含绝对值不等式
一、基础知识
1、绝对值的基本性质：设a?R则a???a,a?0
??a,a?0?1?a?0?当且仅当a?0取\?\? ?2?a??a ?3??a?a?a
?4??a?a,a?b?b?a
?5?a2?a
2、绝对值的运算法则
?1?a?b?a?b?a?b（注意不等式成立的条件） ?2?a?b?a?b?a?b（注意不等式成立的条件） ?3?a?b?a?b
aa?4??
bb3、绝对值不等式的解法
?1?设a?0,x?R则
x?a?x2?a2??a?x?a x?a?x2?a2?x??a或x?a
?2?f?x??g?x???g?x??f?x??g?x?
f?x??g?x??f?x??g?x?或f?x???g?x?
?3?f?x??g?x??f2?x??g2?x???f?x??g?x???f?x??g?x???0
（4）含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段求解。 4、解含绝对值问题的几种常用策略 （1） 定义策略；（2）平方策略；（3）定理策略；（4）等价转化策略；（5）分段讨论策略； （6）数形结合策略 二、题型剖析
[含绝对值不等式的解法]
例1 P94 解不等式2x?1?x?2?4
练习：[变式1]求使不等式x?4?x?3?a有解的a的取值范围。 一般用定理策略或数形结合解的范围是a>1
2例2 P94 解不等式x?9?x?3
?x2?9?0?x2?9?0解：（1）法一：原不等式??2①或?② 2?x?9?x?3?9?x?x?3由①解得x??3或3?x?4，由②解得2?x?3 ∴原不等式的解集是x2?x?4或x??3 法二：原等式等价于?(x?3)?x2?9?x?3?????x??3或x?2
??3?x?4?x??3或2?x?4
∴原不等式的解集是x2?x?4或x??3
23x??3)，由x2?9?x?3解得非曲直法三：设y1?x?9,y2?x?（??x1?4,x2??3,x3?2，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使y1?y2的x的范
y 围是x??3或3?x?4，
∴原不等式的解集是x2?x?4或x??3
??9 3
-3 o 3
【思维点拨】数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。 [不等式解的反问题]
x 例3 P94 设f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为（-1，2），试求不等式解集。
[含绝对值不等式的证明] 例4：已知x?1,y?1,求证:x?1的f(x)?1?x??1?y??1
221?xy2证：?x?1,y?1，欲证
?1?x??1?y??1，只需证?1?x??1?y??1?xy1?xy2222
即证1?x2?y2?x2y2?1?2xy?x2y2 即证x2?y2?2xy此为显然，所以原不等式成立。 思维点拨：含绝对值不等式证明常用分析法。
例5、已知二次函数f?x??ax2?bx?c?a,b,c?R?，若f??1??1,f?0??1,f?1??1 证明：当x?1时,f?x????37 12证明：由f??1??a?b?c,f?0??c,f?1??a?b?c可得
a?1111f?1??f??1??f?0?,b?f?1??f??1?,c?f?0? 2222?f?x??[1111f?1??f??1??f?0?]x2?[f?1??f??1?]x?f?0?2222
11?x?x?1?f??1??x?x?1?f?1??1?x2f?0?22???f?x??1x?x?1?f??1??21x?x?1?f?1??1?x2f?0? 2??又?f??1??1,f?0??1,f?1??1,x?1
111?3737??f?x??x?x?1?f?x?x?1??1?x2??3x2?x?3??3?x????2261212????2思维点拨：证明含绝对值不等式常用定理策略：a?b?a?b?a?b
三、课堂小结
1、含绝对值不等式的解法的基本思想是设法去掉绝对值符号 常用方法是（1）由定义零点分析法；（2）题型法；（3）平方法；（4）数形结合法等。 2、含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法
3、灵活运用绝对值不等式两个重要性质定理a?b?a?b?a?b，特别关注等号成立的条件。 四、作业
221、 解下列不等式?1?x?x?2?x?3x?4?x??3?
?2?2、
3x?1??1?x?1工或x??4或x?4?
x2?4