第四章习题详解
4.1 解： E(X)?0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?1
E(Y)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?0.9
因为 E(X)?E(Y)，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 解：X的可能取值为3,4,5.
C32311?0.3； 因为P(X?3)?3??0.1；P(X?4)?3?C510C5102C46P(X?5)?3??0.6
C510所以 E(X)?3?0.1?4?0.3?5?0.6?4.5
aka?4.3 解: E(X)??k?(1?a)k?1(1?a)2k?1??ak?1k?1k?，下面求幂级数的和函kx??k?1(1?a)k?1k?1?数，易知幂级数的收敛半径为R?1，于是有
?kxk?1?k?1x1?(?xk)??()??,21?x(1?x)k?1?x?1,
根据已知条件，a?0，因此0?a?1，所以有 1?aa1??a. 2a(1?a)(1?)21?a4.4 解：因为X的可能取值为1,2,??。依题意，知X的分布律为
E(X)?P(X?k)?qk?1p,q?1?p,k?1,2,??
所以E(X)??kqk?1?k?1qp?p?(q)??p(?qk)??p()?
1?qk?1k?1k???p111?p?? 22p(1?q)p4.5 解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)
因为 P(X?0)?C40.6?0.4?0.0256
1P(X?1)?C40.61?0.43?0.1536 2P(X?2)?C40.62?0.42?0.3456 3P(X?3)?C40.63?0.41?0.3456 4P(X?4)?C40.64?0.40?0.1296
004所以Y的分布律为
Y P 故期望得分为
0 0.0256 15 0.1536 30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296 E(Y)?0?0.0256?15?0.1536?30?0.3456?55?0.3456?100?0.1296
= 44.64 4.6 解:级数
?xk?1?kpk??(?1)k?1?k?1?3k22?k??发散,不符合离散型随机变量期望定义k3k?1k的要求,从而X的期望不存在.
4.7 解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)
故 E(X)?3?0.4?1.2
??124.8 解：E(X)?4.9 解： 由
???xf(x)dx??xdx??021x3x(2?x)dx?31012?(x2?x3)1?1.
3?????f(x)dx?1????20axdx??(bx?c)dx，得 2a?6b?2c?1 ①
24856?a?b?6c xf(x)dx?xaxdx?x(bx?c)dx????0?233856所以，由E(X)?2，得a?b?6c?2 ②
332335又 P(1?X?3)??axdx??(bx?c)dx??a?b?c
12223353由 P(1?X?3)?，得a?b?c? ③
422411解联立方程①②③，得a?，b??，c?1
44因为 E(X)?244.10 解:积分
?????xf(x)dx??????x?(1?x2)dx?2????0xdx,显然,积分发散,根据连续型1?x2随机变量期望的定义, X的期望不存在. 4.11
解：设X~N(?,?)，依题意得，??E(X)?72
又 P(X?96)?2.3%?0.023，则P(X?96)?0.977??(2) 即有 ?(296?72?)??(2) 所以
296?72??2 得 ??12
所以 X~N(72,12)
故所求的概率为 P(60?X?84)?P(|X?72|?12)?P(|X?72|?1) 12?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826
4.12
解：E(X)?0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?2
22222E(5X2?4)?5E(X2)?4?5?2?4?14
4.13
解：因为 X~E(?)，其中
??1，所以 E(X)?1??1
故 E(Y)?E(2X)?2E(X)?2?1?2
E(e?2X)??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx??e?3xdx???00??????1 34.14
解：设球的直径测量值为X，体积为V，则有V?1?X3.显然X的概率密度函数为 6?1,f(x)??b?a??0,?因此,球体积的均值为
a?x?b,其他,
131b31?(a?b)(a2?b2). E(V)?E(X)??xdx?a66b?a244.15
解: 用随机变量Y表示游客的等候时间(单位:分钟),则Y?g(X),其函数关系为
?5?x,?25?x,? y?g(x)???55?x,??65?x,0?x?5,5?x?25,25?x?55,55?x?60.
