邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三)
§3.1随机现象及其概率
学习目标 （1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
（2）正确理解事件A出现的频率的意义；正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系； （3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 重点难点 重点: 事件的分类；概率的定义以及概率和频率的区别与联系. 难点: 随机事件及其概率,概率与频率的区别和联系.
学法指导 对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；做简单易行的实验，发现随机事件的某一结果发生的规律性；通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高． 知识链接 初中所学概率初步
问题探究 【创设情境】
日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如，明天太阳一定从东方升起吗？明天上午第一节课一定是7:50上课吗？等等，这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难给予准确回答的.例如明天中午12：10有多少人在学校食堂用餐？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的结果都具有偶然性和不确定性. 【探究新知】（一）：必然事件、不可能事件和随机事件 思考1：考察下列事件： （1）导体通电时发热；（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：由此，我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的________事件，简称必然事件。你能列举一些必然事件的实例吗？ 思考3：考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽； （2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考4：由此，我们把在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的________事件，简称不可能事件。你能列举一些不可能事件的实例吗？ 思考5：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）王皓能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛掷一个骰子出现的点数为偶数. 这些事件就其发生与否有什么共同特点？
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思考6：由此，我们把在条件S下, ________ 也____ ____的事件,叫做相对于条件S下的随机事件.简称随机事件. 你能列举一些随机事件的实例吗？ 思考7：思考7：________和________统称为确定事件，________和________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，?表示.
例题: 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1) “抛一石块，下落”； (2) “明天天晴”；
(3) “某人射击一次，中靶”； (4) “如果a＞b,那么a－b＞0”; (5) “掷一枚硬币，出现正面”； (6) “导体通电后，发热”；
(7) “手电筒的的电池没电，灯泡发亮”； (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； (9)“没有水份，种子能发芽”； (10)“在常温下，焊锡熔化”．
(11) “随机选取一个实数x，得|x|≥0”. (12)“自由下落的物体作匀加速直线运动”； (13)“函数y?ax(a?0,且a?1)在定义域上为增函数”；
(14) “从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （15）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
【探究新知】（二）：事件A发生的频率与概率 思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称
nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)=________,频率的取值范围是________.
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如课本112页表格所示。
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？
思考3：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性。
思考4：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？
思考5：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
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思考6：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
思考7：必然事件、不可能事件发生的概率分别为________.，概率的取值范围是________. 【例题讲评】
例1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频 m率 n（1）填写表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
例2 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
【课堂小结】
概率与频率的关系 ☆区别：
频率随着次数的改变而改变，而概率却是一个常数，它不随着试验次数的增加而变化。 ☆ 联系：
①概率是频率的科学抽象，是某事件的本质属性，它从数量上反应了随机事件发生的可能性的大小；
②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即概率可以用频率作为近似代替，可以说，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ③只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率； ④实践中常用“大量重复试验的前提下的频率值”来估计事件的概率.
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目标检测 1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 （ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
2．下面事件：①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾；②抛掷一枚硬币,出
现反面；③实数的绝对值不小于零；其中是不可能事件的是 ( )
A. ② B. ① C. ① ② D. ③
3.从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中,任意取3个的必然事件是 ( )
A.3个都是正品 B.至少有1个是次品 C.3个都是次品 D.至少有1个是正品
4.某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的频率为 ( )
332A. B. C. 6 D. 接近
