19．（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如下图。 （1）求a)n；
费用(万元an（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 42 12n年
20．(16分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n N+，都有8Sn?(an?2)2。 （1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)； （3）设b4mn?an是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n
N+都成立的最小正整数m的值。n?a，Tn?120
15.解：（1）?a4?a1?3d?d??3 ?an?28?n3 ??3分 （2） ?28?3n?0?n?913
∴数列?an?从第10项开始小于0 ??6分
（3）a1?a3?a5???a19是首项为25，公差为?6的等差数列，共有10项
其和S?10?25?10?92?(?6)??20 ??10分
16. 解：（1）cosC?cos????A?B????cos?A?B???12 ?C＝120°??4分
（2）由题设：???a?b?23
??7分
??ab?2 ?AB2?AC2?BC2?2AC?BCcosC?a2?b2?2abcos120?
?a2?b2?ab??a?b?2?ab??23?2?2?10 ??11分
?AB?10 ??12分
17.解：（1）由x2?2x?3?0得?1?x?3，所以A=（-1，3） ??3分
由x2?x?6?0得?3?x?2，所以B=（-3，2）， ??6分 ∴A∩B=（-1，2） ??8分
（2）由不等式x2?ax?b?0的解集为（-1，2），
所以?1?a?b?0?a??1??4?2a?b?0，解得??b??2 ??12分
∴?x2?x?2?0，解得解集为R. ??14分
18.解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在B处追上, ??2分 则有 AB?14x,BC?10x,?ACB?120?.
?(14x)2?122?(10x)2?240xcos120? ??8分
?x?2,AB?28,BC?20, ??10分
BCsin120??∴sin??AB?20sin12028?5314.
所以所需时间2小时, sin??5314. ??14分
19.解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
an?a1?2(n?1)?2n ????2分
（2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则： f(n)?21n?[2n?n(n?1)22?2]?25?20n?n?25 ????4分
由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得10?53?n?10?53 ????6分
又因为n?N,所以n=2,3,4,??18.即从第2年该公司开始获利 ????8分 （3）年平均收入为
f(n)25n=20-(n?n)?20?2?5?10 ????12分
当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最
大。 ????14分
20.解:(1) n=1时 8a1?(a1?2)2 ∴a1?2 n=2时 8(a1?a22)?(a2?2) ∴a2?6
n=3时 8(a1?a2?a3)?(a23?2) ∴a3?10 ????4分
(2)∵8Sn?(a2n?2) ∴8Sn?1?(an?1?2)2(n?1)
两式相减得: 8an?(an?2)2?(an?1?2)2 即a2n?a2n?1?4an?4an?1?0 也即(an?an?1)(an?an?1?4)?0
∵an?0 ∴an?an?1?4 即{an}是首项为2,公差为4的等差数列
∴an?2?(n?1)?4?4n?2 ????10分
(3)b44n?an?a?n?1(4n?2)(4n?2)?1(2n?1)(2n?1)?12(1(2n?1)?1(2n?1))
∴T??b111111n?b1?b2?n?2[(1?3)?(3?5)???((2n?1)?(2n?1))]
?112(1?12n?1)?12?4n?2?12 ????14分
∵Tn?m20对所有n?N?都成立 ∴
m120?2 即m?10
故m的最小值是10 ????16分
19．设数列?an?为等差数列，前n项和为Sn，已知a2?2，S5?15 （1）求?a1n? 的通项公式，（2）若bn?a,求数列?bn?的前n项和Tn。(共14分)
nan?1
20．设数列{a?4a*n}的前n项和为Sn，且a1?1，Sn?1n?2(n?N)，
(1) 设bn?an?1?2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2) cann?2n，求证：数列{cn}是等差数列；
(3) 求Sn?a1?a2?????an的值。(共14分)
19．ann?n,Tn?n?1
20．(1)略
(2)略
(3)Sn?(3n?4)?2n?1?2
15．(本小题满分14分)等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10?30,a20?50.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）若Sn?242，求n； （3）令b?10n?2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．（本小题满分12分）若不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对一切x?R恒成立，试确定实数a的取值范围．
17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个
测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
18．（本小题满分14分）已知△ABC的周长
为
2?1，且
sinA?sinB?2sinC．
（I）求边AB的长；
（II）若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．
19．（本小题满分14分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50?x?100)（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2?x2360)升，司机的工资是每小时
14
元.
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
20．（本小题满分14分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，
a3?b5?21，a5?b3?13
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列??an?b?的前n项和Sn．
?n?
15．(本小题满分14分)解：（1）由an?a1?(n?1)d,a10?30,a20?50，得方程组
?a1?9d?30?， ?????2分 ?a1?19d?50解得a1?12,d?2. ?????4分
?an?12?(n?1)?2?2n?10.
?????5分
（2）由Sn(n?1)n?na1?2d,Sn?242 ?????7分
得方程12n?n(n?1)2?2?242 ????8分
解得n?11或n??22（舍去） ????? 10分
（3）由（1）得ban?10n?2?22n?10?10?22n?4n，???11分
n?1?bn?1b?44n?4 ?{bn}是首项是4，公比q?4的等比数列。???12分
nT4?(1?4n?数列{b)nn}的前n项和n?1?4?43(4?1)．????14分
16．(本小题满分12分)解： 当a?2时，原不等式变形为?4?0，恒成立，
即a?2满足条件； ????????3分 当 a?2时，要使不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对一切x?R恒成立， 必须 a?2?0
??4(a?2)2?4?4(a?2)?0 ???????9分
a?2
?2?a?2 ，解得，?2?a?2．
???????11分
综上所述，a的取值范围是?2?a?2．??????12分
17．（本小题满分12分）解：在△BCD中，?CBD?π????． ????2分 由正弦定理得
BCCDsin?BDC?sin?CBD． ?????6分 所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s?sin?sin(???)． ??????9分
在Rt△ABC中， AB?BCtan?ACB?s?tan?sin?sin(???) ?????11分
答：塔高AB为s?tan?sin?sin(???)．????12分
18．（本小题满分14分）解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1 ①，BC?AC?2AB ②， ????????4分
两式相减，得AB?1． ?????????6分 （II）由△ABC的面积1BC?AC?sinC112?6sinC，得BC?AC?3，????8分
22由余弦定理，得cosC?AC?BC2?AB2AC?BC ???????10分
2 ?(AC?BC)?2AC?BC?AB22AC?BC?12 ??????12分
所以C?60?． ?????14分
19．（本小题满分14分）解：（1）设行车所用时间为t?130, ???1分
x(h)
y?130x214?130 ???5分
x?2?(2?360)?x,x?[50,100]
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y?130?182?130x?360x,x?[50,100] （或：y?234013x?18x,x?[50,100]）?7
分
（2）y?130?18?2?130 ???10分
x360x?2610 仅当130?182?130分
x?360x,即x?1810时，上述不等式中等号成立 ???12答：当x?1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元???14分
20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且
??1?2d?q4?21，? ?????2分
??1?4d?q2?13，解得d?2，q?2． ????4分 所以an?1?(n?1)d?2n?1， ?????6分
bn?qn?1?2n?1． ?????8分
（Ⅱ）
ann?1b?22n?1． ?????9分
nS3?52n?3n?1?2122???2n?2?2n?12n?1，① 2S????32?2n?1n?2?3?52n2n?32n?2，②
②－①得S222n?1n?2?2?2?222???2n?2?2n?1， ?????12分
?2?2??11?1?2n?1?1???222??2n?2???2n?1
1?1?2?2?2n?1?2n?11?12n?1
2?6?2n?32n?1． ???????14分
15．已知数列?an?是等差数列，?bn?是等比数列，且a1?b1?2,b4?54, a1?a2?a3?b2?b3, (I)求数列?bn?的通项公式； （II）求数列?an?的前10项和S10.
