教学设计
全日制普通高级中学教科书·数学第二册上（人教版）必修
8．5．1 抛物线及其标准方程
一、内容及其解析
（一）内容：抛物线及其标准方程．
（二）解析：《抛物线及其标准方程》是高中数学新教材第二册（上）第八章第五节的内容，本节共分为2课时完成，这是第一课时．从内容上看，这一节是在学习了椭圆、双曲线的基础上，利用圆锥曲线第二定义的统一性展开的，同时它又是继续学习抛物线的几何性质的基础．所以抛物线的引出不仅起到了承上启下的作用，而且对圆锥曲线的统一定义也起到了完善的作用．
抛物线的定义是从椭圆和双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想．椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个，椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线．从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e?1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．这样安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则． 二、目标及其解析 （一）教学目标
1．了解抛物线的定义，会根据定义推导抛物线的标准方程，了解p的几何意义； 2．知道抛物线的四种形式及其标准方程；
3．能根据已知条件求出抛物线的标准方程，能利用抛物线的定义和标准方程解决一些简单的问题． （二）解析
1．抛物线的定义与椭圆、双曲线的第二定义是类似的，所以在教学中可借助椭圆、双曲线第二定义引出抛物线的定义．具体教学中可以通过实验，观察、发现和认识抛物线，即师生利用课件结合教具共同作与一个定点的距离等于它到定直线的距离的动点的轨迹（图形）——抛物线，培养探索精神，教给学生一个发现数学奥秘的方法——做实验．抛物线的标准方程是从定义出发推导的，其推导过程就是求曲线方程，在推导过程中建立适当的坐标系是求标准方程的一个关键，通过建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性．而方程的化简对学生的运算也要有一
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定要求．p的几何意义：抛物线焦点到准线的距离，因此p?0．在抛物线 的标准方程中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关．
2．抛物线开口方向有左、右、上、下四种情况．可以放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程．让学生根据图形写出焦点坐标、准线方程．并制成表格对比异同．掌握抛物线的四种形式关键在于抛物线的开口与标准方程的对应关系，即通过开口确定其标准方程的形式或根据标准方程判断抛物线的开口，进而确定焦点位置和准线．所以在教学中要让学生明确抛物线的四种开口方向与其对应的标准方程的关系，可通过做适当的变式练习加以掌握． 三、问题诊断分析
学生在学习过程中可能会遇到以下困难：
一是对抛物线的四种形式的标准方程容易混淆．解决这一问题，可借助一个例题变换抛物线的开口让学生求其标准方程，然后做适当的变式让学生反复练习，在这一过程中老师适当引导并强调让学生注意抛物线的开口与抛物线焦点位置的关系以及标准方程的形式．
二是抛物线和双曲线的一支的区别．学生在学习抛物线是很容易将抛物线与双曲线的一支混淆．老师在教学中对此二者的区别可做适当说明，只要求学生知道抛物线不是双曲线的一只，不宜加深．二者区别在于：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率（曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率）接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．
三是学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难．学生都知道抛物线的定义是由“与一定点和定直线等距离的动点的轨迹”得出来的．教学中应根据图形培养学生运用三种语言的能力．借助图形是原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆．
四、教学支持条件分析
为了帮助解决教和学可能遇到的困难，促进同学的认识，本节课可以利用信息技术作出抛物线的图像，这样有助于学生理解和掌握抛物线的定义． 五、教学过程设计 （一）教学基本流程 发现问题 探索问题 形成定义 推导方程 精讲范例 归纳小结 评价设计
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1、回顾旧知，发现问题
问题1 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e的取值范围各是什么？ 设计意图：从椭圆、双曲线的统一几何特征入手，自然地引出本节课所要解决的问题，有助于学生明确本节课的目的和任务，较快地进入思考状态 师生活动：老师提出问题，学生思考后并回答： (1) 前面我们是如何定义椭圆和双曲线的？
(2) 椭圆和双曲线的离心率如何计算？取值范围是什么？ 这些问题学生很容易回答，若学生回答有困难，老师适当引导: 教学过程：(1) 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个(0,1)内的常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率，取
NKAFMNKAMF值范围是（0，1）.
(2) 双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线l的距离之比是一个(1,??)内的常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率，取
值范围是（1，+∞）.
