第七章多元函数微分学
偏导数与全微分的概念偏导数与全微分的计算
偏导数的应用
§1、基本概念多元函数
二元函数极限二元函数连续性
一、平面点集的基本概念
2平面上一切点的集合称为二维空间，记为R，即
R??(x,y)|x,y?R?2空间内一切点的集合称为三维空间，记为R3，即
R??(x,y,z)|x,y,z?R?3下面，仅介绍平面集合的有关概念，它们可推广
至空间点集。
1、邻域
设有平面点P0(x0,y0),δ为一正数，称集合
U(P0,?)?(x,y)|(x?x0)?(y?y0)???22??为点P0的δ-邻域，
22?U(P0,?)?(x,y)|0?(x?x0)?(y?y0)???称为点P0的去心δ-邻域。
2、区域
设E为平面集，P为E中点。如果存在P的一个邻域U(P)?E,则称P为E的内点.
yδP0(x0,y0)Ox如果平面集E的点全是其内点,则称E为开集.如果点P的任意邻域内总有属于E的点,也有不属于E的点,则称P为平面集E的边界点;E的边界点的全体称为E的边界.
如果平面集E内任意两点均可用全含于E内的折线连接起来,则称E为连通集.边界点连通的开集称为区域;区域连同其边界称为闭区域.3、聚点
设E为平面集,P为一平面点.如果P的任意邻域内总有无穷多个E中的点,则称P为E的聚点.
yE内点Ox
4、有界集与无界集
如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内,则称E为有界集;否则称之为无界集.
yyOxOx二、多元函数概念
定义1设有三个变量x、y、z和平面点集D。
如果对于任意的(x,y)∈D，变量z按一定规律均有唯一确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元函数，记为
z?f(x,y)注意：1、二元函数定义域为平面点集；2、二元函数的图形一般为曲面。
类似，可定义三元函数：
u?f(x,y,z)(x,y,z)???R.3一般，可定义n元函数：
u?f(x1,x2,?,xn)(x1,x2,?,xn)???R.n二元及其以上函数称为多元函数，或n元函数。由一元函数推广到多元函数，除了形式上的变化外，应特别注意本质上的一些变化。例如，可微、可导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一元函数已经大不相同。
由一元函数推广到多元函数所发生的本质变化主要表现在一元函数到二元函数之间，至于二元函数与三元及其以上函数之间没有本质差异，只是描述的空间维数上有所变化。
一元函数和多元函数可以统一定义为点函数：
u?f(P)P???R.。a?x?y?z2222n【例1】求下列函数的定义域：（1）z?ln(x?y?1)；（2）u?〖解〗（1）要使函数有意义，
必需
yx?y?1?0x?y?1?0故得函数定义域为
1D?{(x,y)|x?y?1?0}.O1x（2）要使函数有意义，必需
a?x?y?z?0故得函数定义域为
2222??{(x,y,z)|x?y?z?a}.【例2】已知
2222f(x?y,x?y)?x?y?1求f(x,y).【解】令u?x?y,v?x?y,可得故
22f(u,v)?uv?1,f(x,y)?xy?1.□
三、二元函数极限
义. 如果对于任意的正数ε,均有正数δ存在,使得对满足定义2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域内有定0?|PP0|?(x?x0)?(y?y0)??22的一切点P(x,y)恒成立|f(x,y)?A|??则称常数A为函数f(x,y)当点(x,y)趋向(x0,y0)时的二重极限,记为x?x0y?y0limf(x,y)?A1、二重极限存在的充要条件是动点(x,y)以任何方式(方向,曲线)趋向定点(x0,y0)时,相应的极限均存在且相等;
2、当动点(x,y)以某种方式趋向定点(x0,y0)时,
相应的极限不存在，或以两种方式趋向定点(x0,y0)时,相应的极限虽均存在但不相等，则二重极限不
存在。
3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地在重极限中加以应用.
【例3】求下列极限：
sinxyxylimlim(1) ;(2) .x?0x?0xxy?1?1y?ay?0〖解〗(1)重要极限+极限四则运算法则sinxysinxylim?lim?limy?1?a?ax?0x?0x?0xxyy?ay?ay?a(2)有理化+极限四则运算法则+复合函数极限
法则
limx?0y?0xyxy(xy?1?1)?lim?0(xy?1?1)(xy?1?1)xy?1?1xy?0x?0y?0?lim(xy?1?1)?lim(xy?1)?1?2.x?0y?0□
四、二元函数连续性
定义3如果limf(x,y)?f(x0,y0)，则称函数
x?x0y?y0函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。二元函数的间断点可以形成一条曲线。
类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质[有界定理，最值定理，介值定理]在有界闭区域上二元连续函数也同样成立。
多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数；多元初等函数在其定义区域内连续。
【例4】设函数
?xy22?22,x?y?0,f(x,y)??x?y22?x?y?0,?0,讨论其在点(0,0)处的极限和连续性.