16.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA
（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若a?33，c?5，求b
17.关于x的不等式组??x2?x?2?0的整数解的集合为??2?,求k的取值范围。
?2x2??2k?5?x?5k?0
18．（Ⅰ）设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足?2?m?2的一切实数m的取值都成立， 求x的取值范围；
（Ⅱ）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2
－1)对满足?2?x?2的实数x的 取值都成立．
19．某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn＝205n2＋6n，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)．
⑴ 若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？ ⑵ 若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？ (参考数据：2.272＝5.1529，2.312＝5.3361)
20．(本题满分14分)
已知二次函数f(x)?ax2?bx满足条件: ① f(0)?f(1); ② f(x)的最小值为?18.
(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式;
f(n)(Ⅱ) 设数列{aT?4?n}的前n项积为n, 且Tn??, 求数列{a?5??n}的通项公式;
(Ⅲ) 在(2)的条件下, 若5f(an)是bn与an的等差中项, 试问数列{bn}中第几项的值最小? 求出这个最小值.
15.解 (Ⅰ) 因为bb33bn?11?2,4?b1q?54?q?27?q?3?n?2?3
(Ⅱ) ?a1?2,a2?a3?22?a2?8,d?6?S10?290 16.解(Ⅰ)?a?2bsinA?sinA?2sinBsinA?sinB?12
因为是锐角三角形,所以B?30?
(Ⅱ)?sinB?122,cosB?32?b?27?25?2?5?33?32?7?b?7
17. ??x2?x?2?0?(x?2)(x?1)?0?2解得?5?x?5k?0???2x??2k?(2x?5)(x?k)?0
?x??1,x?2 又整数解的集合为??2?
??52?x??k
??2??k?3
法二：同上函数f(x)?2x2??2k?5?x?5k一根是?52，另一根在(?2,3]上，
?f(?2)?0???f(3)?0
解得?2??k?3
18. (Ⅰ)解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切 实数都有2x－1＞m(x2－1)成立。 ?
所以，?f(2)＞0 ?，即?1－32x2－2x－1＞0??＜x＜1＋3
?f(－2)＞0 ?，即22?2x2＋2x－3＜0???x＜－1－7或x＞－1＋7?22 所以，
7－12＜x＜3＋1。 7分
2 (Ⅱ)令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立。 当m?0时，f(x)= 2x－1在
12?x?2时，f(x)?0。（不满足题意）
当m?0时，f(x)只需满足下式：
??m?0,(m?0)??m?0,(m?0)???m?0,(m?0)
??1???2或???2?1??m?m?0或?f(2)?0 ??f(?2)?0f(?2)?0?????0? 解之得结果为空集.故没有m满足题意.
19. 解析：(Ⅰ) 进入汛期的水库水位标高f(n)＝205n2＋6n＋220，
令205n2＋6n＋220>400，整理得5n2
＋6n>81，代值验证得n≥4， 所以，会发生危险，在第4天发生．
(Ⅱ)设每天开启p个水闸泄洪，则f(n)＝205n2
＋6n＋220－4np， 令205n2＋6n＋220－4np≤400， 即 p≥
55n2＋6n－45
5n269
n＝5(＋6nn－9n)＝5(
5＋n－n)．
下证g(n)＝5＋6
9
n－n为增函数．
事实上，令g(x)＝
5＋6x－9
x(x≥1)，
g′(x)＝(
5＋6－9
)′＝
1(－693
xxx2)＋x2＝x2(3－
1)． 2
5＋6
5＋
6
xx当x≥1时，g′(x)>0，于是函数g(x)在x≥1时是增函数，
所以 g(n)＝
5＋6n－9
n为增函数．
从而 g(n)max＝g(40)＝5＋
640－9
40
≈2.04， 故 p≥5×2.04＝10.20．
即每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全．
??a??120. 解: (Ⅰ)题知: ?b?0??0 , 解得?a??a??2 ,
??b21?b??1???4a???8?2故f(x)?1212x?2x.
n2?n(Ⅱ)T?a??42??n1a2?an ,
?5??(n?1)2?(n?1)T?4?2n?1?a1a2?an?1??(n?2),
?5??n?1?an??4??n?TT(n?2),
n?1?5??n?1又a. 所以a?4??N?1?T1?1满足上式n???(n).
?5?(3) 若5f(an)是bn与an的等差中项, 则2?5f(an)?bn?an, 从而10(1a2122n?2an)?bn?an, 得bn?5an?6a329n?5(an?5)?5.
n?1因为a?4?n??(n?N?)是n的减函数, 所以
?5??当a3, 即n?3(n?N?n?5)时, bn随n的增大而减小, 此时最小值为b3; 当a3n?5, 即n?4(n?N?)时, bn随n的增大而增大, 此时最小值为b4.
又a33?5?a4?35, 所以b3?b4,
15．已知 |?＝1，|?a|b|＝
2，
（１）若??a//b，求a?b；
（２）若?，?°，求 |??ab的夹角为135a＋b| ．
16．已知
???3????3?4?4，0?4，cos(?4??)??5，sin(34??)?513，
求sin(???)的值．
17．已知0????2,sin??45
sin2（１）求
??sin2?cos2?的值；（２）求?cos2?tan(??5?4)的值．
?????18．平行四边形ABCD中，已知：DE?1???DC , DEC3????F?1????DF4DB, 求证：A、E、F三点共线。
AB19．设函数
????f(x)?a?b，其中向量a?(2cosx,1),b?(cosx,?3sin2x)，x?R．
(１)求函数f(x)的单调减区间；
(２)若x??????4,0?，求函数f(x)的值域；
??(３)若函数?y?f(x)的图象按向量c?(m,n)（m<
?2）平移后得到函数y?2sin2x 的图象，求实数m,n的
值．
20．已知函数f(x)=Asin2(?x??)(A>0,?>0,0
?2)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为
2，并过点（1，2）．
（1）求?； （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008)的值． 15．??（１）∵a//b，
????①若a，b共向，则a?b＝|a|?|b|＝2；
????
②若a，b异向，则a?b＝－|a|?|b|＝－2.
????（２）∵a，b的夹角为135°， ∴ a?b＝|a|?|b|?cos135°＝－1 ，
????
∴|a＋b|2＝（a＋b）2? ＝a2?＋b2
＋2a?b＝1＋2－2＝1，
∴??|a?b|?1
16.解：?????3?3??43?122?4??,4?4?????sin(??4)?5,cos(4??)??13
?sin[(???6363634)?(3?4??)]??65,即sin(?????)??65;?sin(???)?65.?43sin2??sin2?sin217．解：(１)由0?????2sin?cos?2,sin??5，得cos??5，所以＝cos2??cos2?3cos2??1?20．
（２）∵tan??sin?45?tan??11cos??3，∴tan(??4)?1?tan??7．
18．证明：（利用共线向量的判定定理证明）
以????????????????????????AB,BD作为基底，有：AF?AB?BF?AB?3????4BD,
????????????????????1????4????????????4????AE?AD?DE?AB?BD?3AB?3AB?BD，从而AE?3AF,
又AE与AF有公共点，所以A、E、F共线.
