教学设计
1．2.2 充要条件
整体设计
教材分析
《充要条件》是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考的热点．由于本节内容涉及对概念下定义和运用概念进行推理，因此需要全面的掌握概念；本节教材是在给出了充分条件，必要条件的概念的基础上，导出了充要条件的概念．由于这节课概念性、理论性较强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握，所以一般的教学方式容易使学生感到枯燥乏味．为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例导出概念，避免了空泛地讲数学概念、思想、方法．始终以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念、“下定义”，去体会概念的本质属性，同时结合问题激发学生的学习兴趣，引起学生探究的好奇心．
课时划分 1课时
教学目标 知识与技能
(1)理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；
(2)学会对命题进行充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断；
(3)通过学习，使学生理解对条件的判定应该归结为判断命题的真假． 过程与方法
在观察、思考、解题过程中，培养学生思维的严密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．
情感、态度与价值观
激发学生的学习热情和学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神． 重点难点
教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断；
教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明． 教学过程
引入新课 复习提问：
1．什么叫做p是q的充分条件？什么叫做q是p必要条件？请说出“p2．指出下列各组命题中，p
q 及q
p是否成立：
q”的含义．
(1)p：内错角相等；q：两直线平行．
(2)p：三角形三边相等；q：三角形三个角相等．
活动设计：让学生稍作思考，以提问的形式回顾相关知识．
学情预测：对问题1，通过上节课的学习学生能够顺利回答充分条件与必要条件的概念，但对符号“p
q”的含义，学生可能回答不够严谨，教师给予补充完善．
活动结果：
(1)一般的，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p
q，并且说p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．“p
q”
的含义指由p通过推理可以得出q.
(2)问题2中的两个命题都有p
q及q
p成立，即原命题和逆命题都是真命题．
设计意图：引导学生从熟悉的知识出发，发现新问题、新知识． 探究新知 提出问题
问题1：请同学们举出形如“若p，则q” 形式的命题的例子，且原命题和逆命题都是真命题．
活动设计：学生先口答，教师板书．
学情预测：学生的回答可能不全是原命题和逆命题都是真命题的例子，教师要帮助学生加以甄别．
问题2：对于命题“若p，则q”，具有p
q及q?p成立，即原命题和逆命题都是真
命题．那么p是q的什么条件？q是p的什么条件呢？
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适时介入全班引导． 活动结果：上述问题中，p
q，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
另一方面q?p，q是p的充分条件，p是q的必要条件． 教师(板书)：
充要条件的定义：一般的，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，
p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
概括地说，如果p
q，那么p与q互为充要条件．
设计意图：充要条件的概念与原命题和逆命题真假的判断，以及具有“若p，则q”形式的命题真假的判断是分不开的，因此充要条件的概念引入结合了具体命题真假的判断，以加深理解．
理解新知
1下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； (2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.
思路分析：要判断p是否是q的充要条件，就要看p能否推出q，同时看q能否推出p，两者必须同时成立．
解：在(1)(3)中，p在(2)中，虽然有p
q，所以(1)(3)中的p是q的充要条件． q，但是q
p，所以(2)中的p不是q的充要条件．
点评：充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“若q，则p”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．
说明：(1)符号“
”叫做等价符号．“p
q”表示“p
q且q
p”；也表示“p
等价于q”．(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”“仅当”表示“必要”．
巩固练习
对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是 ?
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
提出问题：在“若p，则q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的p既是q的充分条件又是必要条件，能否对存在的各种情况作分类？对存在的各种情况结合下面的思考题加以说明．
思考：下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x是6的倍数，q：x是2的倍数； (2)p：x是2的倍数，q：x是6的倍数；
(3)p：x是2的倍数，也是3的倍数，q：x是6的倍数； (4)p：x是4的倍数，q：x是6的倍数．
活动设计：学生随着教师的引导，思考问题、回答问题、合理地对数学命题进行分类． 学情预测：学生积极思考，结合思考题进行分类，但分类标准不唯一，可能出现多种分类方法，此时教师结合思考题积极引导．
活动结果：分析总结得到四种情况 (1)p是q的充要条件；(即p
q)
q且qq且q
p) p)
p)
(2)p是q的充分但不必要条件；(即p(3)p是q的必要但不充分条件；(即p
(4)p是q的既不充分也不必要条件．(即pq且q
设计意图：通过以上这些问题的讨论，可以进一步加深对充分条件、必要条件、充要条件的理解．
运用新知
2已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
思路分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可．
证明：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d. (1)充分性(p?q)：
若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切．
(2)必要性(q?p)：
若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此d＝OP＝r. 点评：(1)证明充要条件时，既要证明原命题成立，又要证明逆命题成立．
(2)证明原命题成立，即证明命题条件的充分性；证明原命题的逆命题成立，即证明命题条件的必要性．
(3)证明充要条件时，首先要明确命题的条件和结论分别是什么，即命题的要求是什么．
变练演编
3判断下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)p：x>5；q：x>－1； (2)p：x>－1；q：x>5；
(3)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0； (4)p：x ＝±1；q：x2－1＝0.