〖解〗因为(0,0)是分段函数的分界点,且
xylimf(x,y)?lim22?lim0?0;x?0x?0x?yx?0y?0y?0xylimf(x,y)?lim22?lim0?0;x?0x?0x?yy?0y?0y?0但由此并不能确定所求极限存在与否。
现考虑动点(x,y)沿直线y=kx趋向(0,0)情形：
kxkklimf(x,y)?lim?lim?;2x?0x?0(1?k2)x2x?01?k21?ky?kx显然，此路径极限因k而异，故所求极限
2limf(x,y)x?0y?0不存在，从而，函数在原点处不连续。
□
五、二元函数偏增量与全增量
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的邻域内有定义.
增量
?xz?f(x??x,y)?f(x,y)?yz?f(x,y??y)?f(x,y)分别称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处关于x和关于y的偏增量；而增量
y(x,y??y)(x??x,y??y)(x??x,y)(x,y)?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)称为函数z=f(x,y)在点(x,y)
Ox处的全增量。
§2、偏导数偏导数概念
显函数偏导数的计算
一元函数导数定义式定义1设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义。如果极限?zf(x??x,y)?f(x,y)0000?lim?x?xx?x?0?xy?y00一、偏导数存在(有限值),则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x可导,并称其极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x的偏导数,记为?z?f,fx?(x0,y0),z?.xx?x0,y?y0?xx?x0?x0?xxy?yy?y00同理,函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于y的偏导数
f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?z?lim?yx?x0?y?0?yy?y01、当fx(x0,y0),fy(x0,y0)均存在时,称函数z=f(x,y)
在点(x0,y0)处可导;
2、如果z=f(x,y)在区域D内每一点处均可导,则称函数z=f(x,y)在区域D内可导;此时,存在偏导函数,记为
?z?f,fx(x,y),zx,?x?x?z?f,fy(x,y),zy,?y?y
三、全微分的计算
方法1利用偏导数和全微分迭加公式
z?f(x,y):u?f(x,y,z):?z?zdz?dx?dy?x?y?u?u?udu?dx?dy?dz?x?y?z方法2利用全微分形式不变性和微分公式与微分法则
【例2】设函数z?ln(3x?2y?e)，求dz(1,0).〖解〗方法1（公式法）
xy因为
?z3?ye?z?2?xe?,?,xyxy?x3x?2y?e?y3x?2y?e在点(1,0)处连续[初等函数连续性]，且
xyxy故
?z3?z1?,??,?x(1,0)4?y(1,0)4?z?z31dz(1,0)?dx?dy?dx?dy.?x(1,0)?y(1,0)44方法2（微分法）
?dz?dln(3x?2y?e)1xy?d(3x?2y?e)xy3x?2y?e1xy?[3dx?2dy?ed(xy)]xy3x?2y?e1xy?[3dx?2dy?e(ydx?xdy)]xy3x?2y?e(3?ye)dx?(?2?xe)dy?xy3x?2y?exyxyxy31?dz(1,0)?dx?dy.44注意：由全微分可求得偏导数：
?z?zdz??dx?Bdy???,?B.?x?y?u?u?udu??dx?Bdy?Cdz???,?B,?C.?x?y?z这也是求偏导数的一个好方法。
利用微分形式不变性直接求全微分方便之处在
于一开始不需区分自变量与函数，一视同仁地应用一元函数微分公式与微分法则，只是在最后解出函数的微分即可。对复合函数与隐函数尤感方便！
【例3】求函数u?x的全微分du.〖解〗方法1（迭加公式法）
yz因为
?u?uyz?1?uyzyz?yzx,?zxlnx,?yxlnx,?x?y?z在点(1,0)处连续[初等函数连续性]，故
yz?1yzyzdu?yzxdx?zxlnxdy?yxlnxdz.方法2（直接微分法）
du?dx?deyzyzlnx?eyzlnxd(yzlnx)