19．解：(１)f(x)?2cos2x?3sin2x ??3sin2x?cos2x?1=2sin(2x+
5?6)+1． 令2kπ+
?2?2x+
5?6?2kπ+
3?2，k?Z, 得k???6?x?k???3 k?Z,
因此，函数f(x)的单调减区间为???k???6,k????3? k??Z．
(２)当x????,0?5???5??， ∴ sin(2x+5?)????1?4?时，2x???6??3,6??6?．因此，函数2,1f(x)的值域为[2,3]．???(３)函数?y?f(x)的图象按向量c?(m,n)(m??2)平移后得到的图象对应的函数是
y?f(x?m)?n?2sin(2x?2m?5?6)?1?n． 令 ?2m?5?5?6?0,1?n?0,得m?12,n??1．
20．解：（１）y?Asin2(?x??)?AA2?2cos(2?x?2?). ?y?f(x)的最大值为2，A?0.?A2?A2?2,A?2.
又?其图象相邻两对称轴间的距离为2，??0，?12(2?2?)?2,???4. ?f(x)?2?2?22cos(2x?2?)?1?cos(?2x?2?).
?y?f(x)过(1,2)点，?cos(?2?2?)??1.
??2??2k???,k?Z,?2??2k???k?Z,???k???2?2,4,k?Z,
又?0????2,????4.
（２）解法一：????y?1?cos(???4，?2x?2)?1?sin2x.
?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?2?1?0?1?4.
又?y?f(x)的周期为4，2008?4?502，
?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008.
解法二：?f(x)?2sin2(?24x??)?f(1)?f(3)?2sin(?24??)?2sin(3?4??)?2,
f(2)?f(4)?2sin2(?)?2sin22??(???)?2,?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?4.
又y?f(x)的周期为4，2008?4?502，?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008.
17.已知四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b.
求证四边形ABCD为梯形.
18．已知角?是第三象限角，且f(?)?sin(???)cos(2???)tan(????)tan(???)sin(????)
（1）化简f(?)； （2）若cos(??3?2)?15，求f(?)的值；
（3）若cos(???34)?5，求f(?)的值.
19.已知：a、b、c是同一平面上的三个向量，其中a=(1，2).
① 若|c|=25，且c∥a，求c的坐标. ② 若|b|=
52，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角?.
20.已知关于x的方程2x2?(3?1)x?m?0的两根为sin?和cos?，
?∈（0，π）. 求：①m的值；②求
tan?sin?tan??1?cos?1?tan?.
21．已知向量?a?(cos3x3x2,sin2)，?b?(cosxx2,?sin2)，x?????,???52?
?（1）求证：??(a?b)⊥??(a?b)； （2）
??a?b?12x3，求sin的值
22.已知???O为坐标原点，????OA??cos2x?1，1?，OB?(1,3sin2x?a)（x?R,a?R，a是常数），若
????????y?OA?OB
（1）求y关于x的函数关系式f(x)； （2）若f(x)的最大值为2，求a的值；
（3）利用（2）的结论，用“五点法”作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指
出函数f(x)的单调区间。
17. 证:??????????????????AD?AB?BC?CD??8a?2b?2BC
∴AD//
（BC且AD=2BC
∴四边形ABCD为梯形.
18．(1) f(?)=?cos? (2)∵cos(??3?1, ∴sin???12)?55 , 又∵?是第三象限角
∴cos???26?)=?cos?=
265 ∴f(5
(3) ∵?是第三象限角 ∴2k??5?4????4?2k??74?,k?z
又∵cos(???)?345 , ∴sin(???4)??45
∴cos??cos?????????2?(??4)?4? ?cos(??)cos?sin(?44??4)sin4??10 ∴f(?)=?cos?=
210 .
19. ?解：①设c?(x,y) ∵c∥a且|c|=25
∴?2x?y?0?∴c=(2,4)或c=(-2，-4) .
?x2?y2?20 ∴x??2②∵（a+2b）⊥（2a-b）∴（a+2b）·（2a-b）=0, ∴2a2+3a·b-2b2=0 ∴2|a|2
+3|a|·|b|cos?-2|b|2
=0
∴2×5+3×5×5cos?-2×524=0,∴cos?= -1
∴θ=??2k?,∵θ∈[0，π],∴θ=π. 20.解：①由韦达定理得
sin??cos??3?12
sin??cos??m2 ∴1?2sin?cos??23?44, 2sin?cos??32∴m?32.
②∵
tan?sin?cos?tan??1?1?tan?
2=
sin?cos2?sin??cos??cos??sin?
22=
sin??cos?sin??cos??sin??cos?,∴原式=sin??cos??3?12.
21．解：（1）∵?a?(cos3x2,sin3x?2)，b?(cosxx2,?sin2)
∴?a2?cos23x23x?22x2x2?sin2?1，b?cos2?sin2?1
∴?????a?b)?(a?b)?a2?(?b2?0 ∴????(a?b)⊥(a?b).
（2）∵???????a?b?(a?b)2?a2??2a?b?b2
?1?2(cos3xx3x2?cos2?sin2?sinx2)?1 ?2?2cos2x. ?? 又 ∵a?b?13, ∴cos2x??1718 , ∵ x?????,???52?
? ∴2x??2?35??5,??=
?? ∴sin2x?18.
??? 22.解：（1）∵????OA??cos2x?1，1?，OB?(1,3sin2x?a)
∴????????y?OA?OB ?cos2x?3sin2x?a?1.
（2）由 y?cos2x?3sin2x?a?1
?2(1cos2x32?2sin2x)?a?1
?2(sin?6cos2x?cos?6sin2x)?a?1
?2sin(2x??6)?a?1
当sin(2x??6)?1时，ymax?2?a?1?3?a
又∵ymax?2 ∴3?a?2∴a??1 . （3）由（2）得，y?2sin(2x??6)
2x??6 0 ?? 3?2 2 2? x ??? 5?2?11?12 612 3 12 y?2sin(2x??6) 0 2 0 ?2 0 Y 2
? ?5?2?1112 ? 6 1 2 3 ?12 X
?2∴递增区间：?2???k?,76??k????2??3?(k?z) ,递减区间：???k?,??k??63?(k?z) . ?15．(本题满分10分)已知a???(1,2),b?(?3,2)，当k为何值时，ka???b与a???3b平行？
平行时它们是同向还是反向？
16．(本题满分10分) 已知函数f(x)?cosx?cos(x??2)，x?R．
（Ⅰ）求f(x)的最大值； （Ⅱ）若f(?)?34，求sin2?的值.