5535. 随机事件A发生的概率范围是 ( ) A. P(A)>0 B.P(A)<1 C.0 6.某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A出现的频数为_____,事件A出现的频率为_______。 7．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。 每批粒2 5 10 70 13 70 15 20 30 数 发芽的2 4 9 60 12 28 7 14 27 粒数 发芽的 频率 （1）完成上面表格： （2）该油菜子发芽的概率约是多少？ 纠错矫正 总结反思 4 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) §3.2.1 古典概型（一） 学习目标 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 重点难点 重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式. 难点: 古典概型是等可能事件概率. 学法指导 1、基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的. 2、基本事件数的探求方法： （1）列举法（2）树状图法：（3）列表法（4）排列组合 3、本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点： （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）= A包含的基本事件数,此公式只对古典概型适用. 总体的基本事件个数 知识链接 随机事件，基本事件的概率值和概率加法公式. 问题探究 通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法. 【探究新知】（一）：基本事件 思考1：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，可能结果有 ； 连续抛掷三枚质地均匀的硬币，可能结果 思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描述的随机事件事件称为基本事件，通俗地叫试验结果. 在一次试验中，任何两个基本事件是___ 关系. 所有基本事件构成的集合成为基本事件空间。基本事件空间常用大些字母 ?表示. 例1：试验“连续抛掷两枚质地均匀的硬币”的基本事件空间 ??（正，正），{(正，反)，（反，正），（反，反）}. 思考3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？ 5 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 思考4：综上分析，基本事件的两个特征是: (1) 任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 【探究新知】（二）：古典概型 思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子有 ________ 基本事件.每个基本事件出现的可能性相等吗？ 思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有________ 基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？ 思考3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？ 思考4：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为 古典概型. 例2：下列事件中哪些是古典概型： （1） 明天是否下雨 （2） 射击运动员在一次比赛中能否击中10环 （3） 某时间内路段是否发生交通事故 （4） 抛掷一枚骰子朝上的点数是奇数. 思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？ 每个基本事件出现的概率是多少？ 你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？ 思考6：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？为什么呢？ 思考7：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶 数点”的概率如何计算？“出现不小于2点” 的 概率如何计算？ 思考8：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？ 思考9：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？ 思考10：从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率 P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？ 6 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 重要结论：一般地，对于古典概型，基本事件共有n个,随机事件A包含的基本 m事件是m.由互斥事件的概率加法公式可得P(A)?, 所以在古典概型中 nP(A)?mA包含的基本事件数?,n总体的基本事件个数 这一定义被成为概率的古典定义，其中该公式称为古典概型的概率计算公式. 【例题讲评】 例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 这些基本事件构成的基本事件空间是什么？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？ 例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 例3： 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，?，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 例4 同时掷两个不同的骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 目标检测 1、在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ( ) ① 投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面” ② 一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取 7 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 一个球,“取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球” ③ 一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 2、从一副扑克牌(54张)中抽到牌“K”的概率是( ) 2111A. B. C. D. 27542793、将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 ( ) 1112 A. B. C. D. 34234、从教室到逸夫楼有A1，A2，A3，A4共4条路线，从逸夫楼到礼堂有B1，B2共两条路线，其中A2B1是从教室到礼堂的最短路线，某同学任选一条从教室到礼堂的路线，此路线正好是最短路线的概率是 ( ) 1111 A. B. C. D. 38465、从A,B,C三个同学中选2名代表学校到省里参加奥林匹克数学竞赛，A被选 112中的概率是 （ ） A. B. C. D.1 2 3 36、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过 30121230mm的纤维的概率是（ ）A． B． C． D．以上都不对 4040307．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为 1141合格铁钉的概率是（ ）A． B． C． D． 545108、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若前三次连续抛到“6点朝上”，则对于第 四次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是 （ ） 11A．出现“6点朝上”的概率大 于； B．出现“6点朝上”的概率等于； 66C．一定出现“6点朝上”； D．无法预测“6点朝上”的概率. 9、做试验“从0，1，2 这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序实数对（ x, y），x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字”. （1）写出这个试验的基本事件；（2）求这个试验基本事件的总数； （3）写出“第一次取出的数字是2”这一事件，并求其发生的概率。 10、抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。 纠错矫正 总结反思 8 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) §3.2.1 古典概型（二） 学习目标 通过典型例题，较为深入地理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 重点难点 重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式. 难点: 古典概型是等可能事件概率. 学法指导 1、 对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型，它包含的互斥事件或基本 事件的个数往往较多，计数比较麻烦，这时，可考虑其对立事件，减少计算量； 2、 灵活构造等概样本空间，简化运算； 3、 区别对待“不放回”与“有放回”抽样问题。 知识链接 随机事件，基本事件，对立事件，互斥事件和概率加法公式 【例题讲评】 例1 一盒中装有质地相同的各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球。求： （1）取出球的颜色是红或黑的概率；（2）取出球的颜色是红或黑或白的概率. 例2 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率. 