正定矩阵的判定
姓名：郑莎莎 学号：200640501443 指导老师：李群
摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型
一、利用定义
（一）n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意的n维实非零列向量X，都有
XTAX?0。正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵，记作A?0。
例1 设A是正定矩阵，P是非奇异实方阵，则PAP也是正定矩阵。
证明：因为A是实对称阵，故PAP显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X，
TTT由于PX?0(P是非奇阵),故XPAPX?0,即PAP是正定阵。
TT??1．实对称矩阵A是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n维实非零列向量
?x1?X=????0, 二次型X'AX是正定二次型。
???x??2??d1???2．实对角矩阵???是正定矩阵的充分而且必要条件是di?0(i?1,2,
?dn????n)。
3．实对称矩阵A是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型X'AX的秩与符号差都等
于n。
二、利用主子式
（一）n阶实对称矩阵A的一切顺序主子式都大于0，则A为正定矩阵。
证明：对n作数学归纳法。当n?1时，f?x1??a11x1，由条件a11?0，显然有
2f?x1?是正定的。假设该论断论断对n?1元二次型已经成立，现在来证n元的情形。
令
?a11?a1,n?1??a1n?????A1?????，?????
?a??a??n?1,1?an?1,n?1??n?1,n??A1??于是矩阵A可以分块写成A??'?。既然A的顺序主子式全大于零，当然A1的顺序
?ann??n?1级矩阵G使主子式也全大于零。由归纳法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的
G'AG1?En?1，这里En?1代表n?1级矩阵。令C??G0?1??01?,于是 ?''AC?G'C0?????G0??E11???01???A1??'a?????01??n?1?G???'Ga? nn??nn?再令C???En?1?G'??2?01?,有 ?C'C'ACC?En?10??En?1?G'???En?1?G'??2112?????'G1?????'Ga??nn??01?????En?10? ?0??'GG'???令C?C'1C2, ann??GG'??a,有
??1??C'AC????? ?1??a??两边取行列式，C2A?a。由条件，A?0，因此a?0。显然
??1??1???1??1????????????????????1???a???1?a??1??1?????1?????这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之A是正定矩阵。
例2 判断二次型f??nX2n?1i?i?1?XiXi?1是否正定。
i?1解：二次型f的矩阵为三角矩阵
???? a???
1?1?2??11??2?????1??1???2k?????? ?1??2??1???1?A的任意的k阶顺序主子式Ak????k?1??0，所以矩阵A为正定矩阵，原二次型为?2?正定二次型。
（二）n阶实对称矩阵A的一切主子式都大于0，则A为正定矩阵。
证明：设Aik是A的一个k阶主子矩阵, 由于Aik的任意一个顺序主子式均为A的一个主子式,所以它们都大于0。所以为Aik正定矩阵。
例3 证明若A称为正定矩阵，则A的一切主子式都大于0。
证明：(反证法)设A?(aij)n?n是正定矩阵,若存在k阶主子矩阵
ai1i1Aik?ai2i1?aiki1ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik???aikik,Aik?0
则由于Aik是阶实对称矩阵,由引理知存在k阶正交矩阵使Aik?Udiag(u1,u2,?,uk)U, 其中u1,u2,?,uk为Aik的特征值。由于Aik?0，且Aik?u1u2?uk知Aik的特征值
Tu1,u2,?,uk中至少有一个小于0。不失一般性,设u1?0，令YT??1,0,?,0?U,则
Y?0且YTAikY?u1?0，
再令
XT?(x1,x2,?,xn)，
当i??i1,i2,?,ik?时，xi?yi；当i为其他时，xi?0。则
X?0,且XTAX?YTAikY?u1?0,
这与A为正定矩阵的假设矛盾。
（三）n阶实对称矩阵A的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵，则A为正定矩阵。 证明：由于A的一切主子矩阵都是正定矩阵, A也是它自身的一个主子矩阵,所以A也是正定矩阵。
222例4 t取何值时，二次型f?x1是正定二次型。 ?2x1x2?2x1x3?2x2?4tx2x3?5x3?11?2解：二次型f对应的矩阵为A??1??12t?序主子式全大于零，即满足
?1??2t?，要使二次型f正定，必须A的各顺5??11?111?1?0, d3?A?122t???4t2?4t?3??0。 d1?1?0，d2?12?12t5得到?31?31??t?，所以当t???,?时，二次型f为正定二次型。 22?22?三、利用标准型
（一）A合同于n阶单位矩阵E，则A为正定矩阵。 证明：若A合同于E,则存在可逆矩阵B,使得A?BTEB。任取
TX?0, BX?Y??y1,y2?,yn?,
则Y?0。于是
22XTAX?XTBTEBX?YTY?y12?y2?0， ??yn故A为正定矩阵。
例5 设A,B是n?n实对称矩阵，A是正定矩阵，证明：存在实可逆阵T，使
T'?A?B?T为对角阵。
证明：由于A是正定阵，从而合同于E，即存在实可逆阵P，使PAP?E。而PBP仍为是对称阵，从而存在正交阵Q，使
''??1???'?Q'?P'BP?Q??PBP的特征值， ,其中是?,?,?1n???n???
令T?PQ，则
?1??1????T'?A?B?T???