1?2cos(2x??17．(本题满分10分) 已知函数f(x)?4)sin(x??．
2)（Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若角?是第四象限角，且cos??35，求f(?)．
22．(本题满分10分) 已知函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R，那么
（Ⅰ）函数的最小正周期是什么？ （Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？
23．(本题满分10分)已知向量 a?=（cos?，sin?），b?=（cos?，sin?），|a??b?｜＝25．
5（Ⅰ）求cos（?－?）的值； （Ⅱ）若０＜?＜??2，－
2＜?＜０，且sin?＝－
513，求sin?的值．
24．(本题满分10分)已知向量a??(cos3?2x,sin32x),b?(cosx2,?sinx2),且x?[0,?2]，求
（Ⅰ）a??b?及|a??b?|；
（Ⅱ）若f(x)?a??b??2?|a??b?|的最小值是?32，求实数?的值．
15．(本题满分10分)
解: 因为??ka?b?(k?3,2k?2)，a???3b?(10,?4)--------------------------------2分
当ka????b与a??3b平行时，
则(k?3)?(?4)?(2k?2)?10?0-------------------------------------------------2分 解得：k??13 --------------------------------------------------------------------------2分
此时?a??3b?(10,?4)，
ka???b?(k?3,2k?2)=(?13?3,2?(?1103)?2)=(?3,43) =?13(10,?4)??1??3(a?3b)．-----------------------------------------------------------2分
所以ka???b与a???3b反向．---------------------------------------------------------------2分
［另解：当ka???b与a???3b平行，存在唯一实数?，使ka???b??(a???3b) 即(k?3,2k?2)??(10,?4) 得：?k?3?10?? ?2k?2??4?
解得：k??13,???13， 即当k??13，ka???b与a???3b平行
这时因为???1，所以ka???b与a??3?3b反向．］
16．(本题满分10分)
解:（Ⅰ）（5分） f(x)?cosx?cos(x??2)?cosx?sinx
=sinx?cosx-----------------------------------1分
?2(22sinx?22cosx)
?2sin(x??4) ------------------------------2分
∴f(x)的最大值为2．--------------------------------2分
（Ⅱ）（5分） 因为f(?)?34，即sin??cos??34 -------------------1分
∴1?2sin?cos??916 --------------------------------------2分
∴sin2???716．------------------------------------------2分
17．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）（4分）由sin(x??2)?0，得cosx?0，
所以f(x)的定义城为{x|x?k???2,k?Z}．--------------------------------4分
[另解：由sin(x??2)?0，得x??2?k?,k?Z
∴x?k???2,k?Z
所以f(x)的定义城为{xx?k???2,k?Z}］
1?2(cos2xcos?)（Ⅱ）（6分）f(x)?4?sin2xsin?2cosx
＝
1?cos2x?sin2xcosx-----------------------------------------------------------1分
cos2??sin2?2∴f(?)?1??2cos?sin?cos??2cos?cos??2(cos??sin?)．---2分
因为?是第四象限角，所以sin???1?cos2??1?1?(3245)??5．----------2分
所以f(?)?2(345?5)??25．----------------------------------------------------------------1分
22．(本题满分10分)
解：（Ⅰ）（5分） y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x
＝(sin2x?cos2x)?sin2x?2cos2x
＝1+sin2x?(1?cos2x)
=sin2x?cos2x?2-------------------------------------------------2分
=2sin??2x????4??2,---------------------------------------------------2分 ?∴函数的最小正周期是π．--------------------------------------1分
（Ⅱ）（5分） 由2k????2?2x?4?2k???2，k?Z---------------------------2分
得 k??3?8?x?k???8--------------------------------------------------------2分
∴函数的增区间为：?k??3??,k????,k?Z--------------------------------1分
?88??23．(本题满分10分)
解：（Ⅰ）（5分） ??a??co?s?，s?in?，b??c?o，s?s?，in ??a??b??cos??cos?，sin??sin??． ---------------------------------------1分
???a?b?255， ??cos??cos??2??sin??sin??2?255．---------------------------------2分
即 2?2co?s?????45． ---------------------------------------------------1分
?cos??????35． ------------------------------------------------------------------1分 （Ⅱ）（5分）∵0?????2,?2???0， ∴ 0??????.---------------------1分
∵ cos??????3，∴ sin??????455. ----------------------------------1分
∵ sin???513，∴ cos??1213. -----------------------------------------------------1分
∴ sin??sin????????????sin?????cos??cos?????sin?
?45?123?5?33．-----------------------------------------------------------2分 13?5????13???65
24．(本题满分10分) 解：（Ⅰ）（5分） a·b=cos32x?cosxx2?sin32x?sin2?cos2x,------------------2分
| a+b|=(cos3x?cosx222)2?(sin322x?sinx2)?2?2cos2x?2cosx-----2分
∵x?[0,?2]， ∴cosx?0,
∴| a+b|=2cosx.-----------------------------------------------------------------------1分
（Ⅱ）（5分） f(x)?cos2x?4?cosx,
即f(x)?2(cosx??)2?1?2?2.------------------------------------------------2分 ∵x?[0,?2]， ∴0?cosx?1.
1?、当??0时，当且仅当cosx?0时,f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾． 1??、当0???1时，当且仅当cosx??时,f(x)取最小值?1?2?2.
由已知得?1?2?2??32，解得??12.
1???、当??1时，当且仅当cosx?1时,f(x)取得最小值1?4?,
由已知得1?4???32，解得??58，这与??1相矛盾．
综上所述，??12为所求．-------------------------------------------------------3分
15.（14分）已知0?????42,sin?5．
2（Ⅰ）求
sin??sin2?cos2??cos2?的值； （Ⅱ）求tan(??5?4)的值．
16.（14分）已知函数f(x)?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R．求：
（Ⅰ）函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f(x)的单调增区间．
17.（14分）已知BC三内角，向量?????A,B,C是三角形?Am??1,3,n??cosA,sinA?，
且???m?n?1． （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若
1?sin2Bcos2B?sin2B??3，求tanB．
18.（14分）已知函数f(x)?Asin2(?x??),(A>0,?>0,0
称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（Ⅰ）求?； （Ⅱ）计算f(1)?f(2)???f(2008)
19.（12分）设函数??????f(x)?a?(b?c)，其中向量a?(sinx,?cosx)，b?(sinx,?3cosx)，c?(?cosx,sinx)，
x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数????f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d．
20.（12分）如图3，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=?,∠ABC=?.
（Ⅰ）证明：sin??cos2??0；
A α （Ⅱ）若AC=3DC，求?的值．
β B 图3
D C
15.（安徽卷）（14分）
解：(Ⅰ)由0????2,sin??435，得cos??5，
所以
sin2??sin2?sin2??2sin?cos?cos2??cos2?＝3cos2??1?20； （Ⅱ）∵tan??sin?cos??43，∴tan(??5?4)?tan??11?tan??17． 16.（辽宁卷）（14分） 解：（Ⅰ）解法一：
f(x)?1?cos2x?cos2x)2?sin2x?3(12?2?sin2x?cos2x?2?2sin(2x??4)
?当2x??4?2k???2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?k???8,k?Z}； 解法二：f(x)?(sin2x?cos2x)?2sinxcosx?2cos2x?2sinxcosx?1?2cos2x
?sin2x?cos2x?2?2?2sin(2x??4)，后面解法同上．
（Ⅱ） f(x)?2?2sin(2x????4)由题意得: 2k???2?2x?4?2k??2(k?Z)
即：k??3?8?x?k???3?8(k?Z)因此函数f(x)的单调增区间为[k??8,k???8](k?Z)．17.（四川卷）（14分）
解：（Ⅰ）∵???m?n?1 ∴??1,3???cosA,sinA??1
即
3sinA?cosA?1， ?2???sinA?3?cosA?1??1, ?sin?A?????22????6??1
?2∵0?A??,??6?A??6?5?6 ∴A??6??6 ∴A??3；
（Ⅱ）由题知1?2sinBcosBcos2B?sin2B??3，整理得sin2B?sinBcosB?2cos2B?0 ∴cosB?0 ∴tan2B?tanB?2?0 ∴tanB?2或tanB??1 而tanB??1使cos2B?sin2B?0，舍去 ∴tanB?2；
18.（山东卷）（14分） 解：（Ⅰ）y?Asin2(?x??)?A2?A2cos(2?x?2?). ?y?f(x)的最大值为2，A?0.?A2?A2?2,A?2.