例3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。 9 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 变形：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，一次取两件，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。 例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。 解法一分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。 解法二分析：也可以把试验的所有可能结果取为{点数是奇数}和{点数为偶数}两个样本事件，它们互为对立事件，并且组成等概样本空间。 变形：一次掷两颗骰子，观察掷出的点数，求掷得点数和是奇数的概率。 例5 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样． 小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误． 例6 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品； （2）取到的2只中正品、次品各一个；（3）取到的2只中至少有一只次品。 10 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 目标检测 1 、先后抛掷2枚均匀的硬币. ①一共可能出现多少种不同的结果？ ②出现“1枚正面,1枚反面”的结果有多少种？ ③出现“1枚正面,1枚反面”的概率是多少？ ④有人说：“一共可能出现‘2枚正面’、‘2枚反面’、‘1枚正面,1枚反面’这3 1种结果,因此出现‘1枚正面,1枚反面’的概率是.”这种说法对不对？ 3 2、从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9 的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之 积为偶数的概率为( ) 171311A. B. C. D. 21818183、把10卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸 箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率为（ ） 1357A. B. C. D. 10 10 10 10 4、掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具,设事件A为“点数之和恰好为 6”,则事件A所包含的基本事件个数为 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5、从1,2,3,4中任取两个数,组成没有重复数字的两位数,则这个两位数大于21的概率是______。 6、从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。 7、在5件产品中，有三件是一级品，二件是二级品，从中任取二件，其中至少有一件为二级品的概率是___ . 【能力提升】 8、某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表, 至少有1名女生当选的概率 （ ） 378A. B. C. D. 1 515159、某单位36人的血型类别是：A型偶12人，B型10人，AB型8人，O型6人。现在从这36人任取2人，求2人血型不同的概率. 11 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 10、若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m,n作为P的坐标，则 （1）点P落在圆x2?y2?16内的概率是多少？ （2）点P落在圆x2?y2?16外的概率是多少？ 11、7名学生站成一排，试求下列事件的概率： （1）甲站在排头； （2）甲站在排头或排尾； （3）甲不站在排头； （4）甲和乙都站在排头或排尾； （5）甲和乙都不站在排头或排尾； （6）甲或乙站在排头或排尾. 纠错矫正 总结反思 12 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) §3.3.1 几何概型（一） 学习目标 （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P(A)?构成事件A的区域 d 的长度（面积、角度或体积）； 试验的全部结果所构成的区域 D 的长度（面积、角度或体积）（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是 几何概型； 重点难点 重点: 几何概型的概念、公式及应用. 难点: 对几何概型的理解. 学法指导 几何概型概率求解过程： ①适当选择观察角度，确定几何度量的种类：长度（或面积，角度，体积）； ②把基本事件空间转化为与之对应的区域； ③把事件A转化为与之对应的区域； ④如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维； ⑤利用概率公式计算. 知识链接 1.基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 2．古典概型有两个特征：有限性和等可能性. 问题探究 【提出问题】 在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题. 【探究新知】（一）：几何概型的概念 思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？ 若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 思考2：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？ 分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上除端点外的任意一点，记“剪得两段绳子长都不小于1m”事件A. 问题1 每一个基本事件是不是等可能发生的的？且能否看做线段上的一个点与其对应？ 问题2 与每一个基本事件对应的这些点构成的几何区域D是什么？ 问题3 事件A发生，剪刀应剪在什么位置？ 问题4 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域d是什么？ 13 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 问题5 几何区域D的长度？ 问题6 d的长度占D的长度的几分之几？ 结论：对于一个随机事件试验，我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几 何区域内任取一点（即找“对应点”），该区域中每一点被取到的机会都一样， 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的一点，这里区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机实验称为几何概型， 也即，如果 只 与 成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？ （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. 思考5：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？ 【探究新知】（二）：几何概型的概率 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式. 思考3：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？ B N B N B N N B N B N B 思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？ 结论：一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构成的区域记 为D，记事件“该点落在其区域D内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率 P(A)?构成事件A的区域 d 的长度（面积、角度或体积）试验的全部结果所构成的区域 D 的长度（面积、角度或体积） 思考5：向边长为1m的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心 和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？(芝麻大小可忽略不计)由此能说明什么问题？ 结论：概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生，即 概率等于0的事件?不可能事件，. 概率等于1的事件?必然事件. 14 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 【典型例题】 测量长度 对于两个平面区域d，D，且d?D，区域D是线段或时间段时，记“该点落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与线段或时间段的长度有关时，一般地有 P(A)?d 的长度. D 的长度例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率. 