四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 例11．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
C1A1C A
B
AC?3,BC?4,AB?5,AA1? 4（1）求证AC?BC1;（2）在AB上是否存在点D使得AC1?CD?
（2）在AB上是否存在点D使得
B1D
AC1//平面CDB1
五、专题突破：
1、如图：已知二面角??l??的大小为120，点A??,B??,AC?l于点C，
BD?l于D，且AC?CD?DB?1，求 ：
（1）直线AB与CD所成角的大小， （2）直线AB与CD的距离。
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的大小.
A C D lB
3、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA1=6,M为侧棱CC1上一点, AM?BA1．
（1）求证: AM?平面A1BC； （2）求二面角B－AM－C的大小； （3）求点C到平面ABM的距离．
4、如图，ABCD?A1BC11D1是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点。
（1）求证：BD1//平面C1DE； （2）求二面角C1?DE?C的大小
（3）在侧棱BB1上是否存在点P,使得CP?平面
A C B
AM CB
C1DE？证明你的结论。
5、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，
AC=BC=CC1=2.
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离. （3）求二面角C1—AB1—A1的大小
6、如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(1)求异面直线AQ与PB所成的角;
(2)求点P到平面QAD的距离.
7、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （2）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
C1
A1
D
E C
A B B1
Q 图4
A
B
D C P
参考答案：
例1：
解：设平面ABC的法向量n?(x,y,z),n?AB?0,n?AC?0，所以
3??(x,y,z)?(2,?2,1)?0?2x?2y?z?0?x??z??，?2 ?4x?6z?0(x,y,z)?(4,0,6)?0????y??zz??2,则n?(3,2,?2)，?cos?n,AD??3?(?7)?2?(?7)?2?73?2?(?2)?(?7)?(?7)?7494917 ?1717222222
所以设D到平面ABC的距离为d，d?AD?cos?n,AD?? 例2：
解：（1）建立如图所示空间直角坐标系O?xyz.
F(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),AM?(1?a2?a)AC?(0,1,1), 22BN?aaa1BF,AN?(1?)AB?AF?(a,2?a,0) 22221221(a,0,a?2)?MN?(a?)?(0222MN?AN?AM?a2)
(2)由MN?(a?22221,MN? )?得a?min2222（3）
a?1121,MN?(1,0?1),又MA?(0,?1,?1),MB?(0,1,?1)
2222所以可求得平面MNA与平面MNB的法向量分别为n1?(?1,1,?1),n2?(1,1,1)， 所以cos?n1,n2??
1?11??，所以????arccos
333?3例3：
解：如图建立坐标系，
则A(1,0,0),A,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1) 1(1z D1M C1B1N A1?AB1?(0,1,1),AC,1,0)， 11?(?1设MN是直线AC11与AB1的公垂线， 且
A x D C B y
AN??AB1?(0,?,?),AM?uAC111?(?u,u,0)则MN?MA)?(0,?,?)?(u,??u,??1) 1?AA1?AN??(?u,u,0)?(0,0,12?????????2u?0?MN?AC?311?0,????， ?2??u??11???u???MN?AB1?0?3?1113 MN?(?,,)?MN?3333 例4：
解：
BC1//AD1,AD1?平面ACD1,?BC1//平面ACD1，
同理A1B//平面ACD1, 又A1BBC1?B,?平面A1BC1//平面ACD1，建立直角坐标系D?xyz，
AB?4,BC?3,CC1?2，A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2)
?A1B?(0,4,?2),BC1?(?3,0,2),设n?(x,y,z)为
平面A1BC1的法向量，
则n?AB1?n?AB1?0,?4y?2z?0, 由n?BC1?n?BC1?0??3x?2z?0，
D1 z C1 B1 y
A1 D C 1221不妨设z?1,?y?,x?,?n?(,,1)
2332
x A B