又?其图象相邻两对称轴间的距离为2，??0，?12??2(2?)?2,??4. ?f(x)?222?2cos(?2x?2?)?1?cos(?2x?2?).
?y?f(x)过(1,2)点，?cos(?2?2?)??1.??2?2??2k???,k?Z,
?2??2k???2,k?Z,???k???4,k?Z, 又?0?????2,???4； （Ⅱ）解法一：????4，?y?1?cos(?2x??2)?1?sin?2x.
?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?2?1?0?1?4.又?y?f(x)的周期为4，2008?4?502，?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008.
解法二：?f(x)?2sin2(?4x??)?f(1)?f(3)?2sin2(?4??)?2sin2(3?4??)?2,
f(2)?f(4)?2sin2(?22??)?2sin(???)?2,?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?4.
后面解法同上．
19.（湖北卷）（12分）
解：（Ⅰ）由题意得，???f(x)?a?(b?c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+
3?4).
所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是
2?2＝?；
（Ⅱ）由sin(2x+3?)＝0得2x+3?＝k.?，即x＝k??3?4428,k∈Z，
??于是d＝（3?k??8??2，－2），d?(k??22?38)4,?k∈Z.
因为k为整数，要使????d最小，则只有k＝1，此时d＝（―?8，―2）即为所求．
20.（湖南卷）（12分） 解：（Ⅰ）如图3，????2?(??2?)?2???2,?sin??sin(2???2)??cos2?，
即 sin??cos2??0； （Ⅱ）在?ABC中，由正弦定理得
DC?ACsin?sin(???DC?3DC?)sin?sin?,?sin??3sin?
由（Ⅰ）得sin???cos2?，?sin???3cos2???3(1?2sin2?),
即23sin2??sin??3?0解得sin??32或sin???33，
?0?????2?,s?i?n32??,?3 .
15(本小题满分10分)已知tan??2，tan???13，其中0?????2,2????．
（1）求tan(???)；（2）求???的值．
16. (本小题满分10分) 已知a?4,b?5,a与b的夹角为60?，求3a?b
17．(本小题满分10分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
(1)若????????AB?AC?0求c的值；
(2)若c?5，求sin∠A的值
18. (本小题满分10分)设函数????f(x)?a·b，其中向量a?(m，cos2x)，b?(1?sin2x，1)，x?R，且y?f(x)的图像经过点?π?，2???．
4?（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
（Ⅲ）f(x)的图像可由g(x)=1+2sin2x如何变换得到？
19.（本小题满分12分） 已知:f(x)=2acos2
x+
3asin2x+a2(a∈R,a≠0为常数).
（1） 若x∈R,求f(x)的最小正周期；
（2） 若x?[???6,3]，f(x)的最大值大于10，求a的取值范围.
20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?2sin2??π?x?3cos2x，x??ππ??4????，?．
?42?（I）求f(x)的最大值和最小值；
（II）若不等式f(x)?m?2在x??ππ??上恒成立，求实数m的取值范围．
?4，2??15解： （1）∵tan??2，tan???13，
2?1∴tan(???)?tan??tan??31?tan??tan?1?2?7．………………………….5分
32?1∵tan(???)?tan??tan??tan??31?tan?1?2?1，…………………….7分 3又∵0????,?3?22????∴
?2?????2，在
?3?2与
2之间，只有
5?4的正切值等于1，????5?4．…………………………….10分
??16解：、由已知得：a?b?4?5?12?10------------4分
2?2???2又由3a?b = 9a?6a?b?b?144?60?25?109-------8分
得：3a?b=109---------------10分
17解: (1) ???? ????AB?(?3,?4)AC?(c?3,?4 ) 由 ????????AB?AC??3(c?3)?16?25?c3? 得 c?253………5分
(2) ???? ????AB?(?3,?4) AC?(2?,4 )??? cos?A????A??B??????A???C??6?16?1AB?AC5205 ……………..8分
∴
sin?A?1?cos?A?2255………………………………..10分
综上所述，a 的范围是：a<-10或a>2???????12分
20．
解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos???π???2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x
18解：（Ⅰ）f(x)?a?b?m(1?sin2x)?cos2x，
由已知f?π??m?1?sinπ??cosπ?2，得m???4???1．……………2分 ?2??2（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?π?2x???，……………...4分
?4??当sin?π?2x??4???1时，f(x)的最小值为1?2，…………...6分
??由sin?π???2x??3π?4???1，得x值的集合为?xx?kπ?，k?Z?．..8分 ??8?（Ⅲ）把g(x)的图象向左平移
?8，即可得f(x)的图象。…………...10分
注：若f(x)是用余弦表示，正确的同样给分。
19解：（1）f(x)=a(1+cos2x)+ 3asin2x+a2
=2a(sin2xcos
?2
6+cos2xsin
?6)+ a+a
=2asin(2x+
?26)+ a+a???????????3分
所以函数的最小正周期为T=2?2??.?????????4分 （2）x?[?????[??,5?6,3],可得2x?666]，
从而sin(2x??6)?[?12,1]. ????????7分
当a>0时，函数的最大值为a2+3a>10,
解得：a>2(a<-5舍去). ??????????????????9分 当a<0时，函数的最大值为a2
>10
解得：a<-10（a>10舍去) ??????????11分
??2???1?2sin??π?2x??． ???????2分
?3?又∵x??ππ?，∴π≤2x?π≤2π，即2≤1?2sin??2π???4，2?x??633?3?≤3，?∴f(x)max?3，f(x)min?2． ???????4分
（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??ππ??，
?4，2??∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2， ???????10分 ∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)． ???????12分
14、（12分）已知a?(1,2)，b?(?3,2) （1）求2a?4b；
（2）若ka?2b与2a?4b平行，求实数k的值；
（3）若ka?2b与2a?4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 解：（1）a?b??3?4?1，a?5，b?13 222a?4b?(2a?4b)22?4a?16a?b?16b?20?16?16?13?212 ?2a?4b?253 另解：2a?4b?(14,?4) 2a?4b?142?42?212?253 ??2分
??4分
??2分 4分
??（2）ka?2b?(k?6,2k?4)，2a?4b?(14,?4) ??5分
ka?2b与2a?4b平行，?(k?6)(?4)?(2k?4)14?0 ??7分
解得k??1 ??8分 （3）由题意得(ka?2b)(2a?4b)?0且ka?2b与2a?4b不反向 由(ka?2b)(2a?4b)?0得2ka2?8b2?(4?4k)a?b?0 ??10分 得k?503 ??11分
由ka?2b与2a?4b反向得k??1
?ka?2b与2a?4b的夹角为钝角时，k?(??,?1)?(?1,503) ??12分
15、（13分）已知函数f(x)?6sinx2cosx2?2cos2x2
（1）将函数f(x)化简成Asin(?x??)?B(A?0,??0,??[0,2?))的形式；
（2）求f(x)的单调递减．
区间，并指出函数f(x)的最小正周期； （3）求函数f(x)在??7???,上的最大值和最小值?46?. ?解：（1）f(x)?62sinx?2(1?cosx2) ??2分
?2(31cosx)?22sinx?22
?2sin(x??26)?2 ??4分 （2） 令2k????3?2?x?6?2k??2， ??6分
解得2k???4?3?x?2k??3，
?f(x)单调递减区间为??4???2k??,2k?，k?Z. ??7分 ?3?3???f(x)的最小正周期为2?，
?f(x)的最小正周期为2? (注意，因为上移了，所以f(x)周期没有改变) ??8分
（3）由
?7?5?4?x?6得
12?x??6?4?3 ??9分
??3???2?sin?x???1 ??11分
?6?故当x=7?326时，f(x)有最小值
2?6；当x=
?23时，f(x)有最大值
2. ??13分
15.(12分)已知?an?是等差数列，其中a1?25,a4?16 （1）求?an?的通项;
（2）数列?an?从哪一项开始小于0; （3）求a1?a3?a5???a19值。
16. (12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?23x?2?0的两个根，且2cos?A?B??1。
求：(1)角C的度数；
(2)AB的长度。
17. (14分)已知不等式x2?2x?3?0的解集为A，不等式x2?x?6?0的解集为B。 （1）求A∩B；
（2）若不等式x2?ax?b?0的解集为A∩B，求不等式ax2?x?b?0的解集。
18. (14分) 一缉私艇发现在北偏东45?方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15?方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东
45???的方向去追,.求追击所需的时间和?角的正弦值.