分析：因为客车每10分钟一班,他在0到10分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,这符合几何概型的条件. 拓展 某公共汽车站，每隔10分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3 分钟，⑴ 求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ⑵ 求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率； ⑶ 求乘客到达车站立即上车的概率. 例3 在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求|AM|?|AC|的概率． 分析：点M随机结果构成的区于图2中线段构 成 事 件 地落在线段AB上，故线段AB为试验所有域．在AB上截取AC??AC，则当点M位 AC?内时，|AM|?|AC|，故线段AC即为 | |AM|?|AC的区域． 总结：将此类几何概型问题 “长度”化是关键. 目标检测 1．在区间 [0,3]内随机地取一个数，则这个数大于2的概率是 111( ) A． B． C． D．1 2342.两地相距3m的木杆上系了一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与 15 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 两端距离都大于1m的概率是 （ ） 1112A． B． C． D． 23433.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率是 （ ）A． 1332 B． C． D． 25434．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒， 当某人到达路口时看见红灯的概率是（ ） 1234A． B． C． D． 55555．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率是（ ） 1111A． B． C． D． 23486．猪八戒每天早上7点至9点之间起床，它在7点半之前起床的概率______.（将问题转化为时间长度） p17（选做）设p在[0，5]上随机地取值，求方程x2?px???0有实根的概率。 42提示：点P在[0，5]上随机取值，故[0，5] 为试验所有结果构成的区域D，又一元二次方程有实数根???0?p??1或p?2,所以 d?[0,5]?{p??1或p?2} 【课堂小结】 1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、角度、面积或体积. 2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率. 3、使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例. 纠错矫正 总结反思 16 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) §3.3.1 几何概型（二） 学习目标 （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P(A)?构成事件A的区域 d 的长度（面积、角度或体积）； 试验的全部结果所构成的区域 D 的长度（面积、角度或体积）（3）会把相应的几何概型问题“角度”化、“面积”化、“体积”化. 重点难点 重点: 几何概型的概念及应用. 难点: 对几何概型的理解，将问题“角度”化、“面积”化、“体积”化. 学法指导 处理几何概型的主要思路是问题“长度”化、 “面积”化、“角度”化或“体积”化. 知识链接 几何概型的概率公式及其应用. 问题探究【典型例题】 测量面积 一般的对于两个平面区域d，D，且d?D，点P落在区域D内每一点上都是等可能的，当D是个平面图形，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的面积有关时，一般有 P(A)?d 的面积.D 的面积 例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是等可能的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。 练习：如图１是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹，则这个地图的面积为______平方米．分析：雨点落在地图上的概率问题是几何概型，用面积比计算． 雨点打在地图和板上是随机的，地图上有9个雨点痕迹，板上 其他位置有18个雨点痕迹，由此计算雨点落在地图上的概率，反过来推导地图面积． 17 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 例2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？ 分析：送报人到达的时刻与父亲离开家的时刻是相互独立且是等可能的，所以应该引入两个变量来求解. 设送报人到达的时间为x(6.5≤x≤7.5)，父亲离开家的时刻为y(7≤y≤8)事件A对应于不等关系“y≥x”.怎样建立x与y之间的关系才能解决这一不等关系呢？ 自然我们就想到建立二维平面直角坐标系，将x与y之间的关系向点（x, y）转化，用点来解决。试验全部结果所构成的区域 D?{(x,y)|6.5?x?7.5,7?y?8}，面积SD?1?1?1，事件A所构成的区域 d?{(x,y)|6.5?x?7.5,7?y?8,y?x},Sd?1?一个几何概型. 1117???，这是2228 练习 从?0,1?开区间中随机取两个数，求下列情况下的概率： 1⑴ 两数之和小于1.2；⑵两数平方和小于. 4 【典型例题】 测量角度 对于两个平面区域d，D，且d?D，当D为平面图形时，如果点P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的，注意观察角度是否等可能，若只与角度有关，则可以选择角度作为事件A所构成的区域． 例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在?xOT内的概率． 分析：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的．落在?xOT内的概率只与?xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 例4 在等腰Rt?ACB中，过直角顶点C在?ACB内部任做一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率。 18 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 分析：因为过一点 例4图作射线是均匀的，所以基本事件“射线 CM落在?ACB内任一处”是等可能的,且对应于角?ACM.所以使|AM|<|AC|的概率只与?ACC1(点C1在线段AB上，且|AC|=|AC1|)的大小有关系，这符合几何概型的条件． M B 注 对比§3.3.1 几何概型（一）例3你会发现此类题目容易与长度型的几何概率问题混淆。 A 解决本题的关键是找准基本事件的对应点，保证所给概率问题的等可能性，才能得出与原题对应的正确解答。 C 【典型例题】 测量体积 对于两个区域d，D，且d?D，当D为三维空间时，当点P落在D每一处 都是等可能的，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的体积有关时，可以选择体积作为事件A所构成的区域． 例5 在1升高产小麦种子中混入了一个带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？ 分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。 目标检测 S1．向面积为S的?ABC内任投一点P，则?PBC的面积小于的概率为（ ） 21332A． B． C． D． 25432. (选做)A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点，得到弦AB,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) 1213 A. B. C. D. 23423．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定 4．(选做)在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7．现在向该矩形内随机投一点P，则?APB?900时的概率是 . 19 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 5.在棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1中做四棱锥M?ABCD，使四棱锥 1M?ABCD的体积小于的概率是 . 666．在区间(0,1)中随机地取出两个数，这两个数的和小于的概率是 ． 