思路分析：根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一进行判断． 解：(1)p是q的充分但不必要条件； (2)p是q的必要但不充分条件； (3)p是q的必要但不充分条件； (4)p是q的充要条件．
点评：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：
(1)确定条件是什么，结论是什么；
(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方法有：直接证法或间接证法)； (3)确定条件是结论的什么条件； (4)充要性包含：充分性p
q，必要性q
p，这两个方面缺一不可．
提出问题：思考下列问题：
(1)将例3的第(3)题 p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0中的所有“＝“换成“＞”，会有怎样的结果？
(2)同上，如若换成“≠”会有怎样的结果？
活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发现的结果一一列举，熟练充要条件的判断方法．
活动结果：(1)p是q的既不充分也不必要条件． (2)p是q的充分但不必要条件．
达标检测
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列各小题中，p是q的充要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点． f?－x?②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数．
f?x?③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ. ④p：A∩B＝A；q：
UB
UA.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．有限集合S中元素的个数记做card(S)，设A，B都为有限集合，给出下列命题： ①A∩B＝?的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)； ②A?B的必要不充分条件是card(A)≤card(B)； ③A?B的充分不必要条件是card(A)≤card(B)； ④A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)． 其中真命题的序号是( )
A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 答案：1.A 2.D 3.B 课堂小结
1．知识收获：(1)充要条件的定义：若p(2)判断p是q 的什么条件，不仅要考查p2．方法收获：(1)判断p
q是否成立，
q 且q
p，则p是q的充要条件．
p是否成立．
q是否成立 ，还要考查q
方法1：判断若p则q形式命题的真假．
方法2：若p则q形式命题真假难判断时，判断其逆否命题的真假． 方法3：集合的观点．
(2)证明充要条件，需证明充分性(pq)和必要性(qp)．
3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．
布置作业
课本习题1.2 A组 3(2)(4)，4 补充练习 基础练习
1．设M，N是两个集合，则“M∪N≠
”是“M∩N≠
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
151
2．设p，q是两个命题，p：log(|x|－3)＞9，q：x2－x＋＞0，则p是q的?( )
266A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：1.B 2.A 3.A 4.B 拓展练习
5．设p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，问(1)s是r的什么条件？(2)p是q的什么条件？
答案：(1)s是r的充要条件；(2)p是q的必要条件． 设计说明
设计思想
由于这节课概念性、理论性较强，因此要多借助学生熟悉的实例去帮助学生理解概念；另外本节用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要在用的过程中，逐步提高学生对数学语言、符号语言的转换能力．
设计意图
用类比的方法，将有些概念进行类比，以便更好地理解和运用；同时还要用联系的观点去认识相关知识，用集合的观点去理解相关概念，以此提高学生分析问题和解决问题的能力．
设计特点
引导学生从前面学习的“充分条件”和“必要条件” 出发，对新知有所认识．结合学生熟知的原命题与逆命题真假的判断归纳出新知识的特点，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一思想，培养良好的思维品质．
备课资料 备选例题
1．已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1和点A(3,0)，B(0,3)．求证：抛物线C与线段AB10有两个不同的交点的充要条件是3＜m≤.
3
思路分析：要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可． 解：(1)必要性：
由已知得，线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)． 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
?y＝－x2＋mx－1，?所以方程组?(*)有两个不同的实数解．
?y＝－x＋3?0≤x≤3??
消元得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)． 设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则有
??f?0?＝4≥0，
?f?3?＝9－3?m＋1?＋4≥0，
m＋1?0＜?2＜3，
(2)充分性： 10
当3＜m≤时，
3
Δ＝?m＋1?2－4×4＞0，
解得3＜m≤
10. 3
m＋1－?m＋1?2－16m＋1－?m＋1?2x1＝＞＝0，所以x1＞0.
22
m＋1＋?m＋1?－16x2＝≤2所以x2≤3.
210
＋1＋3
10?＋1?2－163
＝3，
2
所以方程x2－(m＋1)x＋4＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2≤3，方程组(*)有两组不同的实数解．
因此，抛物线y＝－x2＋mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤
10. 3
10
点评：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样一个式子成立，即当3＜m≤时，3证明抛物线C与线段AB有两个不同的交点；必要性是证明怎样一个式子成立，即当抛物10
线C与线段AB有两个不同的交点时，证明：m的取值范围是3＜m≤.
3
2．已知p：|1－
x－1
|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的必要而不充分2
条件，求实数m的取值范围．
思路分析：p是q的必要而不充分条件，即p是q的充分而不必要条件，从集合的角度可知集合P是集合Q的真子集．
解： (法一)：∵p是q的必要而不充分条件， ∴q是p的必要而不充分条件． ∴p是q的充分而不必要条件．
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m>0)， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}． 又由|1－
x－1
|≤2，得－2≤x≤10. 3
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}． 又∵p是q的充分而不必要条件，
m＞0，??
?1－m≤－2，??1＋m≥10.
∴PQ
解得m≥9.
(法二)：由x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m.
∴q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0} x－1
由|1－|≤2，得－2≤x≤10.
3