北 C 东 B A
2即数列{bb??4?2??4?2??224n}中3最小, 且b3?5?????6??.
???5????5?12515．（12分）已知?为第二象限的角，sin??355，?为第一象限的角，cos??13．求tan(2???) 的值．
16. (12分)已知不等式x2?2x?3?0的解集为A，不等式x2?x?6?0的解集为B。 （1）求A∩B；
（2）若不等式x2?ax?b?0的解集为A∩B，求不等式ax2?x?b?0的解集。
17．已知函数y?cos4x?2sinxcosx?sin4x,x?????0,；
?2??（1）求函数f(x)的最大值；（2）函数y?f(x)在什么区间上是减函数？ （3）解不等式f(x)??1的解集．
18．（14分）△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，cosB?34.
11???????? （Ⅰ）求tanA?tanC的值；（Ⅱ）设BA?BC?32，求a?c的值．
15．解：? ?为第二象限的角，sin??35，?cos???45,?tan???34,；
?tan?2?2ta?n1?ta2?n??
247 ? ?为第一象限的角，cos??513．?sin??1213,tan??125；
?tan?(?2??tan?2??t2041?)anta?n2?t?an 253解：（1）由x2?2x?3?0得?1?x?3，所以A=（-1，3） ??3分
由x2?x?6?0得?3?x?2，所以B=（-3，2）， ??6分
∴A∩B=（-1，2） ??8分 （2）由不等式x2?ax?b?0的解集为（-1，2），
所以1?a?b?0??1?? ??12分
?4?2a?b?0，解得??a?b??2 ∴?x2?x?2?0，解得解集为R. ??14分 17．原式化简得到y?2cos(2x??4)；
(1)最大值1；(2)单调递减区间: ?3??????0,?8?k?Z；(3)不等式的解: ??x0?x??4? ?18．解：（Ⅰ）由cosB?34，得sinB?1?(34)2?74,
由b2?ac及正弦定理得 sin2B?siAnsCi n.于是
1AsinCcosA?cosCsinAtanA?1tanC?cossinA?cosCsinC?sinAsinC
?sin(A?C)Bsin2B?sinsin2B?14sinB?77.
???????? （Ⅱ）由BA?BC?3332，得ca?cosB?2，由cosB?4，可得ca?2，即b2?2．
由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB，得a2?c2?b2?2accosB?5，
(a?c)2?a2?c2?2ac?5?4?9,?a?c?3．
15. （本小题满分10分）
若ax2+bx+c<0的解集为{x | x< -3或x >1},求关于x的不等式bx2-cx+a>0的解集。
16. （本小题满分12分）
等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列
（1）求{an}的公比q；
（2）求a1－a3＝3，求sn
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
17、（本小题满分12分）
数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)．求数列?an?的通项an
18. （本小题满分16分）已知关于x的二次方程a2*nx?an?1x?1?0(n?N)的两根?,?满足
6??2???6??3，且a1?1
（1）试用aa?2?n表示n?1;（2）求证：数列?a?n?3?是等比数列;
?（3）求数列{an}的前n项和Sn.
19．（本小题满分16分）已知数列?an?：1，1[来源学科网ZXXK]2?22，13?23?33，?，1100?2100???100100，?
①观察规律，归纳并计算数列?an?的通项公式，它是个什么数列？
②若b1n?a?n?N?，设Sn=b1?b2?…?bn ，求Sn。
nan?1③设cn?12nan,Tn为数列?cn?前n项和，求Tn
20、（本小题满分14分）某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
???3?1??b?a?b?2a15. 解：???3?1?c???c??3a ?a??a?0?a?0???不等式bx2-cx+a>0可化为2ax2?3ax?a?0又?a<0,?2x2?3x?1?0
?不等式bx2-cx+a>0的解集是?1?-1，-??2??16. 解：（Ⅰ）依题意有 a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q2) 由于 a1?0，故2q2?q?0
又q?0，从而q?－12
（Ⅱ）由已知可得a1?a（1?12）2?3 故a1?4
（41?（?1n 从而S2））n??8（1?（?1n 1?（?132））2）
17.解：?a*n?1?2Sn(n?N*)?an?2Sn?1(n?2,n?N)?当n?2时an?1?an?2Sn?2Sn?1?2an?a*n?1?3an(n?2,n?N)，a2?2S1?2a1?2?数列?an?从a2开始是等比数列；?an?a?2?22?3n?2?3n(n?2,n?N*)综上an???1??n?1???2?3n?2(n?2,n?N*)18.解(1) ??,?是方程anx2?an?1x?1?0(n?N?)的两根
??????an?1??a?n?6a11n?1?3an?2?0?an?1?????12an?3
??an(2)a11211an?1?23n?1?2an?3?an?1?3?2an?3?a2?12?常数n?3
?{an?23}为等比数列令b?21n?an3,则{bn}是等比数列，公比为12,首项b21?a1?3?3
?b?123(12)n?1?a?211n?1n?bn3?3(2)?3 1n(3)S?2n11?(2)n3?3[]?2n?2?2(11?1332)n 2n?1?n?19. 解：①由条件，a121?2?…?nn?n?n?…?nn?n?2n?1n?2∴a?2；∴an?2n?11n?1?n2n?1?an?2?2?2?n?1?
故?an?为等差数列，公差d?12
②b1n?n?1n?2?1?n?1??n?2??4?n?1??n?2?
2·24又知
1n?2?n?1n?1?1n?2??n?1??n?2??1?n?1??n?2?
∴b11?n?4???n?1?n?2??
S?b?11??1?1??11??11?n?b12?…bn?…?4???23??4???34??…?4????n?1n?2??4????2n?2??
