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第八编 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1.下列不正确的命题的序号是 .
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 答案 ①②③
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 答案 60°
3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 cm.
2
基础自测
答案 (20+42)
4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 . 答案
4? 35.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 . 答案
例1 下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
62
a 16级组、学校使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL成绩录入系统(免费)http://www.skycn.com/soft/55716.html
个人、备课组使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL登分王(免费)http://www.skycn.com/soft/25875.html ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 ①②③
解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定 是棱锥.
②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.
③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.
例2 （14分）已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积. 解 建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的 高.
3分 6分
把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A、B点即为A′、 B′点，AB=A′B′.
已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中， 由正弦定理得
OCA'C'=，
sin?OA'C'sin45? 9分
所以OC′=
sin120?sin45?a=
6a, 2
12分
14分
所以原三角形ABC的高OC=6a， 所以S△ABC=
162
×a×6a=a. 22例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.
解 由三视图易知，该正三且AA′=BB′=CC′=4cm,正为23cm.
∴正三角形ABC的边长为
棱柱的形状如图所示：
三角形ABC和正三角形A′B′C′的高
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|AB|=
23sin60?=4.
∴该三棱柱的表面积为 S=3×4×4+2×
122
×4sin60°=48+83(cm). 2123
×4sin60°×4=163(cm). 2体积为V=S底·|AA′|=
23
故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm,体积为163cm.
例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积. 解 如图所示，△ABE为题中的三角形， 由已知得AB=2，BE=2×BF=
3=3, 222348BE=,AF=AB2?BF2=4?=, 3333∴△ABE的面积为 S=
118×BE×AF=×3×=2. 223∴所求的三角形的面积为2.
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 答案 ①③④
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .
2答案 22a
3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S.
解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点. ∴该几何体的体积 1×8×6×4=64. 3V=
（2）如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则 VE=VO2?OE2=42?32=5
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∴S△VAB=
11×AB×VE=×8×5=20 22侧面VBC中，VF⊥BC，
则VF=VO2?OF2=42?42=42. ∴S△VBC=
11×BC×VF=×6×42=122 22∴该几何体的侧面积 S=2（S△VAB+S△VBC）=40+242.
4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm. 答案 2+42
2
一、填空题
1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 . 答案 ①②
2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 .
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案 ④③②
3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .
答案 ②④
4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：
根据三视图回答此立体模型的体积为 . 答案 5
5.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O
截得的线段长为 .
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答案 2
6.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为?，则球的体积为 . 答案
82? 37.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.
答案 9 14
8.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）
答案 ②③ 二、解答题
9.正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形. ∵A1B1=4 cm，AB=16 cm， ∴O1E1=2 cm，OE=8 cm， O1B1=22 cm，OB=82 cm， ∴B1B=O1O+（OB-O1B1)=361 cm， E1E=O1O+（OE-O1E1)=325 cm， ∴B1B=19 cm，E1E=513cm.
答 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513cm.
10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S， 在Rt△SOA中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°， ∴SO=AO=3x，∴OO1=2x， 又S轴截面=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1（6x+2x）·2x=392，∴x=7. 2级组、学校使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL成绩录入系统(免费)http://www.skycn.com/soft/55716.html
个人、备课组使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL登分王(免费)http://www.skycn.com/soft/25875.html 故圆台的高OO1=14 (cm)， 母线长l=2O1O=142 (cm)， 两底面半径分别为7 cm,21 cm.
11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解 如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7， 在Rt△SOA中， OA=SA2?OS2=2， ∴AC=4.
∴AB=BC=CD=DA=22.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点. 连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE. 在Rt△SOE中，∵OE=
1BC=2，SO=3， 2∴SE=5，即侧面上的斜高为5.
12. 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.
解 这个几何体不是棱柱；
在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.
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§8.2 空间几何体的表面积与体积
1.（2008·山东）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .
基础自测
答案 12?
2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=积为 .
1A1B1，则多面体P-BCC1B1的体4
答案
16 33.如图所示，一个空间几何体的正视图、左视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 .
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答案 ?
4.已知正方体外接球的体积为
32?,那么正方体的棱长等于 . 3答案
43 35.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 答案 9?
6.三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S—ABC的表面积是 . 答案 3+3
例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0. 求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长. 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.
三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：
(a?b)2?c2=a2?b2?c2?2ab，
a2?(b?c)2=a2?b2?c2?2bc， (a?c)2?b2=a2?b2?c2?2ac， ∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0. 故最短线路的长为a2?b2?c2?2bc.