由于X~U[0,60],根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 E(Y)?E[g(X)]?4.16
解：因为，当0?x?1时，fX(x)?当0?y?1时，fY(y)?所以，E(X)??50(5?x)dx??(25?x)dx??(55?x)dx??(65?x)dx?5255525556070. 6?????f(x,y)dy??12y2dy?4x3
01yx?????1f(x,y)dx??12y2dx?12y2(1?y)
4 5?????xfX(x)dx??x?4x3dx?013E(Y)??yfY(y)dy??y?12y2(1?y)dy?
??05??E(XY)??????????1?xyf(x,y)dxdy??dx?xy12y2dy
00x1001x??x?3y4dx??3x5dx?01 2又 E(X2)? E(Y)?2??????x2fX(x)dx??x2?4x3dx?021012 32 5????yfY(y)dy??y2?12y2(1?y)dy?2216?? 3515故 E(X2?Y2)?E(X2)?E(Y2)?4.17
解： E(X)??????xf(x)dx??x?2xdx?012， 3??5E(Y)??yf(y)dy??y?e??5????5?ydy??yd(?e5?y)
5??ye5?y??5????5e5?ydy?5?e5?y???5?1?6
2?6?4. 3因为X和Y相互独立，所以 E(XY)?E(X)E(Y)?4.18
解: 根据二维随机向量的计算公式：
E(X?Y)??22?????????x?yf(x,y)dxdy???22?R022x?y2?R2x2?y2dxdy, 2?R此积分用极坐标计算较为方便，于是有
1E(X?Y)??R222??0r2drd??2R 34.19解：由于X 服从U(0,?)，故其分布函数为
?0,?x?FX(x)??,????1,x?0,0?x??,同理，Y服从U(0,?)，故其分布函数为 x??.y?0,0?y??,于是根据公式3.7.5，max{X,Y}的分布函数为 y??.?0,?y?FY(y)??,????1,?0,?2?zFmax(z)??2,????1,?2z?,0?z??,求到后得密度函数fmax(z)???2?0,?z??.z?0,0?z??,其他.
因此E(max{X,Y})=?+?-?2zfmax(z)dz??.
34.20
解：用随机变量X表示汽车的10个车站总的停车次数，并记
?1,第i站有旅游下车，Xi??i?1,2,?,10,
?0，第i站无旅游下车，显然，Xi均服从两点分布，且X?X1?X2??X10，于是有
99P{Xi?0}?()20,P{Xi?1}?1?()20,
1010由此求得
99E(Xi)?1?()20?0.8784,E(X)?10[1?()20]?8.784.
10104.21
解：设Xi表示第i次掷出的点数(i =1,2,?,10)，
则掷10次骰子的点数之和为X??Xi?110i。
1 (k =1,2,?,6)， 61111117所以 E(Xi)?1??2??3??4??5??6??
6666662因为Xi的分布律为 P(Xi?k)?故 E(X)?4.22
解：设Xk是从第k?1次命中目标到第k次命中目标之间的射击次数，Xk的分布律为
?E(Xi)??i?1i?1101077?10??35. 22P(Xk?m)?(1?p)m?1p,m?1,2,??,k?1,2,??
记随机变量X?X1?X2??Xn，并且注意到随机变量X1,X2,?Xn概率分布相同，因此
E(X)?nE(X1)?4.23
n p.解：由T4.1知 E(X)?1，E(Y)?0.9，由T4.12知E(X)?2
又 E(Y)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?1.3
故 Var(X)?E(X)?(EX)?2?1?1
222222222Var(Y)?E(Y2)?(EY)2?1.3?0.92?0.49.
4.24
解: 由T4.1知 E(X)?2，E(X)?故 Var(X)?E(X)?(EX)?4.25
解：因为，当?1?x?1时，fX(x)?即 X~U(?1,1)
所以 E(X)?222??2411314xdx??(4x2?x3)dx?.
2443???x2f(x)dx??02 3?????f(x,y)dy??1?xy1dy?
?1421?1?111?0，Var(X)?[1?(?1)]2? 2123