第一卷（选择题，共60分）
一．
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.命题：\?x?R,x3?x2?1?0\的否定是（ ）
A. \有些x?R,x3?x2?1?0\； B. \?x?R,x3?x2?1?0\；C. \?x?R,x3?x2?1?0\； D. \?x?R,x3?x2?1?0\
y2x22． 双曲线2??1的焦距是 （ ） 2m?124?mA．4 B．22 C． 8 D．与m有关
3. 已知命题p：2?{x|(x?2)(x?3)?0} ，命题q：??{0}，下列 判断正确的是：（ ）
A. p假q真 B. \p?q\为真 C. \p?q\为真 D. ?p为真 4．已知椭圆的焦点 ，，是椭圆上一点，且 等差中项，则椭圆的方程是 （ ）
A．
B．
是
，
C． D．
2
5. 2x－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ） A．－＜x＜3 C．－3＜x＜
1212B．－＜x＜0 D．－1＜x＜6
12
x2y2x2y2??1与曲线??1(k?16)的（ ） 6. 曲线
251625?k16?kA、长轴长相等 B、短轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等
7. 命题：“若x2?4，则?2?x?2”的逆否命题是（ ）
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A. 若x2?4，则x?2，若x??2 B. 若?2?x?2，则x2?4
C. 若x?2，或x??2，则x2?4 D. 若x?2，或x??2，则x2?4
8．方程mx?ny2?0与mx2?ny2?1(m?n?0)的曲线在同一坐 标系中的示意图应是（ ）
9、
知点P是抛物线x2?4y上的动点，F为抛物线的焦点，且又有点M(3,3)，要使|PM|?|PF|值取最小，则点P的坐标为 （ ）
99 A. (3,?) B. (3,) C. (?23,3) D. (23,3).
44110．已知点(x,y)在抛物线y2?4x上，则z=x2+y2+3的最小值是 （ ）
2A.2 B. 0 C.4 D. 3
11. 设x1,x2?R，常数a?0，定义运算“*”：x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2，若
x?0，则动点P（x,x?a）的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
x2y212.如图，F1,F2分别是椭圆2?2?1 (a>0,b>0)的两个焦点，A和B是以O为
ab圆心，以｜OF1｜为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( ) A.31 B. 22 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
C.
2 D.3?1 2第二卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、抛物线y?4x2的焦点坐标是 ．
14、 过点（2，－2）与双曲线x2?2y2?2有公共渐近线的双曲线方程为 15、下列各小题中，p是q的充要条件的是 ①p：m?6或m??2；q：y?x2?mx?m?3有两个不同的零点． ②p:f(?x)?1；q:y?f(x)是偶函数． f(x)③p:cos??cos?；q:tan??tan?． ④p:A?B?A；q:CUB?CUA
????xy???xy?16、已知向量a??,曲线a?b?1上的一点M到F?7,0?的?,b??5,??，526??26??距离为11，N是MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本题满分10分）已知命题P：\?x?[1,2],x?a?0\；命题q：
\?x0?R,x02?2ax0?a?2?0\若命题p?q为假命题，且p?q为真命题，求实数
12a的取值范围
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2219．（本题满分12分）已知双曲线的方程是16y?9x?576
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐进线方程；
（2）设F1,F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且PF1PF2?108，求cos∠F1PF2的值．
20．（本题满分12分）已知动点P的轨迹是曲线C，满足点P到点F(?4，0)的距离与它到直线l:x??1的距离PQ之比为常数，又点(2，0)在曲线C上．
（1）求曲线C的方程； （2）是否存在直线y?kx?2与曲线C交于不同的两点M和N，且线段MN的中点为A（1，1）。若存在求出求实数k的值，若不存在说明理由。
x221、（本题满分12分）在直角坐标系中，曲线C1的方程为?y2?1，曲线C1经
4?x??2x过伸缩变换?变成曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极
?y?3y??坐标系中，曲线C3的极坐标方程为?sin(??)?52．
4（1）求曲线C2的方程,并将曲线C3的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）若Q是曲线C2上一点，P是曲线C3上的一点，求P、Q两点间的最短距离，
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及相应的Q的坐标．
x2y2622、（本题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴
ab3一个端点到右焦点的距离为3． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3，求2?AOB面积的最大值．
海南中学2012—2013学年第一学期期中考试
高二数学理科试卷（答案）
三、解答题
17、解：命题P：由a?x在?x?[1,2]可得
12?a?(x)min?1……………………………………2分 命题q：即方程x2?2ax?a?2?0有实数解
12???(2a)2?4(?a?2)?0
得a?1或a??2???? ????4分
p?q为假命题，且p?q为真命题
?a?1??2?a?1???????7分 ①p真q假???2?a?1 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
?a?1?a?1 ②p假q真??a?1或a??2取值范围a?(?2,1)?(1,??)????????10分
??x?1?tcos??618、解：（1）直线的参数方程为?， （t为参数）?y?1?tsin??6??3x?1?t??2即?． ??????3分 （t为参数）?y?1?1t??2曲线C的普通方程为x2?y2?4 ??????6分
?3x?1?t??2代入x2?y2?4， （2）把直线??y?1?1t??2 得(1?321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0，??8分 22t1t2??2，??????10分
则点P到A,B两点的距离之积为2．??????12分
y2x219、解：（1）由16y?9x?576得??1
366422?a?6,b?8,c?10
焦点坐标为：?0,?10? ??????2分
5 ??????4分 33渐近线方程：y??x ?????6分
4离心率为：e?（2）不妨设P为双曲线上支上一点，F1,F2分别为双曲线的上下焦点，则有：
PF2?PF1?12
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?PF2?2PF2PF1?PF1?PF2?PF12222?144
?360????????9分
222cos∠F1PF2=
PF1?PF2?F1F22PF1PF2PFPQ??5????12分 2720、解：（1）设P(x，y)，且
0)在曲线C上，∴e?∵点(2，?e（常数）????1分
2?(?4)?2．????2分 2?(?1)(x?4)2?y2x2y2∴??2．整理，得??1．????4分 PQx?1412PF?y?kx?2，?（2）由?x2y2得(3?k2)x2?4kx?16?0，????6分
?1，???4122??3?k?0，则? ????8分 22????(4k)?4?(3?k)?(?16)?0．解得?2?k?2，且k??3．
实数k的取值范围?2?k?2，且k??3，????10分 设M?x1,y1?，N?x2,y2?则 x1?x22k???1 223?k解得k=3或k=-1????11分
-1?k?2?k?2,且k??3，故k=-1（舍去）????12分 若用“点差法”酌情给分。
??x??2x?x?21、解： 由?得???y?3y?y????1x?2x2代入?y2?1得
14y?31242x?2y?2x??y??4得??1 49169x?2y?2??1 ????3分 曲线C2的方程为169???由?sin(??)?52得?sin?cos??cos?sin?52
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曲线C3的直角坐标方程为x?y?10????6.分 （2）Q是曲线C2上一点，所以得Q(4cos?,3sin?)
Q到直线x?y?10的距离
d?4cos??3sin??102?5sin(???)?102
其中sin??43?,cos??,0??? 552?当sin(???)?1时,d的值最小，为52 2所以，P、Q两点间的最短距离为
?当sin(???)?1时,d的值最小取????52????9分 2?2,
34?sin??cos??,cos??sin??55169所以所求点Q为(,) ?????12分
55
将c?5代入（*）的x?16 5
169所以所求点Q为(,)????12分
55
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?c6?，?22、解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3
?a?3，?x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1．???4分
3（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（1）当AB⊥x轴时，AB?3 ???5分 （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y?kx?m． 由已知m1?k2?33，得m2?(k2?1)．???7分
42把y?kx?m代入椭圆方程，整理得
(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，???8分 3(m2?1)?6km，x1x2?．???9分 ?x1?x2?23k2?13k?1?36k2m212(m2?1)???AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)?2? 22(3k?1)3k?1??222212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)??
(3k2?1)2(3k2?1)212k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4．
19k?6k2?12?3?629k?2?6k
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