机械振动基础
习 题
1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不
跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：
u(t)?asin(?t??)
对物体分离作受力分析: ??(t)?mg?Fs mu要使物体不条离台面，要求Fs?0，即： ??(t)?mg mu??(t)max?a?2 也就是g?u?a?g?2?g4?f2?0.0099m
1-2 求简谐运动u1(t)?5cos40t和u2(t)?3cos39t合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其
拍频和周期。 解：最大振幅为8
最大振幅为2 拍频为40?39?1Hz 周期为2? kg，k1?k2?2?105N/m，1-3 写出图示系统的等效刚度表达式。当m?2.5k3?3?105N/m时，求系统的固有频率。 k1k3umk2题1-3图 解：系统等效刚度为： ke?(k1?k2)k3?1.7?105Nm k1?k2?k3 系统的固有频率为： ?n?ke?260.77rad/s m.?106Nm2，m?400kg。1-4 图中简支梁长l?4m、抗弯刚度EI?196且k?4.9?105N/m，
分别求图示两种系统的固有频率。
49
第1章 单自由度系统的振动
2lmk2l2l2lkm题1-4图
解：简支梁的等效刚度 ke?48EI?14.7?105Nm 3l左图系统等效于弹簧并联：
k1?k?ke?19.6?105Nm
系统固有频率为：
?n?k1?70rad/s mkke?3.68Nm k?ke右图系统等效于弹簧串联：
k2?系统固有频率为：
?n?k2?30.3rad/s m1-5 钢索的刚度为4?105N/m，绕过定滑轮吊着质量为1000kg的物体以匀速0.5m/s下
降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。 解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动
k?20rad/s m?(0)?0.5ms 初始条件是：u(0)?0,u 固有频率?n?则系统的振幅a?u(0)?2?2(0)u?n2?0.025
4故由振动引起的最大动张力T?T1?T2?mg?ka?2?10N
1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为?s。现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给
?0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。 予向上的初速度u50
机械振动基础 ku0m?su 题1-6图 解：系统的固有频率为 ?n?kg? m?s?(0)??u?0 初始条件是：U(0)???s,U 则系统的振幅a?u(0)?2?2(0)u?n2
初相位??artg????u0?? ???u0? 那么系统的位移响应为u(t)?asin(?t??) 系统首次经过平衡位置，也即u(t)?0，于是有： t???u0?????g????art?? ??g???????s??u0??1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
证明：??1时
u(t)?(a1?a2t)en 式中e??nt-?t?0，而a1?a2t单调，故对任意a1,a2，也即任意初始条件u(t)至
多 有一次过平衡位置； ??1时
2???????1???nt??2???????1???nt??u(t)?a1e
?a2e?e2???????1???nt???????2???ae?1??2?1???nt??
?a2???51
第1章 单自由度系统的振动
式中e2???????1???nt???0，而a1e2?nt?2?1?a2单调，故对任意a1,a2，也即任意
初
始条件u(t)至多有一次过平衡位置；
1-8 一单自由度阻尼系统，m?10kg 时，弹簧静伸长?s?0.01m。自由振动20个循环后，
.?10?3m。求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所耗能量。 振幅从6.4?10?3m降至16解：静平衡时：
mg?k?s k?10N/m 系统固有频率?n?4kg??31.6rad/s m?s 自由振动20个循环有：
A164?10?3 20??ln?ln?ln4 ?3A2016?10 此时??0.0729
又??2??，c?2m?n?
则c?m?n?/??10?31.6?0.0792/3.14?7.97N?ms
20个循环内阻尼力所耗能量 ?k?1212kA1?kA2?0.192J 221-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m?17.5kg、k?7000N/m，求该系统
在零初始条件下被简谐力f(t)?52.5sin(10t?30o)N激发的响应。 解：系统的运动方程为：
??(t)?ku(t)?f(?t??) mu?(0)?0 初始条件是：u(0)?0,u令方程特解为：u其中Bd??(t)?Bdsin(?t??)
f0222(k?m?)?(c?)
由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为：
u?(t)?f052.5sin(?t??)?sin(10t?300)?0.01sin(10t?300)22k?m?7000?17.5?10
1-10 质量为100kg的机器安装在刚度k?9?104N/m和阻尼系数c?2.4?103Ns/m的隔
52
机械振动基础
振器上，受铅垂方向激振力f(t)?90sin?tN作用而上下振动。求： (1) 当???n时的稳态振幅Bd； (2) 振幅具有最大值时的激振频率?； (3) max{Bd}与Bd之比值。
k90000??30rad/s m100c2400??0.4 ??2m?2?100?30 (1) 当???n时
f90??1.25?10?3 (m) ?? Bd?0?
c?2.4?1000?30?n解：?n? (2) 振幅最大时激振频率
22/s ???n1?2??30?1?2?0.4?24.7rad2 (3) 振幅最大时激振频率???n1?2?
max?Bd???B02?1??2f0(k?m?)?(c?)222?2?nB02(?n??2)2?(2??n?)2
(1??2)2?(2??)2(1??2)2?(2?0.4?)2max?Bd???2B 2?1??2?0.4?1?0.42d?1.36(1??2)2?0.64?2 其中??? ?n1-11 一质量为m的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为?d，在简谐激振力作
用下位移共振的激振频率为?。求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。 解：位移共振时
2 ???n1?2? 2 又?d??n1??
那么?n?22?d??2
阻尼比c?2m?n?2m2?d??
22 53