例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体, 求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
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个人、备课组使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL登分王(免费)http://www.skycn.com/soft/25875.html 解 如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=3R,BC=R,CO1=∴S球=4?R, S圆锥AO1侧=?×S圆锥BO1侧=?×
2
3R, 2332
R×3R=?R,
2233R×R=?R2, 22∴S几何体表=S球+S圆锥AO1侧+S圆锥BO1侧 =
11311?3?R2+?R2=?R2, 222∴旋转所得到的几何体的表面积为又V球=
11?3?R2. 2411?R3,V圆锥AO1=·AO1·?CO12=?R2·AO1
4331122
BO1·?CO1=BO1·?R
43V圆锥BO1=
∴V几何体=V球-（V圆锥AO1+V圆锥BO1） =
415?R3-?R3=?R3. 326例3 如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′， 求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解 已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh. 而棱锥C—A′DD′的底面面积为因此，棱锥C—A′DD′的体积 VC—A′DD′=
1S，高是h, 2111×Sh=Sh. 32615Sh=Sh. 66余下的体积是Sh-
所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
例4 （14分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分
别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.
解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体. 取EC的中点G，连接DG、AG， 过球心O作OH⊥平面AEC. 则垂足H为△AEC的中心.
4分
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
2分
方法一 作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.
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∵AG=
336，AF=1?()2=，
323 6分
在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，
33?AG?AH33=6. AH=.∴OA==2AF3463∴外接球体积为
10分
44666= ?×OA3=·?·?.
33843 14分
方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球. ∵正四面体的棱长为1， ∴正方体的棱长为
6分
22，∴外接球直径2R=3·， 223 10分
?6?46?=6?. ∴R=，∴体积为?·??4?348??∴该三棱锥外接球的体积为
12分
6 ?. 8 14分
1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2. P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 . 答案 52
2.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 . 答案 1∶1
3.如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm， 求三棱锥A—BCD的体积. 解 取BC中点M，连接AM、DM， 取AD的中点N，连接MN ∵AC=AB=CD=BD， ∴BC⊥AM，BC⊥DM， 又∵AM∩DM=M，
∴BC⊥平面ADM，BC=18， AC=AB=DB=DC=17. ∴AM=DM=413， ∴NM⊥AD，∴MN=83.
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∴S△ADM==
1·MN·AD 21·83·8=323. 2∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM =
11×S△ADM×（BM+CM）=×323×18 333
=1923（cm）.
4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为2a. （1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积.
解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心， 即△SAC的外接圆半径就是球的半径. ∵AB=BC=a，∴AC=2a.
∵SA=SC=AC=2a，∴△SAC为正三角形. 由正弦定理得2R=
AC2a26??a，
sin?ASCsin60?3因此，R=
46863
a，V球=?R=?a3.
3327（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E， 作SF⊥BC于F，连接EF， 则有SF=SB2?BF2
a7=(2a)2?()2?a.
22S△SBC=
11772
BC·SF=a×a=a. 22242
S棱锥全=4S△SBC+S底=（7+1）a.
又SE=SF2?EF2=(∴V棱锥=
72a6a)?()2=a， 222112663S底h=a×a=a. 3326∴r=
3V棱锥S棱锥全2
63a6??(7?1)a23?42?6a, 12S球=4?r=
4?7?a2. 3
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1. 如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 .
答案
1 242.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 . 答案 48
3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=2r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 . 答案 4?
4.（2007·辽宁文，15）若一个底面边长为此球的体积为 . 答案 43?
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 . 答案 24?
6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积 是 . 答案
6，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则23 43，则该正37.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为四棱柱的体积等于 . 答案 2
8.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= . 答案 1+二、解答题
9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是（1）求三棱台的斜高；
（2）求三棱台的侧面积和表面积.
解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示， 则O1O=
2 63 cm, 23，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高； 2级组、学校使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL成绩录入系统(免费)http://www.skycn.com/soft/55716.html
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过D1作D1E⊥AD于E，则D1E=O1O=
3， 2因O1D1=
333×3=,OD=×6=3, 62633=. 22则DE=OD-O1D1=3-在Rt△D1DE中,
33D1D=D1E2?ED2=()2?()2=3.
22(2)设C、C′分别为上、下底的周长，h′为斜高， S侧=
112732
（C+C′）h′= (3×3+3×6)×3=(cm), 222S表=S侧+S上+S下=
27333993222
+×3+×6= (cm). 244427399322
cm，表面积为 cm.
