3Tn?3?32?5?33?7?34??????2n?1??3n??2n?1??3n?1…………?
由?-?得
2Tn??2n?1??3n?1?2?3?3?????3?3??2n?1??323n2??n?132?3n?12?2??3?2n?3n?1
1?3所以数列?bn?的前n项和Tn?n?3n?1
(方法二)因为bn??2n?1??3n??3n??n?1???3n?n?3n?1??n?1??3n,所以Tn?n?3n?1
18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组?90,100?,...
第六组?130,140?,得到如右图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据 用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上 的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分） 以上的人数记为X，求X的分布列和期望 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，得: 成绩在[120，130）的频率为
1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；……………… …2分 所以估计该校全体学生的数学平均成绩为
85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107， 所以该校的数学平均成绩为107；……………… …4分 （Ⅱ）根据频率分布直方图得，
这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人， 而在?120,140?的学生共有0.12?50?0.08?50?10,……………… …5分 所以X的可能取值为0、1、2、3，……………… …6分 所以P（X=0）=
=
=， P（X=1）=
=
=，
y频率/组距0.030.0240.0160.010.008xO8090100110120130140分数 6
P（X=2）=所以X的分布列为
==
， P（X=3）=
==；…… …10分
数学期望值为EX=0×+1×+2×
19.如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且?BCD??BCE?，平面ABCD⊥平面BCEG,BC?CD?CE?2AD?2BG?2
2+3×=1.2．……………… …12分
?（Ⅰ）证明：AG//平面BDE;
（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值. 【解析】由平面ABCD?平面BCEG，平面ABCD?平面BCEG?BC,
E平面BCEG, ?EC?平面ABCD CE?B,CC?.………2分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
B(0,2,0），D(2，0,0），E(0，0，2），A(2,1,0)G(0,2,1)………….3分
??????????（Ⅰ）设平面BDE的法向量为m?(x,y,z)，则?EB?(0,2,?2),ED?(2,0,?2)
?EB?m?0????????????ED?m?0即????y?z?0 ， ?x?y?z，
x?z?0?,1)………………………………………………..5分 ?平面BDE的一个法向量为m?(1,1，?????????????????1?1?，?0?AG?m， ?AG?(?2,1, 1 ?AG?m?2 ?AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE. ……………………………………………….7分 （Ⅱ）设平面BAG的法向量为n??x,y,z?，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为?……….8分
因为BA??2,?1,0?,BG??0,0,1?,由n?BA?0,n?BG?0得??2x?y?0，……….10分?平面
?z?0BAG的一个法向量为n??1,2,0?，?cos??m?nm?n?1?215. ?53?5 7
故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为
15……….12分 5x2y2320. 如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左、右顶点分别为
ab2A1??2,0?,A2?2,0?.
过点D?1,0?的直线l与该椭圆相交于M、N两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问：是否存在 实数?，使得k2??k1？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）依题意可知a?2.?e?ylMA1ONDA2x3?c?3,?b?a2?c2?1. 2x2?y2?1……………… …4分 所以椭圆的方程为:4 （Ⅱ）(方法一)设直线的方程为y?k1?x?2?,直线NA2的方程为y?k2?x?2?.………… …5分
?y?k1?x?2???4k12?1x2?16k12x?16k12?4?0.……………… …7分 联立方程组?x22?y?1??4???2?8k124k1?解得点M的坐标为M??4k2?1,4k2?1??
1?1?2?8k2?24k2?同理,可解得点N的坐标为N??4k2?1,?4k2?1??.…… …9分
2?2?4k14k2?24k12?14k2?1?,化简有?4k1k2?1??k2?3k1??0.… …11分 由M,D,N三点共线,得22?8k128k2?2?1?124k12?14k2?1已知k1,k2同号,所以k2?3k1.故存在??3,使得成立.……………… …12分
?3??3?????(方法二)当直线l垂直于x轴时,M,N点的坐标分别为M1,?2?,N?1,?2?.所以此时直线与???? 8
的斜率分别为k1?33,k2?.有k2?3k1.……………… …6分 62由此猜想:存在??3满足条件.下面证明猜想正确.
当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y?k?x?1?,又设M?x1,y1?,N?x2,y2?.
?y?k?x?1???4k2?1x2?8k2x?4k2?4?0……………… …8分 联立方程组?x22?y?1??4??8k24k2?4y1y2?x1?x2?2,x1x2?2 ?k1? ,k2?4k?14k?1x1?2x2?2?k2?3k1?y23y1k?x2?1??x1?2??3k?x1?1??x2?2??2x1x2?5?x1?x2??8 ???k?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2?x2?2x1?24k2?48k2?22?52?8k?8k2?8?40k2?32k2?84k?14k?1?k?2??0… …11分
?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2?4k?1?k2?3k1.由此可得猜想正确.故存在??3,使得成立.……………… …12分
21.已知函数f?x???x?1??a?lnx?x?1?(其中a?R,且a为常数)
2 （Ⅰ）若对于任意的x??1,???,都有f?x??0成立,求a的取值范围;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下若方程f?x??a?1?0在x??0,2?上有且只有一个实根,求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由f??x??2?x?1??a??1??x?1??2x?a?知……………………… …1分 ?1??x?x? 当a?2时,?f??x??0对于x??1,???恒成立,?f?x?在?1,???上单调递增 ?f?x??f?1??0,此时命题成立;………………………… …3分 当a?2时,?f?x?在?1,?a??a??上单调递减,在?,???上单调递增, ?2??2? ?当x??1,?a??时,有f?x??f?1??0.这与题设矛盾,不合. 2?? 故a的取值范围是???,2?………………………… …5分
9
（Ⅱ）依题意a????,2?,设g?x??f?x??a?1,原题即为若g?x?在?0,2?上有且只有一个零点,求a的取值范围.显然函数g?x?与f?x?的单调性是一致的.
?当a?0时,因为函数g?x?在区间?0,1?上递减,?1,2?上递增,所以g?x?在?0,2?上的最小值为
g?1??a?1,
a?1??1?由于g?2???2?1??2?1?0,要使g?x?在?0,2?上有且只有一个零点,需满足g?1??0或
?e??e?e2;………………………… …7分 ln214?4 ?当a?2时,因为函数g?x?在?0,2?上单调递增,且ge?8?4?2?0,g?2??2?2ln2?0,
ee2g?2??0,解得a??1或a????所以此时g?x?在?0,2?上有且只有一个零点;………………………… …9分 ?当0?a?2时,因为函数g?x?在?0,??a??a??上单调递增,在?,1?上单调递减,在?1,2?上单调递增, 2??2?又因为g?1??a?1?0,所以当x??2a?2a?a?,2?时,总有g?x??0, 2???e?2a?2???2aa?2??2aa?2??2aa?2???a????1?a?2?g?e??a?2????alne?2a?2??e??e??0,
??????所以g?x?在?0,??a??a??上必有零点,又因为g?x?在?0,?上单调递增,从而当0?a?2时,g?x?在?0,2?2??2?上有且只有一个零点.………………………… …11分 综上所述,当0?a?2或a??个实根.
………………………… …12分
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
︵如图所示，AC为⊙O的直径，D为BC的中点，E为BC的中点． （Ⅰ）求证：DE∥AB；
A O
B D E C
2或a??1时,方程f?x??a?1?0在x??0,2?上有且只有一ln2 10