?1??n???得证。
（二）若A存在正定矩阵B,使得A证明：如果B正定,使得A?B2，则A为正定矩阵。
?B2,则B为对称可逆矩阵,且有
A?B2?BTB?BTEB,
即A合同于E,所以A正定。
（三）n阶实对称矩阵A的所有特征值都大于0，则A为正定矩阵。 证明：设A的全部特征值?1,?2,?,?n全大于零，由引理得
A?Tdiag(?1,?,?,?n)T?1
?Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1??Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1??B2,
????其中B??Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1?。 ???i?0，?i?1,2,?,n?,所以B为正定矩阵。
因为B为实对称矩阵，且特征值例6 试证二次型：f?x1,x2?,xn??2证明：设f对应的矩阵为A，则
?xi?1n2i?21?i?j?n?nxixj为正定二次型。
?2?1?A??1?????1计算可得
11?1?21?1??12?1?
??????11?2??n?1?E?A????1????n?1?。所以A的特征值为
?1????n?1?1,?n?n?1
由于A的特征值全为正，所以A为正定阵，从而f为正定二次型。
（四）A半正定,且A≠0，则A为正定矩阵。
证明：设A的特征值为?1，?2?，?n，由A半正定可知, ?i?0，?i?1,2,?,n? ，所以A正定。
例7 设A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，求证: A?B?A?B，当且仅当B?0或n?1时等号成立。
T证明:由A?0知，存在n阶可逆矩阵P，使得PBP?En，有
PT?A?B?P?En?PTBP，PTA?BP?En?PTBP
TT又因为PBP显然是半正定的，设PBP?C?Cij，则有
??c12?cn21?c11En?PTBP??c1n??cnn
c21?cn11?c22?c2n ?1n?c11n?1?c21n?2???cn?1?cn
其中ci是C的所有i阶主子式之和，i?1,2,?,n。因为C?PBP?0,它的主子式都非负，因此
TEn?PTBP?1n?cn?En?PTBP?PTAP?PTBP
所以
PTA?BP?PT由此得
?A?B?P
A?B?A?B
T当B?0或n?1时显然A?B?A?B成立；当B?0且n?1时易知PBP?C?0n?n，
0于是至少有一个cij?0，此时C的一阶主子式cii，cjj不能为零，否则
cijcij??cij2?0，0T这与C半正定矛盾。于是c1?0，进一步有En?PBP?1?cn,从而A?B?A?B成
立。
（五）对任意可逆矩阵P, 都有PAP正定，则A为正定矩阵。
T
?1证明：由PAP正定, P为可逆矩阵,可得A?PT??TPTAP?P?1?,即A与PTAP合
同，而合同不改变矩阵的正定性,所以A为正定矩阵。
例8 如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：A?B也是正定矩阵。
'证明：因为A,B为正定矩阵，所以X'AX,X'BX为正定二次型，且XAX?0，
X'BX?0,因此
X'?A?B?X?X'AX+X'BX?0
于是X'?A?B?X必为正定二次型，从而A?B为正定矩阵。 四、以下几个重要结论也常用来判定矩阵A是正定的 （一）与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。 （二）正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。
证明: 因为正定矩阵与单位矩阵E合同，所以存在可逆矩阵P，使得A?PEP?PP,取逆矩阵A?1?1?1??P?1?E?P?1???P?1?E?P'?,记Q??P?1?，即有A?Q'EQ,则A与
'''?1'E合同，所以A?1是正定阵。
（三）正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵。
证明：假设A?aij是一个n阶正定矩阵，它的k阶主子式阵
???a11?aAk??21????ak1a12a22?ak2?a1k???a2k?，其中1?k?n ????akk?由于Ak?0，从而知A的任何主子式阵都是正定的。
（四）对于任意的实对称矩阵A，必有实数??0，??0，使得E??A与E??A是正定矩阵。
证明：实对称矩阵A的特征根都是实数，不妨记其中绝对值最大的一个特征根为
??，只要取????，即可使?E?A是正定阵。这是因为假设Q是正交阵，
使
??1???Q'AQ????
??n???则
Q'??E?A?Q?Q'?EQ+Q'AQ
?????1????????????? ?????n?????????1???????
????n???其中由于
???i?0?i?1,2,?,n?，可知?E?A是正定阵。当取??11?时，则
??0,E??A????E?A?是正定矩阵。
（五）假设A,B都是正定矩阵，并且AB?BA，则AB也必为正定矩阵。
''证明：易知AB的特征根大于零，当AB?BA时，?AB??BA?BA?AB,说明AB'又是对称的，从而可知AB是正定的。
222例9 判断二次型f?10x1是否正定。 ?8x1x2?14x1x3?2x2?28x2x3?x3解：二次型f对应的矩阵
A??aij?3?312??104????42?14? ?12?141???显然A的元素绝对值最大值者为a23?a32?14，为非对角元，则A为非正定矩阵，所以二次型f也是非正定的。
五、小结：正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位，因此，对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面，或是实际应用方面都有重要的意义。
参考文献：
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The Determination Of The Positive Definite Matrix
Name:Zheng Shasha Student Number:200640501443
Advisor:Li Qun
Abstract: In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.
Key words: Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form