42故三棱台斜高为3 cm,侧面积为
10.如图所示，正△ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后. （1）∠MNP等于多少度？
（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？ 解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示， △MNP为正三角形，故∠MNP=∠DAF=60°.
（2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台， 其侧面积为S侧=SE—ADF侧-SE—MNP侧 =3×
339322
×2-3××1=. 4441CC1. 411.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2， E是棱CC1上的点，且CE=
（1）求三棱锥C—BED的体积； （2）求证：A1C⊥平面BDE. （1）解 ∵CE=∴VC—BDE=VE—BCD==
11CC1=， 421S△BCD·CE 31111××1×1×=. 32212
(2)证明 连接AC、B1C.
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个人、备课组使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL登分王(免费)http://www.skycn.com/soft/25875.html ∵AB=BC，∴BD⊥AC. ∵A1A⊥底面ABCD, ∴BD⊥A1A. ∵A1A∩AC=A， ∴BD⊥平面A1AC. ∴BD⊥A1C. ∵tan∠BB1C=
BC1=, B1B2tan∠CBE=
CE1=,∴∠BB1C=∠CBE. CB2∵∠BB1C+∠BCB1=90°,
∴∠CBE+∠BCB1=90°,∴BE⊥B1C. ∵BE⊥A1B1，A1B1∩B1C=B1， ∴BE⊥平面A1B1C，∴BE⊥A1C.
∵BD∩BE=B，BE?平面BDE，BD?平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE.
12.三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VS—ABC最大，并求最大值. 解 方法一 如图所示， 设SC=a，其余棱长均为1， 取AB的中点H，连接HS、HC， 则AB⊥HC，AB⊥HS， ∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC. 在△SAB中，SA=AB=BS=1， ∴SH=
3， 23sin?， 2设∠SHO=?，则SO=SHsin?=∴VS—ABC=
1S△ABC·SO 3==
1332
××1×sin? 34211sin?≤. 88当且仅当sin?=1，即?=90°时，三棱锥的体积最大. a=2SH=2×∴a为
136=，Vmax=.
82216时，三棱锥的体积最大为.
82方法二 取SC的中点D，可通过VS—ABC=等式或配方法解决.
1S△ABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不3级组、学校使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL成绩录入系统(免费)http://www.skycn.com/soft/55716.html
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§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础自测
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1.给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；
④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 . 答案 4
2.对于平面?和直线l，?内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）. 答案 垂直
3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分. 答案 7
4.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示）
答案
n(n?1) 8 n(n-2) 2
5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 .
答案 60°
例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=
3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH∶HD；
（2）求证：EH、FG、BD三线共点. (1)解 ∵
AECF==2，∴EF∥AC. EBFB级组、学校使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL成绩录入系统(免费)http://www.skycn.com/soft/55716.html
个人、备课组使用的最好成绩录入及分析软件－EXCEL登分王(免费)http://www.skycn.com/soft/25875.html ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH. ∴
AHCG==3,即AH∶HD=3∶1. HDGDEF1GH1=，=， AC3AC4（2）证明 ∵EF∥GH,且
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH?平面ABD， P∈FG，FG?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
例2 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 解 （1）不是异面直线.理由如下： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点. ∴MN∥A1C1，
又∵A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内， 故AM和CN不是异面直线. （2）是异面直线，证明如下： 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1. ∴BC?平面CC1D1，
这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾. ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
例3 （16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°， 对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. （1）求四棱锥的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解 （1）在四棱锥P—ABCD中， ∵PO⊥平面ABCD，
∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角， 即∠PBO=60°， 在Rt△POB中， ∵BO=AB·sin30°=1，
又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=3, ∵底面菱形的面积S=2×
13×2×2×=23. 22 2分
∴四棱锥P—ABCD的体积
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VP—ABCD=
1×23×3=2. 3 8分
（2）取AB的中点F，连接EF，DF， ∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）. 在Rt△AOB中，
AO=AB·cos30°=3=OP， ∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=
10分
6. 2 12分
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=3， 由余弦定理得
DE2?EF2?DF2∴cos∠DEF=
2DE?EF(3)2?(=
662)?(3)222=4=. 43262?3?2 14分
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为
2. 4 16分
1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O三点共线. 证明 ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH?平面ABD.
∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD，
∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD， 所以B、D、O三点共线.
2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.
求证：直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1. 证明 由已知得E是CD的中点，在正方体中， 由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD， 所以AE?平面ABCD.
又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD. 同理G∈平面ABCD， 所以FG?平面ABCD.
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因为EC
1AB，故在Rt△FBA中，CF=BC， 2同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BC