1,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ）要比较它们对上一层目标的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）.这里的比较是两两因素之间进行比较，比较时取1—9的尺度，
尺度 含义 1 第i 个因素与j 个因素的影响相同 3 5 7 9 第i 个因素比j 个因素的影响稍强 第i个因素比j个因素的影响强 第i个因素比j个因素的影响明显强 第i个因素比j个因素的影响绝对的强 2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级
之间。
构造成对比较矩阵A,其中aij表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结
果，所以aij?1aji，则
?1?1??3?1?A=5??1??5?1??7311212155211135211137??5???3???3???1??
4.3、计算单排序权向量并做一致性检验：
利用MATLAB软件，得矩阵A的最大特征值为：?k=5.0616，它所对应的特
?2.5498???1.0617???0.5749???0.5749????0.2387??征向量为
，做一致性检验： 由于?连续的的依赖于aij，则?比n 大
??nn?1的越多，A的不一致性越严重。所以 定义一致性指标为： CI? （?为最大特征根，n为矩阵A的对角线
元素之和）
把?=5.0616 ，n=5 代如得 ：CI=0.0154 随机一致性指标RI 的数值： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 一致性比率：CR?CIRI ，一般的，当CR<0.1时，认为A的不一致程度在允许
范围之内，可用其归一化向量作为权向量，否则，要重新构造成对比较矩阵，对A加以调整。 这里
CR=0.01541.12?0.01375?0.1,所以A的不一致性在允许范围之内，所以归一
化后权向量为：。
4.4、层次总排序及一致性检验：
确定某层所有因素对于总目标的相对重要性的排序权重过程，成为层次总排序。
此问题中要对50个人的综合情况进行排序，既相当于在决策层有50个待选择决策。所以对于每一个影响因素，都可以建立一个50*50的矩阵，来对每一个因素作一个单排序，
共有五个这样的矩阵。可以把这五个矩阵分别定义为B1，B2，B3，B4，B5，具体数值见附录。求得五个矩阵所对应的最大特征根和权向量，并分别对5个特征根作一致性检验，如表所示（见附录）
8?0.5100???0.2123???0.1150???0.1150????0.0477??即：B层第i个因素对总目标的权重为?ajbij，得B层的层次总排序。如二
j?1表所示（见附录）
然后对层次总排序进行一致性检验：CR=0,所以,可以做最后的决策了.
则50个人的综合情况排序如下为（在此只取分到住房的前30名教师即可）： 排1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 名 人 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P8 P7 P23 P15 P9 P14 P16 P24 排16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 名 人 P22 P12 P21 P19 P18 P11 P13 P20 P17 P25 P48 P26 P28 P30
15 P10 30 P38 六、模型的评价
层次分析法具有系统性，实用性，简洁性等优点，能够更好的处理决策问题，且具有很强的推广性，例如：高考填报志愿问题，选择职业问题等等，都可以运用层次分析法进行分析。但层次分析法也具有一定的局限性，例如：只能从原有的方案中选择，却不能构造更好的方案，该方法中人的主观因素很多，计算的过程以及结果都是比较粗糙的。但对于本题而言，该模型已经可以很好地发挥作用了，已经可以比较公平的对住房进行分配。
七、参考文献
姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993； 许树伯，层次分析原理，天津：天津出版社，1988；
贺仲雄，模糊数学及其应用，天津：天津科学技术出版社，1985； 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005；
八、附录
bnj 1 0.03704 0.03704 0.03704 0.03704 0.03704 0.03704 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.02469 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 2 0.068182 0.056818 0.047727 0.045455 0.043182 0.034091 0.031818 0.036364 0.029545 0.018182 0.022727 0.020455 0.018182 0.027273 0.029545 0.025 0.022727 0.015909 0.018182 0.020455 0.022727 0.025 0.029545 0.022727 0.018182 0.018182 0.011364 0.020455 0.011364 0.013636 0.009091 0.006818 0.004545 0.011364 0.009091 0.013636 0.018182 3 0.014925 0.022388 0.022388 0.014925 0.022388 0.029851 0.029851 0.022388 0.022388 0.022388 0.014925 0.014925 0.022388 0.022388 0.014925 0.022388 0.014925 0.022388 0.014925 0.014925 0.022388 0.022388 0.022388 0.022388 0.014925 0.022388 0.022388 0.022388 0.022388 0.029851 0.022388 0.022388 0.007463 0.022388 0.022388 0.014925 0.014925 4 0.028037 0.018692 0.018692 0.028037 0.018692 0.009346 0.018692 0.018692 0.018692 0.028037 0.009346 0.028037 0.009346 0.018692 0.028037 0.018692 0.009346 0.018692 0.028037 0.018692 0.018692 0.018692 0.018692 0.018692 0.009346 0.028037 0.018692 0.018692 0.009346 0.018692 0.028037 0.018692 0.018692 0.028037 0.018692 0.009346 0.018692 5 0.030303 0.020202 0.020202 0.020202 0.010101 0.010101 0.020202 0.030303 0.010101 0.020202 0.030303 0.020202 0.030303 0.020202 0.010101 0.030303 0.020202 0.020202 0.020202 0.010101 0.010101 0.010101 0.030303 0.030303 0.010101 0.010101 0.020202 0.020202 0.030303 0.030303 0.020202 0.020202 0.010101 0.010101 0.020202 0.030303 0.020202 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 P40 P41 P42 P43 P44 P45 P46 P47 P48 P49 P50 ?k 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 0.01235 50.000 0 1.12 0.011364 0.006818 0.009091 0.002273 0.011364 0.004545 0.006818 0.013636 0.009091 0.004545 0.013636 0.006818 0.002273 0.022388 0.022388 0.022388 0.007463 0.022388 0.022388 0.007463 0.029851 0.007463 0.022388 0.029851 0.022388 0.007463 0.028037 0.018692 0.028037 0.018692 0.028037 0.018692 0.009346 0.028037 0.018692 0.028037 0.028037 0.018692 0.018692 0.020202 0.030303 0.010101 0.010101 0.020202 0.030303 0.020202 0.010101 0.010101 0.030303 0.030303 0.020202 0.020202 50.000 0 1.12 50.000 50.000 50.000 0 1.12 0 1.12 0 1.12 CI RI
人员 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 最终权排名情重得分 况 0.03975 0.036639 0.034709 0.034443 0.033262 0.031116 0.025894 0.026482 0.024071 0.023215 0.021654 0.022839 0.021547 0.02407 0.024288 0.02407 0.021172 0.021658 0.022357 0.021283 0.022624 1 2 3 4 5 6 8 7 11 15 21 17 22 12 10 13 24 20 19 23 18
P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 P40 P41 P42 P43 P44 P45 P46 P47 P48 P49 P50 0.023106 0.025035 0.023587 0.019726 0.016437 0.014397 0.016327 0.013804 0.016219 0.014989 0.013432 0.010751 0.01499 0.013914 0.013428 0.014986 0.015471 0.013913 0.014507 0.010268 0.015471 0.013431 0.01064 0.01633 0.011716 0.014506 0.017294 0.013432 0.01075 16 9 14 25 27 33 28 34 29 37 35 44 38 42 36 32 30 37 39 49 31 48 46 41 45 40 26 47 50