十、 由面积产生的函数关系问题
例1 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y??的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y?3x?3412x?bx?c的图像上，且该二次函数图8像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．
2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来． 3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．
满分解答
（1）由y??3x?3，得A(0,3)，C(4,0)． 4由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8． 因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)． 将B(－4,0)、D(8,3)分别代入y?12?2?4b?c?0, x?bx?c，得?8?8?8b?c?3.解得b??111，c＝－3．所以该二次函数的解析式为y?x2?x?3． 4844． 5（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝当PQ⊥AC时，
AQ45?t425． ?．所以?．解得AP?t?AP5t59
图2 图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
111333AP?QH?AP?AQsin?PAQ?t(5?t)???t2?t， 222510211S△ACD＝AD?OA??8?3?12，
22333581所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝12?(?t2?t)?(t?)2?．
1021028581所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．
28由于S△APQ＝
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况． 这时
t420AP4（如图4所示）． ?．解得t??，所以
5?t59AQ5
图4
例2 2012年广东省中考第22题
如图1，抛物线y?123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、22AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的
平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．
思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
1231x?x?9?(x?3)(x?6)，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 222所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
SAE2． 所以?ADE?()S?ACBAB（1）由y?181AB?OC?，AE＝m， 22AE2m811所以s?S?ADE?()?S?ACB?()2??m2．
AB922m的取值范围是0＜m＜9．
而S?ACB?
图2 图3
CDBE9?m（3）如图2，因为DE//CB，所以． ??ADAEmSCD9?m．
因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以?CDE??S?ADEADm所以S?CDE?当m?9?m12191981?m??m2?m??(m?)2?． m222228981时，△CDE的面积最大，最大值为．
829． 2如图3，作EH⊥CB，垂足为H．
此时E是AB的中点，BE?在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以sinB?3313． ?131393132713在Rt△BEH中，EH?BE?sinB??． ?21326729当⊙E与BC相切时，r?EH．所以S??r2??．
52考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．
例3 2012年河北省中考第26题
5． 13探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos?ABC?（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．
图3 图4
答案 探究 AH＝12，AC＝15，S
△ABC
＝84．
11拓展 （1）S△ABD＝mx，S△CBD＝nx．
2211168（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得mx?nx?84．所以m?n?．
22x5656，所以x的取值范围是≤x≤14． 55所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．
56（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．
556发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．
5由于AC边上的高BG?
例4 2011年淮安市中考第28题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
思路点拨
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
满分解答
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4． （2）①如图1，当0＜t≤6时，EF?2t．所以S?4t2． 11②如图2，当
6633＜t≤时，EF?EH?2t，AE?2?t，NE?AE?(2?t)． 115443113于是NH?EH?NE?2t?(2?t)?t?，
442S△NHQ11422?113??NH?QH?NH?NH?NH2??t??． 22333?42?222113?252113． 所以S?4t?2?t???t?t???3?42?24226③如图3，当＜t≤2时，EF?4，AE?t?2，AF?t?2．
5所以S?S△AFM?S△AEN?33AF2?AE2?3t． 88
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为
1102146，此时t?．
2575
图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，AE?2?t，EH?EF?2t，由如图9，当G落在AC上时，AF?2?t，GF?EF?2t，由
2t36?，得t?． 2?t4112t36?，得t?． 2?t45
图8 图9
例5 2011年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．
请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22.
思路点拨
1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．
2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．
3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．
满分解答
（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为y?4x． 35（2）①当M在OC上，Q在AB上时，0＜t≤．
2在Rt△OPM中，OP＝t，tan?OMP?44，所以PM?t． 3336在Rt△AQE中，AQ＝2t，cos?QAE?，所以AE?t．
55611216于是PE?8?t?t?8?t．因此S?PE?PM?t2?t．
5521535②当M在OC上，Q在BC上时，＜t≤3．
2因为BQ?2t?5，所以PF?11?t?(2t?5)?16?3t． 因此S?132PF?PM??2t2?t． 2316． 3③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和t?2t?11?5，解得t?因此当M、Q都在BC上，相遇前，3＜t≤所以S?16，PM＝4，MQ?16?t?2t?16?3t． 31MQ?PM??6t?32． 2
图2 图3 图4
52162160（3）①当0＜t≤时，S?t2?t?(t?20)2?．
2153153因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大， 所以当t?585时，S最大，最大值为． 265328128②当＜t≤3时，S??2t2?t??2(t?)2?．
2339因为抛物线开口向下，所以当t?③当3＜t≤8128时，S最大，最大值为． 39161时，S?MQ?PM??6t?32． 32因为S随t的增大而减小，所以当t?3时，S最大，最大值为14．
8128综上所述，当t?时，S最大，最大值为．
39考点伸展
第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？
16131此时＜t≤， MQ?t?2t?16?3t?16．因此S?MQ?PM?6t?32．
322
图5
例6 2011年重庆市中考第26题
如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求
出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
思路点拨
1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．
2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．
4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，tan?BAC?所以∠BAC＝30°．
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时， 在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23，
所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间1． 图2
t＝
BC233??， AB63
（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，S?23t?43． ②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，S??3t?43t?33． ③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，S??43t?203． ④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，S?3(t?6)2．
2
图3 图4 图5
（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO． 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．
△AEH的形状保持不变，AH＝3AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．
图6 图7 图8
①当AO＝AH时，解3(3?t)?3，得t?3?3（如图7）； 解3(t?3)?3，得t?3?3（如图8）．
②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）． ③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝3AH＝3AE． 解3(3?t)?3，得t＝2（如图10）；解3(t?3)?3，得t＝4（如图11）．
图9 图10 图11
考点伸展
图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．