自然引出问题：当e?1时，轨迹是什么形状的曲线呢?曲线的方程如何求呢?是不是也有“标准”方程呢? 2.创设情境，形成定义
问题2一片菜园中有一口小井，菜园旁边有一条水渠，现要给菜浇
L K ?F 水，就取水路程远近这一角度而言，应如何选择取水地点？你能为该区域画一条合理的取水分界线吗？(供取水时参考)
设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动：学生不一定能正确分析出来，教师可适当引导： (1) 你们能把这个实际问题抽象成数学问题吗?
(2) 如果把这些取水地点用光滑的曲线连接，那这条曲线是什么形状？ (3) 我们以前见过吗？该如何定义？
(4) 它是否与椭圆、双曲线一样也存在焦点和准线？
学生对这些问题容易回答，但叙述不一定规范，老师可适当补充说明，并结合几何画板的演示让学生能直观的认识这条曲线的变化情况，加深对曲线的理解．
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NKAFM教学过程：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
3．合理建系，推导方程
问题3 类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？
设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法，并分析标准方程的特点. 师生活动：学生都知道椭圆、双曲线的标准方程是根据定义推导的那么抛物线的标准方程自然也要利用定义来推导，也就是求曲线方程的过程．
教学过程：让学生运用求曲线方程的方法求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程：
p如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p（p>0）,那么焦点F的坐标为(,0)，准线
2pl的方程为x??，
y2DM设抛物线上的点M(x,y)，则有(x?化简方程得 y2?2px 方程y2?2pxp2p)?y2?|x?| 22KO(1)Fx?p?0? ?p?0?叫做抛物线的标准方程 强调：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（程是x??p 2p,0），它的准线方2问题4大家都知道椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？
设计意图：通过观察，让学生总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程．
师生活动：学生通过旋转自己的课本容易发现抛物线的开口方向改变了．
此时可向学生提问：(1) 如果抛物线的开口方向改变后，其标准方程是否也会随之改变？
(2) 对应于各开口方向的标准方程有何区别与联系？
教学过程：学生回答上述问题,老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，一般除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：y2??2px，x2?2py，x2??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、
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焦点坐标以及准线方程如下表 yyylyOFx图形 OFxFOxFOlxl l 方程 焦点 准线 y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) p(,0) 2px?? 2(?p,0) 2px? 2p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2强调：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 12pp? ，即
442不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为?2px、左端为y2；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为?2py，左端为x2 （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，
方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号 图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出①方程的一次项决定焦点的位置；②一次项系数的符号决定开口方向． 4、精讲范例，加深理解
例题 （1）已知抛物线标准方程是y2?6x，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质.
师生活动：学生分析，老师适当引导：
（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解． 解析：（1）p＝3，焦点坐标是（
33，0）准线方程是x＝－． 228.5.1 抛物线及其标准方程 第5页 共7页
（2）焦点在y轴负半轴上，
p＝2， 2所以所求抛物线的标准议程是x2??8y． 变式练习：
1、已知抛物线的标准方程是（1）y2?12x，（2）y?12x2，求它的焦点坐标和准线方程．
2、求下列抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F(?3,0)； (2)抛物线的准线方程为x?1； (3)过点A(3,2)．
设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程．或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程．
师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充:解此题的关键是（1）会根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）想办法求出参数p的值． 5．小结
让学生回答问题总结本节内容：
①抛物线的定义（注意与椭圆、双曲线的联系以及区别）； ②抛物线的标准方程以及相应图象；
③解抛物线问题时，要做到先“定位”，后“定量”． 6．评价设计
⑴ 教材P120 练习2、3、4、5.
⑵ 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1②x2?4y ③ 2y2?3x?0 ④ y??x2
6⑶ 根据下列条件写出抛物线的标准方程 ①y2?8x
①焦点是F(?2,0)； ②准线方程是y?1； 3③焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上； ④经过点A(6,?2) 8.5.1 抛物线及其标准方程 第6页 共7页
⑷ 抛物线x2?8y上的点P到焦点的距离是10，求P点坐标 点评：练习时注意：（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）
p表示焦点到准线的距离故p＞0；（3）根据图形判断解有几种可能
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