③T2?1n?22?323?424???n2n?1
12342Tn?3425?n?12?2???2n?1?n2n?2
相减,得1T22n?22?123?124?125???12n?1?n?12n?2
1?1
13?1)n?12?2?(12n?n?11?12n?2?34?12n?1?2n?2
2所以T31n?13n?3n?2?2n?2n?1?2?2n?1
20、 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得?x?y≤300，??500x?200y≤90000， y ?x≥0，y≥0.500 ? 目标函数为z?3000x?2000y．
400 ?x?y≤300，300
二元一次不等式组等价于??5x?2y≤900，
??x≥0，y≥0.l
200 M 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 100 如图： 作直线l:3000x?2000y?0， 即0 100 200 300 3x?2y?0．
x
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立?300，??x?yx?100，y?200．
?5x?2y?900.解得
?点M的坐标为(100，200)． ?zmax?3000x?200y0?700（元）
000 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
15. 设函数f(x)?lg(2x?3)的定义域为集合M，
函数g(x)?1?2x?1的定义域为集合N。
求： （1）集合M，N； （2）集合M?N，M?N。
16.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x?10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
购地总费用建筑总面积）
17.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即
图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,
四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
18.本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
19．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 15. 解：（Ⅰ）M?{x|2x?3?0}?{x|x?32};
N?{x|1?2x?1?0}?{x|x?3x?1?0}?{x|x?3或x?1}
（Ⅱ）
M?N?{x|x?3}; M?N?{x|x?1或x?32. }16、解：设楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得
y?(560?48x)?2160?100002000x?560?48x?10800x(x?10,x?N*)
解法1：y?560?248x?10800x?2000
当且仅当48x?10800x，即x=15时，“=”成立。
因此，当x?15时，y取得最小值，ymin?2000元.
17.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、
不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）
解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.
①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0. 广告的面积S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+225a?40b=18500+21000ab?24500.
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=58a,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，
y?252,其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20)y?25180002?18000,由此得y=x?20?25,
广告的面积S=xy=x(18000?25)＝
18000x?20x?20?25x,
整理得S=
360000x?20?25(x?20)?18500.
因为x－20＞0，所以S≥2360000x?20?25(x?20)?18500?24500.
当且仅当
360000x?20?25(x?20)时等号成立，
此时有(x－20)2
＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=18000x?20+25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
18. 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
?x?y≤300，??500x?200y≤90000， y ?500 ?x≥0，y≥0. 目标函数为z?3000x?2000y．
400 ?x?y≤300，
二元一次不等式组等价于??5x?2y≤900，
?300 ?x≥0，y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图： l 200 M 作直线l:3000x?2000y?0， 即3x?2y?0．
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．100 联立?x?y?300，100，y?200．
??5x?2y?900.解得x? ?点M的坐标为(100，200)． 0 100 200 300 x
?zmax?3000x?2000y?700000（元）
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元． 19．解：（Ⅰ）?f(x)?2x?0的解集为(1,3).f(x)?2x?a(x?1)(x?3),且a?0.因而
f(x)?a(x?1)(x?3)?2x?ax2?(2?4a)x?3a.①
由方程f(x)?6a?0得ax2?(2?4a)x?9a?0. ②
因为方程②有两个相等的根，所以??[?(2?4a)]2?4a?9a?0， 即 5a2?4a?1?0.解得a?1或a??15.
由于a?0,舍去a?1.将a??15代入①得f(x)的解析式
f(x)??165x2?5x?35.
(x)?ax2?2(1?2a)x?3a?a(x?1?2a2a2 （Ⅱ）由f?4a?1a)?a
2及a?0,可得f(x)的最大值为?a?4a?1a.
?a2?4a?1由???a?0, 解得 a??2?3或?2?3?a?0.
??a?0,故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0).
15.已知?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?203，求?an?的通项式。
16.设等比数列 {an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
17. 已知数列{an}为等比数列，a2?6,a5?162.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Sn?2n是数列{an}的前n项和，证明
Sn?SS2?1.n?1
18.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1 ＝1, a2+a4 ＝b3， b2b4＝a3.分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10.
19.设?an?为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2??2an?1?an，已知T1?1，T2?4。
（Ⅰ）求数列?an?的首项和通项公式； （Ⅱ）求数列?Tn?的通项公式。
20．已知数列{an}的首项a2n1?3，an?1?2aa2,3,?．
n?1，n?1,（Ⅰ）证明：数列{1?1}是等比数列； （Ⅱ）数列{na项和Sn．
na}的前nn15．解: 设等比数列{aa32
n}的公比为q, 则q≠0, a2=q = q
, a4=a3q=2q
所以 2q + 2q=203 , 解得q1
1=3 , q2= 3,
当q=13时, a=18×(118
1=18.所以 an3)n－1=3
n－1 = 2×33－n.
当q=3时, a22
1= 9 , 所以an=9
×3n－1=2×3n－3.
16．解：由题设知a0，Sa(1?qn1)1?n?1?q，
?a1q2?2，则??a(1?q4)a1(1?q2)．?1?5?1?q ②
?1?q由②得1?q4?5(1?q2)，(q2?4)(q2?1)?0，(q?2)(q?2)(q?1)(q?1)?0， 因为q?1，解得q??1或q??2．
当q??1时，代入①得a1?2，通项公式an?2?(?1)n?1； 当q??2时，代入①得a1?12，通项公式a1n?2?(?2)n?1．
解：（I）设等比数列{a，则a4
. 依题意，得方程组??a1q?6n}的公比为q2=a1q, a5=a1q??4 ?a1q?162解此方程组，得a1=2, q=3. 故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1. nII） S2(1?3)n?1?3?3n?1. SS2n?2n?2n?2?3?(3n?3n?2n?)?132?23n?3n?2?1S2n?132n?2?2?3n?1?1?32n?2?2?3n?1?1?1,
即Sn?Sn?2S2?1.n?1．解：∵ {an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴ a2＋a4＝2a3,b23b4＝b3,
而已知a2＋a4＝b3,b3b4＝a3, ∴ b3＝2a3,a3＝b23.
∵ b0,∴ b11
3≠3＝2,a3＝4
由 a 13
1＝1,a3＝4 知{an}的公差d＝－8 ∴ S10×955
10＝10a1＋2d＝－8
由b 12 知{b22
1＝1,b3＝n}的公比为q＝2或q＝－2
10
当q＝2b1(1－q)31
2时，T10＝1－q＝32
(2＋2)
10当q＝－22时，Tb1(1－q)31
10＝1－q＝32
(2－2)
．（Ⅰ）解：设等比数列?an?以比为q，则T1?a1,T2?2a1?a2?a1(2?q)。??2分
∵T1?1,T2?4，
∴a1?1,q?2。 ????5分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知aqn?11?1,q?2，故an?a1?2n?1,
因此，T2???2?2n?2n?n?1?(n?1)??1?2n?1， ???8分
?Tn?2Tn?Tn ?n?2?(n?1)?22???2?2n?1?1?2n-[n?1?(n?1)?2???2?2n?2?1?2n-1] ?-n?2?22???2n?1?2n?-n?2-2?2nn?11~2 ?-n?2?2??(n?2)?2n?117.（
1819
解法二：设Sn?1n?a1?a2???an。 由（Ⅰ）知an?2。
∴Snn?1?2???2n?1 ?2?1 ????8分
Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an ?a1?(a1?a2)???(a1?a2???an?1?an) ?S1?S2???Sn ????11分 ?(2?1)?(2-1)???(2-1)?(2?2?2nnn解：（Ⅰ）?