5【能力提升】 ?AOB?60?，OA?2，OB?5，7.如图，在线段OB上任取一点C，试求：(1)?AOC为钝角三角形的概率 (2)?AOC为锐角三角形的概率． A8.（会面问题）甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人 20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.（见下图所示） OxC－20 D－y= B 20 20 x－y=20 练习 9. (选做) 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三 角形的概率． 纠错矫正 总结反思 20 xy 10 5 O 5 10 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) §3.4 互斥事件 学习目标 （1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立 事件的概念； （2）概率的几个基本性质： 1）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B). （3）正确理解和事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 重点难点 重点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的概念，以及互斥事件的加法公式. 难点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的区别与联系. 学法指导 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养类比与归纳的数学思想。 知识链接 1. 集合之间包含与相等关系、集合的交、并、补运算 问题探究 【提出问题】 1.两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识． 【探究新知】（一）：事件的关系与运算 在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝， C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝， C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝， D1＝｛出现的点数不大于1｝， D2＝｛出现的点数大于4｝， D3＝｛出现的点数小于6｝， E＝｛出现的点数小于7｝， F＝｛出现的点数大于6｝， G＝｛出现的点数为偶数｝， H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 思考1：上述事件中,是必然事件的有 ，是随机事件的有 ， 是不可能事件的有 . 21 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 思考2：如果事件C1发生，则一定有 发生。在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述? 思考3：一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称 。 (或称 ),记作 (或___ _ ).与集合类比,不可能事件记作___ .可知, ___ 都包含不可能事件. 思考4：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点,这两个事件之间的关系应怎样描述？ 思考5：一般地，当两个事件A、B满足___ ___ ___ ___ ___ ，称事件A与事件B相等？ 思考6：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？ 思考7：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或 ),记作 (或 ). 思考8：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）. 如: 在上述掷骰子试验中, ?___＝___. 思考9：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？ 思考10：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？ 例如: 在掷骰子试验中, G?H为不可能事件, G?H为必然事件,所以G与H互为对立事件. 思考11：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？ 【探究新知】（二）：概率的几个基本性质 性质一：概率的取值范围是___ ，必然事件、不可能事件的概率分别是 . 思考1: 如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A?B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得 性质二：概率的加法公式 性质三：如果事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为___ 事件, 那么P(A∪B)= ___ 则P(A?B)?P(A)?P(B)=1. P(B)? ； P(A)? . 例1: 在掷骰子试验中,G和H互为对立事件,因此P(G)?1?P(H). 思考2: 如果事件A与事件B互斥， 那么P(A)?P(B) ___ 1.(填大小关系) 22 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) 思考3: 对于任意两个事件A、B， P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大吗？ P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小吗？ 【例题讲评】 例1 某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环． 例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件 11A）的概率是，取到方片（事件B）的概率是，问：（l）取到红色牌（事件C） 44的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 例3 经统计，在某高中食堂某些窗口等候打饭的人数及相应概率如下： 排队0 1 2 3 4 5人人数 及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 至少2人排队等候的概率是多少？至少3人排队等候的概率是多少？ 例4一箱新产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件产品，给出事件： （1）恰有一件次品与恰有两件次品（2）至少有一件次品与全是次品（3）至少有一件正品与至少有一件次品 （4）至少有一件次品与全是正品. 判断以上各事件哪些是互斥事件，哪些是对立事件，哪些既不是互斥事件也不是对立事件 . 目标检测 1、从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任两个数,分别有下列事件： ①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； 23 邳州市铁富高级中学 (数学苏教版必修三) ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是（ ） A. ① B.②④ C.③ D.①③ 112、甲、乙两人下棋，两个人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则乙输 32的概率为 （ ） 1151A. B. C. D. 2 6 6 3 3、从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个白球, 都是白球. B.至少有1个白球, 至少有1个红球. C. 恰有1个白球, 恰有2个白球. D.至少有1个白球,都是红球. 4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2 11点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是__ . 265、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，则该射手在一次射击中,射中10环或9环的概率是__ ；少于7环的概率是__ . 6、一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给以下四个事件：A.恰有1件次品；B.至少有2件次品；C.至少有1件次品；D.至多有1件次品；并给出以下结论：①A+B=C；②B+D是必然事件；③A+C=B；④A+D=C；其中正确的结论为 (写出序号即可). 7、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,求： ⑴他乘火车或乘飞机去的概率； ⑵他不乘轮船去的概率； ⑶如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的？ 纠错矫正 总结反思 24