2?2n???2n20.)-n ?1?2?n ?2n?1?2?n ???14分a2an11n?1?，
1an?1?a?an?1n?12a?n2?12?a， n ? 1?1?12a2(1n?1a?1)，又a1?3，?1na?1?112，
?数列{1?1}是以为1首项，
1为公比的等比数列． an22（Ⅱ）由（Ⅰ）知11nna?1?12?2n?1?12n，即
1?1，?n?1a?1n2na?2n?n．
n设T123nn?2?22?23???2n， ①
则
1T122n?22?23???n?12n?n2n?1，②
111由①?②得
?12n)2Tnn?2?122???12n?2n?1?2(1?n?1n，
1?12n?1?12n?2n?12?T1n(n?1)n?2?2n?1?n2n．又1?2?3???n?2．
?数列{n的前n项和 S?2?2?n2a}n?n(n?1)n2n2?n?n?42?n?22n．
15．等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10?30,a20?50.
（Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n.
16．已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。
（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值。
17.设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S7?7，
S，T?Sn?15?75n为数列??的前n项和，求T?nn。
?
18.已知?an?是等差数列，a1?2，a3?18；?bn?也是等差数列，
a2?b2?4，b1?b2?b3?b4?a1?a2?a3。
（1）求数列?bn?的通项公式及前n项和Sn的公式；
（2）数列?an?与?bn?是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。
19.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
20.已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点
(n,S?n)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn?3a,Tn是数列{bmn}的前n项和，求使得Tn?nan?120对所有n?N?都成立的最小正整数m；
15.解：（Ⅰ）由an?a1?(n?1)d,a10?30,a20?50,得方程组
?a1?9d?30,??19d?50. ??4分 解得a1?12,d?2. 所以 an?2n?10.
?a1（Ⅱ）由Sn(n?1)n?na1?2d,Sn?242得方程
12n?n(n?1)2?2?242. ??10分 解得n?11或n??22(舍去).
16．解：（Ⅰ）设?a?a1?d?1n?的公差为d，由已知条件，得??a1?4d??5，
解出a1?3，d??2．
所以an?a1?(n?1)d??2n?5．
（Ⅱ）S(n?1)2n?na1?n2d??n?4n?4?(n?2)2．
所以n?2时，Sn取到最大值4．
17．解：设等差数列?a1n?的公差为d，则 Sn?na1?2n?n?1?d
∵ S7?7，S15?75，
∴
?7a 即
?a?1?21d?7 ,?15a1?105d?75 , ?1?3d?1 , ?a1?7d?5 , 解得 a1??2，d?1。
∴ Snn?a?1112?n?1?d??2?2?n?1?，
∵
Sn?1n?1?Snn?12，
∴ 数列??Sn?，
?n?是等差数列，其首项为?2，公差为1?2 ∴ Tn?14n2?94n。
18.解：（1）设{aan}的公差为d1，{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得 d3?a11?2?8
所以an?2?8(n?1)?8n?6，
所以a2=10, a1+a2+a3=30
?b1?d2?6依题意，得??b?4?3解得1?3??4b1?2d30?， 2??d2?3所以bn=3+3(n-1)=3n
n(b?b)S3n?1n2?2n2?32n. （2）设an=bm?2)m,则8n-6=3m, 既n?3(8①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需
m+2=8k,k?N?,所以m=8k-2 ，k?N?②
②代入①得，n=3k, k?N?,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切k?N?都成立。
所以，数列?an?与?bn?有无数个相同的项。 令24k-6<100,得k?5312,又k?N?，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。
19.解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,
故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3?
?S14?77,?2a1?13d?11,?2a1?13d?11,（Ⅱ）由??a 得??a?11?0,1?10d?0, 即??2a1?20d?0,
??a1?6??a1?6???2a1??12由①+②得－7d＜11。即d＞－117。
由①+③得13d≤－1 即d≤－113
于是－117＜d≤－113
又d∈Z, 故d=－1
将④代入①②得10＜a1≤12. 又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,?
20．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2
+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2
－2x.
又因为点(n,S?n)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以S2n＝3n－2n.
当n≥2时，a2
n＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－?（3n?1)2?2(n?1)?＝6n－5. 当n＝1时，a2?1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b3311n?a＝＝?1)nan?1(6n?5)?6(n?1)?5?2(6n?56n?1， n故T1n＝?b?i＝
(1?1)?(1?1)?...?(11?＝1（1－1）. i?12??77136n?5?6n?1)??26n?1因此，要使11m2（1－6n?1）<20（n?N?）成立的m,必须且仅须满足12≤m20，即m≥10，
所以满足要求的最小正整数m为10.
15． 在△ABC中，cosA??513，cosB?35．
（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）设BC?5，求△ABC的面积．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC； （2）若CB?CA?52，且a?b?9，求c．
17、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
D C E18.在?ABC中，?B?45?,AC?10,cosC?255, 求（1）BC??
(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 AB
19.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA
(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求cosA?sinC的取值范围.
y 北 20.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心于城市O（如图）的东偏南东位?(cos??210)方向300km的海面
O 并以20km/h的速度向西偏北45?方向移动，台风侵袭的海 ?x P处，围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断岸 O 范大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
线 增
Q
15．解：（Ⅰ）由cosA??512r(t13，得sinA?13，由cosB?35，
45? P 得
sinB?45．
所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?1665．
（Ⅱ）由正弦定理得AC?BC?sinB5?4?513sinA12?3． 13所以△ABC的面积S?12?BC?AC?sinC?1131682?5?3?65?3．
16.解：（1）?tanC?37，?sinCcosC?37 又?sin2C?cos2C?1 解得cosC??18．
?tanC?0，?C是锐角． ?cosC?18． （2）∵CB?CA?5512，即abcosC=2 ，又cosC=8 ?ab?20．
又?a?b?9
?a2?2ab?b2?81．
?a2?b2?41．
?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．
17．解：（Ⅰ）因为∠BCD?90??60??150?，CB?AC?CD，所以∠CBE?15?．
所以cos∠CBE?cos(45??30?)?6?24．
D（Ⅱ）在△ABE中，AB?2，
由正弦定理AE2．
Csin(45??15?)?sin(90??15?)E?故AE?2sin302?1cos15??2?6?2 6?2AB418．解：（1）由cosC?255得sinC?55
sinA?sin(180??45??C)?22(cosC?sinC)?31010 AC由正弦定理知
BC?sinB?sinA?10?310?32210 25（2）
AB?ACsinB?sinC?10??225， BD?122AB?1
由余弦定理知CD?BD2?BC2?2BD?BCcosB?1?18?2?1?32?2
2?13
19.解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?12，
由△ABC为锐角三角形得B?π6．
（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???????A????cosA?sin????A??6? ???cosA?1cosA?3sinA?3sin???A???．
22?3?由△ABC为锐角三角形知，0?A??2，?2?A??6??．
解得???3?A??2 所以
23?A??3?56，
所以
12sin???A??3．由此有33sin??3，
?3????22?A??3?3????2所以，cosA?sinC的取值范围为??3??2，3?2??． ?
20.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60， 由cos??2y 北 10，可知sin??1?cos2??7210，
cos∠OPQ=cos(θ-45o
)= cosθcos45o
+ sinθsin45o
O 东
=
210?22岸 海 2?710?22?45
?x 在 △OPQ中，由余弦定理，得 线 O OQ2?OP2?PQ2?2OP?PQcos?OPQ
=3002?(20t)2?2?300?20t?45
Q =400t2?9600t?90000
若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
r(t400t2?9600t?90000?(10t?60)2，
45? P 整理，得t2?36t?288?0，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.